Индекс Морса

Для малых i индекс Морса равен нулю (как мы увидим ниже из его определения). Таким образом, функция г]) Q, 8) имеет, так же как и начальное условие, быстро осциллирующий вид. [c.410]

Б. Индексы Морса и Маслова. Число определяется как число фокальных к многообразию М точек на отрезке [О, 1 фазовой кривой, выходящей из точки (р , д ). [c.411]

Заметим, что при вычислении индекса Морса фокальные точки нужно учитывать с кратностями (кратность фокальной точки общего положения равна 1). [c.411]

Замечание. Число к называется индексом Морса точки р. [c.342]

Сначала постройте функцию Морса /, у которой есть один минимум, один максимум и седловых точек с индексом Морса к, к = 1, — с тем дополнительным условием, что значения функции / равны во всех точках данного индекса и убывают с ростом к. Затем измените / в окрестности ее критических значений, склеивая все точки данного индекса в одну. Полезно сначала сделать это подробно для случая п = 2. [c.746]

Свойства критических точек гладких функций характеризуются индексом Морса, а неподвижным точкам отображения Пуанкаре сопоставляют характеристические показатели, от которых зависит динамическая устойчивость траектории. Оставшаяся часть этой главы посвящена описанию связи между этими двумя характеристиками периодической траектории биллиарда. [c.67]

Любой невырожденной п-звенной периодической траектории <р°еТ" однозначно сопоставляется индекс Морса пдф — целое число, равное количеству отрицательных собственных значений матрицы Нп- [c.71]

Чтобы проиллюстрировать связь биллиарда с задачей о геодезических на римановом многообразии, рассмотрим гладкую замкнутую двумерную поверхность в Кз и будем деформировать ее так, чтобы она оставалась гладкой и стремилась к плоской области (ср. с [42, гл. 6]). Тогда геодезические на поверхности будут стремиться к траекториям соответствующего биллиарда. Замкнутая геодезическая на поверхности перейдет в периодическую траекторию биллиарда, имеющую тот же индекс Морса и четное количество звеньев (см. рис. 54). [c.156]

А. Пуанкаре впервые обратил внимание на связь орбитальной устойчивости замкнутой геодезической на римановом многообразии со свойствами соответствующей критической точки функционала действия. Им доказано, что невырожденная замкнутая геодезическая локально минимальной длины на двумерном ориентируемом римановом многообразии гиперболична, следовательно, неустойчива [66]. В дальнейшем усилиями ряда авторов этот результат был обобщен. Оказывается, индекс Морса невырожденной эллиптической замкнутой геодезической на двумерном римановом многообразии нечетный, если геодезическая ориентируема, и четный — в противном случае (см., например, [60]). [c.157]

С учетом отмеченного выше эвристического предельного перехода из этого утверждения получаем следующий результат для биллиарда Биркгофа индекс Морса невырожденной эллиптической четно-звенной периодической траектории с упругими отражениями всегда нечетный. В главе 2 этот результат получен как следствие теоремы 2. [c.157]

В вариационном исчислении в целом имеется вариант понятия индекса Морса, относящийся к некоторым множествам критических точек ( невырожденные критические многообразия ). У нас этому соответствовало бы понятие индекса Морса для множества периодических траекторий (удовлетворяющего определенным условиям). Но для ТДС такой вариант является менее существенным, и я ограничусь приведенным выше простейшим и в то же время важнейшим вариантом, относящимся к отдельным траекториям. [c.178]

Пусть X, у — периодические точки системы М.—С. (потока или каскада) с индексами Морса и(х), и (у), лежащие на раз- [c.190]

Простейший вариант существует ли на М поток М.—С. без замкнутых траекторий, имеющий ровно гл положений равновесия с индексом Морса i, 0[c.200]

Г. Можно ли предсказать, какие индексы Морса будут у критических точек, родившихся в результате преобразования Пб, зная только набор показателей а)—г) из п. 3.2 Пока мы умеем вычислять лишь их индексы Эйлера, то есть четности индексов Морса (см. п. З.З.В). [c.239]

Пусть k — количество критических точек функции h индекса к. Из теории Морса известны следующие соотношения (см., например, [54, гл. II]) [c.229]

L — результат деформации функции I (Ь — функция Морса на В ), [х.х Ь ) — число критических точек индекса X для (см. [16]). Но если все критические точки — невырожденные максимумы, то это равенство выполняться не может. [c.65]

Сам Морс, как известно, определял индекс критической (стационарной) точки X гладкой (класса С ) функции f M- -R как отрицательный индекс инерции второго дифференциала d f(x), т. е., в терминах локальных координат х . .., j "), как число отрицательных собственных значений матрицы (d f x)ldx dx ). Рассмотрим градиентный поток [c.177]

Если, напротив, все циркуляции положительны, используя идею Паль-мора [13], можно найти нижнюю предельную оценку числа относительных состояний равновесия. Гамильтониан стремится к нулю на диагонали А, а все критические точки гамильтониана Н лежат на компактном подмножестве пространства — А. Если гамильтониан представляет собой функцию Морса (все критические точки являются невырожденными), то нижнюю предельную оценку числа этих критических точек и их индексов можно рассчитать, используя числа Бетти пространства — А. [c.348]

Пример 1. Индекс /3 многогранника Ньютона функции Морса +... + равен п/2. [c.34]

Заметим, что определения фокальной к М точки и индекса Морса не зависят от уравнения Шредингера, а относятся просто к геометрии фазового потока в кокасательном расслоении к конфигурационному пространству (или, что то же, к вариационному исчислению). В частности, в качестве лагранжева многообразия М можно взять слой кокасательного расслоения, проходяпщй через точку (рд, 5о) (заданный условием д — д ). [c.411]

Индекс Морса отрезка геодезической, равный числу сопряженных началу точек, играет важную роль в вариационном исчислении. А именно, рассмотрим второй дифференциал действия как квадратичную форму на пространстве вариаций изучаемой геодезической (с закрепленными концами). Тогда отрицательный индекс инерции этой квадратичной формы равен индексу Морса (см., например, Милнор Дж. Теория Морса.—М. Мир, 1965). [c.411]

Индекс Морса является частным случаем так называемого индекса Маслова, который определяется независимо от какого бы то ни было фазового потока для любых кривых на лагранжевом многообразии кокасательного расслоения над конфигурахщонным пространством. [c.411]

Наконец, индекс Морса фазовой кривой в R можно теперь определить как индекс Маслова кривой на /г + 1-мерном лагранжевом многообразии в подходящем 2п + 2-мерпом фазовом пространстве. Координатами в этом пространстве служат (р , р 9) (где (р, д) е R "). Если положить здесь д = t, = —Н (р, д), а точку (р, д) заставить пробегать /г-мерное лагранжево многообразие в R ", полученное из исходного за время t под действием фазового потока то при изменении t полученные точки в R2 +2 заметут п -Ь 1-мерное лагранжево многообразие. График движения фазовой точки под действием фазового потока можно рассматривать как кривую на этом п + 1-мерном лагранжевом многообразии. Можно проверить, что индекс Маслова этого графика совпадает с индексом Морса исходной фазовой кривой. [c.413]

Известно, что динамика гамильтоновых систем (в том числе систем с упругими отражениями) подчиняется вариационным принципам. В связи с этим обстоятельством характеристики периодических траекторий гамильтоновых систем можно разбить на два класса динамические и геометрические. Первые определяются отображением Пуанкаре, соответствующим данному периодическому решению уравнений движения. К ним относятся величины характеристических показателей, свойства невырожденности (по Пуанкаре) и орбитальной устойчивости. Вторые являются характеристиками периодической траектории как критической точки функционала действия. К ним относятся индекс Морса, невырожденность по Морсу, а также введенный ниже определитель Хилла. [c.157]

Индекс Морса (морсовский индекс). Индекс Морса (М. Morse) определяется для гиперболической периодической траектории (включая положение равновесия) как размерность dim (L). В случае каскада точкам x L приписывается тот же индекс, что и L. (У некоторых авторов индекс Морса замкнутой траектории на 1 меньше, чем здесь.) Будем обозначать индекс Морса через и, и х), u L). Для положения равновесия потока или периодической траектории каскада индекс равен числу соответствующих собственных значений Л с КеЛ>0 при 1Я >1 для замкнутой траектории потока — увеличенному на 1 числу мультипликаторов Л с Я1>1. Хотя формулировки в терминах Л определяют некоторое число и в негиперболическом случае, оно нам не понадобится. [c.177]

Если изолированное инвариантное множество А является дизъюнктным объединением изолированных инвариантных множеств Ах и 2, то А(Л)== А(Л1)УЛ(Лг). Для гиперболической иезакрз) енной замкнутой траектории с индексом Морса а > 1 гомотопический индекс равен 2 /2 "Ч Когда же а Ц=1, то гюедставителем А ( ) может служить (5 и Хо), где лго 5 (Это отличается от частного случая предыдущей формулы при й= Ь 2 /2о меет представителя (5- илео, д 1)г где Х1б5Ч) Для гиперболической закрученной замкнутой траектории I с индексом Морса и (который неизбежно >2) [c.215]

Индекс Морса—Конли ( h. onley). Рассмотрим родственную задачу, которая тоже в конечном счете связана с бегущими волнами, но обсзгждается в [46], так сказать, в абстрагированном от своего происхождения видё. [c.216]

Итак, в типичных однопараметрическнх семействах градиентов встречаются лишь простейшие бифуркации типа А% Эта бифуркация описывает рождение или смерть пары критических точек соседних индексов Морса, топологически версальная деформация задается градиентами функций семейства [c.126]

Резкость и диффузия вблизи простейших особенностей волновых фронтов. Свойство резкости сохраняется при положительных гомотетиях пространства с центром в О, поэтому можно говорить о резкости в точках проективного волнового фронта. Оказывается, что для операторов общего положения вопрос о резкости со стороны той или иной компоненты зависит лишь от дифференцируемого типа особенности проективной производящей функции более того, достаточно знать лишб класс тathIЛБHo1I эквивavreнтнo ти ЭТОЙ особенности -я четность индексов Морса ее квадратичной части (см [22 п. 1.1.3]). [c.194]

Все морсификацин сложных комплексных особенностей похожи друг на друга, разные морсификацин вещественных скорее всего разрушат их по-разному. Они могут отличаться числом вещественных критических точек, их индексами Морса, зна- [c.218]

При наличии замкнутых траекторий, неравенства (3) — для систем М.—С. они называются неравенствами Морса—Смейла— сохраняются со следующими модификациями под понимается сумма числа положений равновесия индекса i и числа замкнутых траекторий индексов i и i-hl если среди замкнутых траекторий имеются закрученные или обращающие ориентацию, то числа Бетти надо брать иад полем характеристики два. Если же замкнутых траекторий нет, то неравенства (3) и их уточнение (с 6i + < + i i) сохраняются дословно (т< теперь — число периодических точек индекса i). [c.197]

Статья посвящена теории гладких динамических систем, за исключением вопросов, связанных со сложным предельным поведением траекториа осаов-ные понятия, различные топологические понятия типа индексов, системы Морса — Смейла, потоки на поверхностях, примыкающие вопросы топологической дннамнки. Библ. 83 найм. [c.244]

Мономорфность этого отображения доказывается индукцией по к (см. [209, предложение 1 добавления]). Обратное включение, по-видимому, нетривиально оно имеет следующее уточнение. Рассмотрим на многообразии С —X произвольную ограниченную снизу функцию Морса без критических точек индекса >п (такая функция существует на любом п-мерном многообразии Штейна, см. [191]). Пусть т — число точек индекса п такой функции. [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...