ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ДОБАВЛЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [c.196]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [c.532]

Неравномерно гиперболические динамические системы. Показатели Ляпунова.............140 [c.113]

Гиперболические динамические системы с особенностями (об щий подход). ............ [c.114]

Неравномерно гиперболические динамические системы. Показатели Ляпунова. Допустим, что динамическая система. 5 имеет инвариантную меру v. [c.140]

Гиперболические динамические системы с особенностями возникают во многих важных физических проблемах. Кроме того, при переходе к отображению Пуанкаре потоков, отвечающих гладким, даже аналитическим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, часто теряется гладкость (см. далее). Переход же к отображению Пуанкаре и представление исходного потока в виде специального потока (см. гл. 1, 4) являются в настоящее время наиболее эффективными методами исследования эргодических свойств динамических систем с непрерывным временем. [c.173]

Гиперболические динамические системы с особенностями (общий подход). Рассмотренные выше классы биллиардов, являются примерами гиперболических динамических систем,, действующих на многообразиях с краем и имеющих особенности (например, разрывы) на множестве меры нуль. [c.191]

Динамические системы с гиперболическими структурами аналогичны системам, рассматриваемым и ранее символической динамикой [88, 588], и, в первую очередь, системам, описываюш им движение по инерции материальной точки в римановом пространстве отрицательной кривизны [363]. Однако при этом объем движущейся фазовой частицы не обязательно сохраняется он может уменьшаться, и система может быть диссипативной. [c.85]

Каток А. Б., Динамические системы с гиперболической структурой, В сб. Девятая летняя математическая школа , Киев, Наукова Думка , 1976, ста 125—211. [c.75]

В третьей и четвертой частях общая программа, очерченная в первой части, осуществляется значительно более глубоко для динамических систем малой размерности и гиперболических динамических систем, которые особенно хорошо поддаются такому анализу. Гиперболические системы являются ярким примером хорошо понятого сложного поведения. Эта сложность [c.12]

В этом параграфе мы продолжим изучение подковы Смейла (см. п. 2.5 в). Эта динамическая система содержит нетривиальное гиперболическое множество с естественной и очень удобной для кодирования динамикой. Оказывается, что поведение, которое демонстрирует этот пример, может быть обнаружено в широком классе динамических систем. [c.279]

Динамические системы общего положения с гиперболическими периодическими точками [c.296]

Однако существуют два больших класса систем, для которых эта программа, сформулированная и примененная к примерам в гл. 2, 3 и 4, может быть продвинута существенно дальше. Это динамические системы с фазовыми пространствами малых размерностей, анализу которых посвящена эта часть книги, и динамические системы с гиперболической структурой, которые мы начали обсуждать в гл. 6 и подвергнем более глубокому исследованию в части 4. [c.385]

Вводные замечания. Весьма заманчивой представляется идея исследования глобального поведения траекторий динамической системы на основе информации о ее локальных свойствах. Частичной реализации этой идеи служат исследования в области гиперболических динамических систем. [c.123]

Гиперболическое поведение траектории динамической системы формулируется в терминах поведения близких, точнее, бесконечно близких траекторий. Существуют три грубых типа поведения близких траекторий а) близкие траектории притягиваются к исходной траектории при /- +оо (полная устойчивость) б) все близкие траектории притягиваются к исходной при —оо (полная неустойчивость) в) имеются траектории, притягивающиеся к исходной при /- +оо, и другие траектории, притягивающиеся к ней же при —оо. Именно последний тип поведения кладется в основу определения гиперболичности. [c.123]

Интересный вопрос будет ли динамическая система, все траектории которой являются равномерно полно гиперболическими, системой Аносова. Положительный ответ получен в [36] для систем класса С , сохраняющих меру, эквивалентную риманову объему. [c.129]

Определение 2.2. Множество А называется гиперболическим множеством динамической системы 5 , если оно замкнуто и состоит целиком из траекторий, удовлетворяющих условию равномерной полной гиперболичности с одними и теми же постоянными С и Я,. [c.131]

В малых окрестностях гиперболических множеств (в том числе гиперболических аттракторов) динамическая система обнаруживает стохастические свойства в наиболее яркой форме. Во многих известных случаях, где обнаружено стохастическое поведение (наряду с той либо иной степенью неустойчивости траекторий), причиной стохастичности служит наличие в фазовом пространстве динамической системы инвариантных множеств, которые в первом приближении моделируются подковой Смейла или соленоидом Смейла—Вильямса (или их модификациями). [c.137]

Каждая из четырех частей книги может служить в качестве основы курса, приблизительно соответствующего тоовню аспиранта второго года. Этот курс может быть односеместровым или более длинным. Данная книга может служить источником множества специализированных курсов, посвященных таким, например, темам, как вариационные методы в классической механике, гиперболические динамические системы, закручивающие отображения и их приложения, введение в эргодическую теорию и гладкую эргодическую теорию и математическая теория энтропии. Для того чтобы облегчить выбор материала для курса как студентам, так и преподавателям, мы изобразили основные взаимозависимости между главами в виде диаграммы на рис. 1. Сплошная стрелка А —> В показывает, что основная часть материала из главы А используется в главе В (это отношение является транзитивным). Пунктирная стрелка А — — В показывает, что материал из главы А используется в некоторых частях главы В. [c.14]

Эргодические свойства билл иардов в областях евклидова пространства (Q zR ) и на торе с евклидовой метрикой определяются свойствами границы dQ. В частности, биллиарды в областях Q с выпуклой внутрь Q границей, являются гиперболическими динамическими системами. [c.179]

Купка и Смейл доказали, что динамические системы (на гладком компактном многообразии), у которых все периодические точки — гиперболические, тм-личны в том смысле, что они образуют в пространстве всех возможных динамических систем так называемое бэровское подмножество, представимое в виде счетного пересечения открытых всюду плотных множеств (заметим, впрочем, что это определение типичности имеет, возможно, лишь условный характер, так как множество нетипичных систем может иметь ненулевую меру). [c.127]

Итак, экспоненциальная расходимость близких траекторий у диссипативных систем связана с наличием в их фазовых пространствах гиперболических множеств. Свойственны ли они многим динамическим системам или, наоборот, являются исключением В последнем случае малое возмущение такой системы (скажем, всегда присутствующими в природе шумами ) лишало бы ее этого свойства. В связи с этим полезно использовать введенное Андроновым и Понтря-гиным (1937) понятие структурно устойчивой (или грубой ) системы, для (2.79) формулируемое следующим образом при любом е > О имеется такое б > О, что [c.127]

Конечно, во всех определениях этого параграфа компактность соответствующих фазовых пространств несущественна. Кроме того, можно естественным образом модифицировать эти определения для случаев, когда для некоторых точек динамическая система определена только на конечном отрезке времени, как это имеет место, например, в окрестности гиперболической неподвижной точки линейного отображения. Такое обобщение ведет к понятиям локальной и полулокальной (в окрестности инвариантного множества) структурной устойчивости подобно 4 введения. [c.82]

Перед тем как перейти к общей теории, мы хотели бы подчеркнуть, что простой пример, показывающий инвариантность класса гёльдеровых функций, уже был приведен ранее. Гиперболическое множество подковы Смейла (см. п. 2.5 в) топологически сопряжено с топологическим 2-сдвигом Бернулли. При правильном выборе скоростей сжатия и растяжения легко видеть, что это множество изометрично пространству 2-сдвига с метрикой с1) , как показано в п. 1.9 а. Следовательно, класс гёльдеровых функций этой символической динамической системы в точности совпадает с классом гёльдеровых функций на инвариантном множестве подковы относительно евклидовой метрики. [c.600]

Целесообразность введения понятия изолированного инвариантного множества явствует из того, что они нередко встречаются ири исследовании различных вопросовг пбегущие вШ-. ны, динамические системы с гиперболическим поведением траекторий, задача трех тел, итерации одномерных отображений. Это еще не значит, что надо пытаться построить некую общук> теорию изолированных инвариантных множеств — скорее наоборот, слишком уж разнообразными могут быть их свойства. Но четко выделяются две группы вопросов, где можно говорить об определенных теориях, в названиях которых резонно упоминаются изолированные множества. Это теория гиперболических изолированных множеств (по сравнению со всеми изолированными множествами, они образуют гораздо более узкий класс) и индексная теория (класс рассматриваемых изолированных инвариантных множеств никак не ограничивается, но изучается только некоторая специальная группа свойств). [c.211]

Определение 2.1. Динамическая система называется системой Аносова (ссютветственно говорят о диффеоморфизмах Аносова и потоках Аносова), если каждая ее траектория является равномерно полно гиперболической, а постоянные С и Л можно выбрать одинаковыми для всех точек . [c.129]

Определение 2.6. Динамическая система называется равномерно частично гиперболической (РЧГ-системой), если каждая ее траектория удовлетворяет условию частичной гиперболичности и постоянные С, X, [а можно выбрать одними и теми же для всех траекторий. Инвариантное множество Л, все траектории которого являются равномерно частично гиперболическими (с одними и теми же постоянными С, X, х,), называется равномерно частично гиперболическим (РЧГ-множеств10м). Если РЧГ-множество является аттрактором, оно называется равномерно частично гиперболическим аттрактором (РЧГ-аттрак-тором). Под РЧГ-системой (соответственно РЧГ-множеством или РЧГ-аттрактором) в узком смысле мы понимаем РЧГ-сис-тему, все траектории которой удовлетворяют условию частичной гиперболичности в узком смысле. [c.137]

Инвариантное множество Л является гиперболическим (соответственно РЧГ-множеством), если мезеровский спектр динамической системы на Л удовлетворяет утверждениям 1) или 2) (соответственно утверждению 3)). [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...