Отображение Пуанкаре

Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за точку л = 0, то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде разложения [c.171]

Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра. [c.172]

Обратимся к изучению эволюции свойств движения при дальнейшем увеличении параметра X за значением Лео (числа Рейнольдса R > Ro ) — в турбулентной области. Поскольку в момент своего рождения (при К = Лоо) апериодический аттрактор описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно считать, что и при значениях X, незначительно превосходящих Лоо, допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого отображения. [c.180]

Опрокидывание профиля волны 529 Отображение Пуанкаре 170 Отражение волны разрежения от [c.732]

Предыдущее использование геометрии Лобачевского — прекрасно. Основные факты принципа относительности при отображении Пуанкаре стали очевидными. [c.339]

Методы теории К. и волн — это методы анализа ур-ний, описывающих модели реальных систем. Поэтому большинство из них являются общими с методами качеств, теории дифференц. ур-ний (метод фазового пространства, метод отображений Пуанкаре н др.), асимптотич. методами решения дифференц. и иных ур-ний (метод Ван дер Поля, метод усреднения и т. д.). Специфика методов теории К. и волн состоит в том, что ири изучении моделей колебат, или волновых явлений интересуются, как правило, общими свойствами решений соответствующих ур-ний. [c.400]

Этот пример трехмерного точечного отображения может быть легко трансформирован в пример динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, но с четырехмерным фазовым пространством. Для такой системы дифференциальных уравнений точечное отображение Т будет отображением Пуанкаре на секущей трехмерной плоскости. [c.48]

Рассмотрение фазового портрета, отвечающего дифференциальным уравнениям (2.1), в окрестности замкнутой фазовой кривой Г с помощью отображения Пуанкаре сводится к рассмотрению точечного отображения [c.108]

Ситуация 4. Аттрактор Лоренца. Речь идет об отображении Пуанкаре Т на секущей поверхности z = r—i уравнения Лоренца в момент возникновения странного аттрактора и после того, как он возник. Соответствующие негативы изображены на рис. 6.16. О1 и Ог — седловые неподвижные точки, 5 , 8 и г, 82 —их инвариантные кривые, Я — линия разрыва отображения, по обе стороны от нее отображение Т гладко и не- [c.143]

Пусть тг — двумерная регулярная поверхность в М, трансверсально пересекающая 71 по точке Х[. Тогда в окрестности х возникает отображение Пуанкаре д тг — тг, порождаемое фазовым потоком системы (2.1). Секущую поверхность тг можно выбрать так, чтобы Aj пе- +пя- [c.261]

Рассмотрим двумерное сечение трехмерной поверхности интеграла энергии, на которой расположены решения системы (3.11), гиперплоскостью Х2 = 0. Периодические траектории (3.12) пересекают это сечение в точках, которые являются неподвижными при отображении Пуанкаре. Так как они имеют гиперболический тип, то можно ставить вопрос о взаимном расположении их устойчивых и неустойчивых сепаратрис. Эта задача исследована численно в работе [138]. Результат представлен на рис. 24. [c.275]

О < 2/ < 1 отображение 8 не определено. Геометрический смысл преобразования 8 . В В ясен из рис. 32. Его, можно трактовать как отображение Пуанкаре некоторой динамической системы. Нас будут интересовать траектории, целиком лежащие в квадрате В. [c.301]

Вводя фазу =С0 t, получим следующее отображение Пуанкаре [c.21]

Теорема. При условиях общности положения отображение Пуанкаре имеет в кольце [c.194]

Указанным в теореме неподвижным точкам отображения Пуанкаре соответствуют устойчивые периодические решения периода 2тг/ исходной задачи. Поведение системы вдоль этих решений следующее фазовая точка начинает движение при г = О в области G3, затем пересекает сепаратрису, попадает в область С или С2 затем вновь пересекает сепаратрису и возвращается в G3. [c.195]

Доказательство теоремы приводится в п.п. 5, 6. Оно использует явные асимптотические формулы для отображения Пуанкаре, основанные на результатах [3, 4, 13] и приведенные в п. 4. [c.195]

Метод негладких замен переменных можно применять и в сочетании с отображениями Пуанкаре при этом разрывы отображений устраняются, что делает их удобными для использовании стандартных аналитических и численных подходов [21. [c.243]

Первая проблема состоит в построении периодических движений. Обычный метод ее решения связан к переходу к отображению Пуанкаре и отысканию его неподвижных точек. Для этого используются либо топологические методы (теоремы Брауэра и Банаха), либо асимптотические методы типа метода малого параметра Пуанкаре. Обзор методов построения периодических решений гладких систем можно [c.243]

Прежде чем обсудить методы исследования устойчивости, коснемся кратко специфики понятия устойчивости в системах с ударами. Имеется два подхода к его определению. Первый из них связан к переходу к неподвижным точкам отображения Пуанкаре. Такой метод является наиболее распространенным, и принято считать, что устойчивость (ляпуновская или асимптотическая) неподвижной точки отображения эквивалентна устойчивости соответствуюгцей периодической траектории х ( ). Оказывается, что в системах с несколькими ударными парами это условие недостаточно, так как здесь может отсутствовать непрерывная зависимость решения от начальных условий. Соответствующий пример построен в [24. [c.243]

Ко 2-й группе относится Б. исчезновения устойчивого пс-риодич. движения в момент его слияния с ney Toii-чпвым периодич. движением (табл. 1, строка 3) — т. п, касательная Б. Такая Б. для автогенератора с жёстким возбуждением изображена на рис. 9 с помощью графика отображения Пуанкаре (см. Динамическая система). Рис. 9, а соответствует состоянию системы, в к-ром устойчивые колебания отсутствуют — предельных циклон нет. Рис. 9, б соответствует моменту Б. график функциональной зависимости от я каса- [c.211]

Рис. 9. 1рафИ1 отображения Пуанкаре секущей х п для авто-г( нератора с жёстким во 1буждением а — устойчивые колебания отсутствуют — предельных циклов нот 6 — момент бифуркации — график функции касается биссектрисы в — устойчивое 1 и 1геустойчивое г движения. [c.211]

Поведение траектории в окрестности L удобно-изучать, рассмотрев их слсды на (п — 1)-мерной секущей поверхности D, без касания пересекающей L, п близкие к L траектории. Отображение точки шц из D в первую точку пересечения с D траектории, проходящей через fH(, (рис. 3), наз. отображением Пуанкаре (или отображением последования). В координатах = i, - In-i таких, что L пересекает D в нуле, отображение Пуанкаре имеет вид. [c.626]

Системы с иериодич. автоколебаниями, матен. образом к-рых является предельный цикл, удаётся исследовать достаточно полно с иомощью методов качеств венной теории дифференц. ур-явй. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристик и свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительно даже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, в тех случаях, когда в системе существует малый параметр, поаволяющий с помощью отображения Пуанкаре перейти от анализа траекторий в трёхмерном пространстве к исследованию траекторий отображения. [c.698]

Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-нияи (1), прн ц = О кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис. 5. Линейный участок I с козф. угла наклона, большим единицы, [c.699]

Ограничимся изложением результатов исследования семимерной модели (7.7), выполненного в работе [461]. При R = Ro 227,1 четыре симметрично расположенных в фазовом пространстве предельных цикла становятся неустойчивыми и превращаются в четыре двумерных тора с частотами Д (частота цикла) и /г = 1/Гт, где Гт — квазипериод тора. Проекция на плоскость Же, X, инвариантной кривой на секущей гиперплоскости Xi = О, соответствующей одному из таких торов, а также спектральные плотности отображения Пуанкаре для х, и потока для xi x) при R = 269 показаны на рис. 9.80, а. При R = Ri, где 275 бифуркация удвоения квазипериода тора (рис. 9.80, б), а при R = Лг, где 294 бифуркация удвоения тора в [461] обнаружена не была. При увеличении R от значения Лг инвариантная кривая становится все более нерегулярной (рис. 9.81). Хаос на- [c.337]

Годовой спецкурс Теория колебаний является ключевым в подготовке студентов по данному направлению. Его содержание в значительной мере отражает научное направление Горьковской школы теории нелинейных колебаний. Основное внимание уделено методам теории колебаний. Их изложение всегда со про во ждается соответствующими примерами из механики, биофизики. В начале курса рлссказьшается о качественных методах исследова щ нелинейные систем (в осиорлюм, это — системы на фазовой плоскости). Затем излагаются количественные методы расчета периодических колебаний в автономных системах (методы точечных отображений, Пуанкаре, Ван-дер-Поля, гармонической линеаризации, а также метод исследования разрывных колебаний). Заключительный раздел курса посвящен колебаниям в линейных и нелинейных системах, подверженных периодическим внегдним воздействиям. [c.11]

Таким образом, мы получаем отображение Пуанкаре его удобно записать, введя фазу s ot [c.19]

Вводя взyl t, запишем отображение Пуанкаре для данной задачи (оно называется сепаратрисным отображением) в виде [c.30]

Теорема 3 может быть уточнена. Оказывается, что отображение Пуанкаре системы на инвариантном подмножестве в полусопряже-но топологической цепи Маркова произвольного порядка. Конструкция состоит в следующем. [c.156]

П редложение 2. Существует 5 > О, такое, что для любого Н Е —6,6) 0 отображение Пуанкаре на имеет инвариантное подмножество, на котором оно полусопряжено топологической цепи Маркова над К со следующей матрицей переходов А [c.156]

Таким образом, существует больгие, чем Сз /е - 1 > /е точек пересечения. Каждой точке пересечения соответствует устойчивая в линейном приближении неподвижная точка отображения Пуанкаре. [c.201]

Составление уравнений движения. Уравнения (2), (4) описывают основные два типа движений рассматриваемой механической системы со связями (1) безударные перелеты и соударения. Недостаток такого описания состоит в разнотипности уравнений одно из них дифференциальное, другое — разностное. Априори, сугцествуют два способа унификации переход к дифференциальной либо к разностной форме. Традиционным является второй из этих способов, ас-социируюгцийся с построением точечных отображений типа отображений Пуанкаре ([9, 29, 37, 44, 67, 81] и др.) При этом, как правило, в качестве сечения выбирают поверхность удара (предполагается, что система подчинена единственной односторонней связи) [c.242]

Заметим, что даже в простейших примерах, когда уравнения (2) линейны, построение отображения Пуанкаре в явной форме, как правило, невозможно, так как для определения момента ударов приходится решать трансцендентные уравнения. Поэтому иногда применяют упрогценные модели, заменяя реальный момент удара на приближенный (см. [33, 61]). [c.242]

Отсюда следует, что описанный в предыдущем параграфе алгоритм исследования устойчивости и бифуркаций неприменим, так как отображение Пуанкаре в окрестности неподвижной точки недиффе-эенцируемо. Это отображение подробно изучалось в работах [67, 68 (для случая одной степени свободы) и [57] (для случая нескольких степеней свободы). Nordmark показал [67], что в окрестности неподвижной точки можно ввести локальные координаты %, ф таким образом, что отображение примет вид [c.247]

Допустим, что условия ортогональности выполнены и в системе (7) имеется периодическое движение, включаюгцее кратные удары. Не ограничивая обгцности, будем для краткости считать, что в момент происходит одновременный удар о две связи Д О и /2 0. Попытаемся применить метод, описанный в разделе 3. При построении отображения Пуанкаре в окрестности неподвижной точки, соответствуюгцей периодическому движению с кратными ударами, мы приходим к необходимости учета трех возможностей для возмугценного движения удары о связи могут происходить как одновременно [c.249]

Сценарий Помо и Манне-БИЛЯ (1980) возникновение перемежаемости во времени периодического и стохастического движения после обратной тангенциальной бифуркации (слияния и исчезновения устойчивой и неустойчивой неподвижных точек отображения Пуанкаре, т. е. устойчивой и неустойчивой периодических фазовых траекторий), причем промежутки времени со стохастическим движением случайны,, а с периодическим — пропорциональны ц — Примером мо- [c.138]

Теоретическая физика. Т.4. Гидродинамика (1986) -- [ c.170 ]

Динамика твёрдого тела (2001) -- [ c.55 ]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.66 ]

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.4 , c.79 , c.179 , c.235 , c.238 , c.298 , c.348 , c.453 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.33 , c.56 , c.156 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.316 , c.476 ]

Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах (0) -- [ c.78 , c.83 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...