Гомоклиническая точка

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Как следует из анализа для невозмущенной системы, входящая и выходящая сепаратрисы в гиперболической точке у = = 1У = О совпадают. Можно показать [5], что в возмущенной гамильтоновой системе сепаратриса расщепляется , т. е. входящая и выходящая сепаратрисы уже не совпадают и, вообще говоря, пересекаются между собой, приводя к бесконечному числу гомоклинических точек и хаотическому движению. [c.379]

Следующее утверждение заключается в том, что при действии возмущений на сепаратрису гомоклинические точки действительно существуют. Они были обнаружены впервые Пуанкаре 127] в связи с исследованием задачи трех тел. Пуанкаре писал Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить . Рис. 5.6, г, конечно, не отражает полную картину на фазовой плоскости, а только ее нулевое приближение , так как в окрестности каждой изображенной на рисунке гомоклинической точки пе изображены осцилляции следующего порядка. Сейчас стало ясно, что в некотором точно определенном смысле структура гомоклинических точек является случайной. Эти результаты способствовали развитию метода исследования динамических систем, называемого символической динамикой (ком. 4). К сожалению, сложность метода делает его пока труднодоступным для физического анализа. Тем не менее можно использовать следующие качественные рассуждения. [c.101]

Естественный пример замкнутого инвариантного гиперболического множества, которое не является локально максимальным, — объединение гиперболической периодической орбиты и орбиты трансверсальной гомоклинической точки (см. 4 введения и определение 6.5.4). Такая ситуация имеет место для подковы (см. п. 2.5 в), например для множества, закодированного множеством Л,, последовательностей нулей и единиц, каждая из [c.277]

ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ПОДКОВЫ 279 [c.279]

Гомоклинические точки и подковы [c.279]

Начнем с краткого рассмотрения картины, возникающей при наличии трансверсальной гомоклинической точки у сохраняющего площадь диффеоморфизма / Будем считать, что начало координат является неподвижной точкой / и что вблизи начала координат /(х, у) = (2х, 2//2). Локальные устойчивое и неустойчивое многообразия начала координат представляют собой соответственно отрезки оси у и оси х. Допустим, что их продолжения пересекаются трансверсально в точке д. [c.281]

Рис. 6.5.2. Гомоклинические осцилляции Так как неустойчивое многообразие не имеет самопересечений, мы таким образом получаем все более и более тонкие петли, накапливающиеся на неустойчивом многообразии. Поскольку те же соображения имеют место для устойчивого многообразия, мы получаем аналогичные осцилляции и для него, и, таким образом, окончательная картина выглядит так, как показано на рис. 6.5.2. В частности, мы получаем целую сеть новых трансверсальных гомоклинических точек. По Л-лемме (предложение 6.2.23) эта картина имеет место независимо от того, сохраняет ли наше отображение площадь, а также от вида локальной гладкой линеаризации. Таким образом, любая трансверсальная гомоклиническая точка порождает гомоклинические осцилляции, показанные на рис. 6.5.2.

Заметим, в частности, что из использовавшихся выше соображений следует, что гомоклинические точки являются неблуждающими (определение 3.3.3). [c.283]

Следствие 6.5.6. Каждая трансверсальная гомоклиническая точка для гиперболической неподвижной или периодической точки принадлежит замыканию множества периодических точек и, следовательно, является неблуждающей р]. [c.283]

Доказательство. Пусть д является трансверсальной гомоклинической точкой и Л — подмножество подковы, инвариантное относительно итерации /" отображения / и такое, что /" д изоморфно полному 2-сдвигу. Тогда / (д) Л для некоторого т N. Так как периодические точки плотны в Л по предложению 1.9.1, / (д), а следовательно, и сама точка д содержатся в замыкании множества периодических точек. [c.283]

Доказательство. Чтобы получить плотную орбиту, докажем, что если U и V — открытые множества в Л, то существует такое число N = N(U,V), что f (U)nV фО) (см. лемму 1.4.2). Так как трансверсальные гомоклинические точки плотны в Л, для орбиты X существуют трансверсальные гомоклинические точки [c.688]

Доказательство. Рассмотрим А для некоторого фиксированного 5 > О, и пусть р = р 6) определено из следствия Д 4.6. Таким образом, если х , оо е Ag таковы, что B(Xi, е) П АЛ > О для е > О, г = 1, 2, и (i,, а ) < р/2, то в силу доказательства теоремы Д 5.3 существуют такие гиперболические периодические точки г(а,), z(x ), что W z x )) пересекает W z x )) трансверсально и W (z(a ,)) пересекает РУ (г(а )) трансверсально. Это есть отношение эквивалентности для гиперболических периодических точек. Подобным образом мы определяем отношение эквивалентности на Aj г, если е Aj и эти точки принадлежат замыканию множества трансверсальных гомоклинических точек одной и той же периодической точки X. Следовательно, остается доказать, что существует лишь конечное число таких классов на Ag. Заметим, что если а , 6 Aj, то все то> у е В х, р 2)П Ag содержатся в одном классе, так что в силу компактности найдется лишь конечное число классов эквивалентности. Следовательно, по предложению Д 5.7 мы получаем утверждение теоремы. [c.689]

Трансверсальные гомоклинические точки и интересные инвариантные множества в их окрестностях принадлежат к числу наиболее важных и популярных объектов в динамике. Нахождение таких точек представляет собой наиболее распространенный способ, позволяющий строго установить наличие сложного поведения орбит в различных классах (как конеч- [c.722]

Пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий при отображении Пуанкаре порождает в окрестности каждой гомоклинической точки отображение типа подковы. Как было показано в гл. 1, отображения типа подковы приводят к непредсказуемости, а непредсказуемость или чувствительная зависимость от начальных условий — отличительный признак хаоса. [c.182]

Предположим, что при малых е>0 точка Q исчезает, а при е<0 распадается на две невырожденные. Пусть ty — окрестность точки Q, в которой определено проектирование n w- WQ вдоль слоев сильно устойчивого слоения Fq диффеоморфизма /о на его центральное многообразие. Окрестность w делится многообразием Wq на две части w nw, определяемые требованиями K/ora zty, nfo w ( w. Поскольку все точки на — гомоклинические, то для любой дуги Fdw существует такое к, что дуга / Г принадлежит W-. [c.120]

Поясним этот результат на примере. Рассмотрим однопараметрическое семейство -диффеоморфизмов /e R2- R2, которое в окрестности Uо неподвижной точки О в начале координат имеет вид (х, у)- Скх, у), 00, y >0, /oP = Q, 5gN, —гомоклинические точки, по которым устойчивое и неустойчивое многообразия точки О имеют простое касание (рис. 52). Пусть Jq dU ,= = (Л, у) л —x j<8o, у <ео , f/o3lTi = (A, 1/) д <81, y — y неустойчивого многообразия J i = О, yi — у I < ej переходит [c.143]

Все множество гомоклинических точек назовем гомоклинической структурой . Различные системы имеют топологически эквивалентные гомоклинические структуры , если совпадают их системы гиперболических точек. В этом случае можно говорить, что законы стохастического поведения фазовых траекторий также эквивалентны, или, иначе, такие системы изоморфны. При перекрытии большого числа резонансов возникает гомоклиииче-ская структура , порожденная очень большим числом гиперболических точек, и можно ожидать, что точное знание числа гиперболических точек несущественно, если это число велико. Отсюда мы приходим к выводу, что все гамильтоновы системы с одинаковой размерностью и с большим числом сильно перекрытых ( Г>1) резонансов являются изоморфными, если они имеют приблизительно равные значения К. Напомним, что при К> мера островков устойчивости, которые могли бы внести некоторое разнообразие в стохастическую динамику, очень мала ( 1/Ю. Поэтому остается сделать еще один шаг, заключающийся в утверждении, что все физические спстемы с одинаковым числом степеней свободы в той области фазового пространства, в которой 1 и реализуется тем самым быстрое перемешивание, являются изоморфными Г-спстемами (ком. 5). [c.101]

Развитие методов символической динамики было стимулировано фундаментальной работой Смейла [93]. Это направление сейчас активно развивается (см. монографию Нитецкого [95]). Изложение основных понятий, связанных с гомоклиническими точками, можно найти в [94, 95]. Исследованию стохастических свойств динамических систем методами символической динамики посвящены работы Алексеева [96, 97]. [c.102]

Такая точка р называется трансвер-сальной гомоклинической точкой неподвижной точки 0. Очевидно, /"(р) [c.30]

Как было отмечено в 4 введения, это означает, что /"( ) О при п — 00. Так как неустойчивое и устойчивое многообразия начала координат инвариантны относительно /, образы / (д) также являются гомокли-ническими точками, т. е. точками пересечения неустойчивого и устойчивого многообразий начала координат. Так как они пересекаются в точке д трансверсально и / является диффеоморфизмом, то же верно и для точек /"( ) для любого п. Мы, таким образом, немедленно получаем счетное множество трансверсальных гомоклинических точек. [c.281]

Теорема 6.5.5. Пусть М представляет собой гладкое многообразие, множество U С М открыто, отображение f U- M является вложением upeU — гиперболическая неподвижная точка с соответствующей ей трансверсальной гомоклинической точкой д. Тогда в произвольно малой окрестности точки р существует подкова для некоторой итерации отображения /. Кроме того, гиперболическое инвариантное подмножество этой подковы содержит некоторую итерацию д. [c.282]

Доказательство. Мы будем неоднократно использовать следующие обозначения. Для х б А с К" обозначим через G3[A, х] компоненту связности А, содержащую х. Используя подходящие координаты в окрестности О, мы можем считать, что гиперболическая неподвижная точка находится в начале координат и что (0) = Q3[W (0) П О, 0] с К ф 0 и W 4(0) =0 [i7 (0)nO,0] 0 K , где K"=R K. Так как точка д = f (д) eint D является трансверсальной гомоклинической точкой, мы можем выбрать O > О таким малым, что если х е 5Д = 5z z 6 Д , [c.282]

Пусть и М является диффеоморфным вложением с гиперболическими неподвижными точками р,,...,. Говорят, что точки Р[,..., р = Рй образуют гетероклиническую петлю, если размерности их устойчивых многообразий равны и многообразие И (р ) пересекает трансверсально для =0,..., к. Докажите, что в этом случае каждая точка р, имеет трансверсальную гомоклиническую точку, и выведите отсюда, что существует гиперболическое множество Л отображения /, содержащее все точки Р),..р и имеющее плотную орбиту. [c.283]

Доказательство. Сначала докажем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий для Р состоит не более чем из одной точки. Будем рассуждать от противного и предположим, что у 6 И "(х) П И (х) и уф X. Выберем окрестность Р точки х с локальной структурой произведения, которая не содержит у. Поскольку множества Р) = г У г)ПР ф ф0 и Р) = г г)ПРф0 открыты, Ш (Р)пШ (Р) представляет собой окрестность точки у. Так как по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в = Т", существует поднятие у /-периодической точки из множества И (Р) П И (Р) Р. Но П Р 0 и И (у) ПРф0, так что благодаря наличию стр туры произведения на Р найдется точка х W y ) П П Р. Таким образом, без потери общности мы можем считать, что у 6 х) П 1У (х), уфх я х — поднятие неподвижной точки отображения / (быть может, после перехода к некоторой итерации). Меняя, если нужно, поднятие Р отображения /, мы можем считать, что х — неподвижная точка отображения Р. -гомоклиническая точка у по следствию 6.5.6 является неблуждающей точкой, так что, поскольку периодические точки плотны в iVW(P), найдется периодическая точка г отображения Р вблизи у. Но если п — период г, то тем самым показано, что отображение Р" имеет две неподвижные точки, вопреки лемме 18.6.3. [c.591]

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые из следствий существования гиперболических мер для С " -диффеоморфизмов компактных поверхностей. Главная цель состоит в том, чтобы связать существование отличных от нуля показателей с наличием гиперболических периодических орбит, трансверсальных гомоклинических точек и гиперболических подков. Как читатель, по-видимому, правильно ожидает, главными техническими средствами в данном параграфе будут лемма о замыкании и возвращаемость, которая гарантируется наличием инвариантных мер. [c.685]

Д 5 б. Непрерывные меры н трансверсальные гомокдннические точки. Согласно теореме 6.5.5 из существования трансверсальной гомоклинической точки (определение 6.5.4) следует существование гиперболической подковы А для / в любой окрестности гомоклинической точки. Это, конечно, приводит к появлению сложной динамики для данного диффеоморфизма, которая к тому же сохраняется при малых возмущениях. Мы покажем, что если — непрерывная неатомарная гиперболическая мера, то существуют гомоклинические явления. [c.686]

Теорема Д 5.3. Пусть / 6Diff (JW), а>0 и поверхность М компактна. Если — эргодическая непрерывная гиперболическая мера, то supp содержится в замыкании трансверсальных гомоклинических точек гиперболической периодической точки р. [c.686]

Д 5 в. Теорема о спектральном разложении. Благодаря теореме Д 5.3 мы знаем, что если ц — эргодическая гиперболическая мера, то ее носитель либо представляет собой притягивающую периодическую орбиту, либо содержится в замыкании множества трансверсальных гомоклинических точек гиперболической периодической орбиты. Как мы сейчас покажем, из этого следует существование такого хеМ, что supp СО(х). В данном пункте будет приведено частичное обобщение этой теоремы на случай неэргодических гиперболических мер. [c.688]

Предложение Д5.7. Пусть f М М—С -диффеоморфизм компактного многообразия М. Предположим, чтох М — гиперболическая периодическая точка f с трансверсальными гомоклиническими точками. Тогда в множестве А, образованном замыканием трансверсальных гомоклинических точек х, найдется плотная орбита. Кроме того, если тп —период точки х, то существуют такие множества Лд,. ..,Л ,, что f(A ) = A- , modm, f" (A ) = A и /""[л — топологическое перемешивание (определение 1.8.2), г =0,..., m — 1. [c.688]

Имеется ряд результатов о типичности для С -топологии. Наиболее важный из них состоит в том, что периодические точки в типичном случае плотны в множестве неблуждающих точек [262], [263]. Для гамильтоновых систем аналогичный результат получен в [264]. Этн результаты основаны на С -лемме о замыкании, доказанной Пью [262], [263], которая утверждает, что иеблуждающая точка может быть сделана периодической посредством малого с -возмущения, сконцентрированного в окрестности этой точки. В такой форме лемма о замыкании не верна в С -топологни, см. [108]. До сих пор неизвестно, верны лн нелокальные С -или С°°-варнанты леммы о замыкании. Среди других интересных С -результатов о типичности имеется результат о том, что в типичном случае все гиперболические периодические точки симплектического отображения имеют гомоклинические точки, которые являются плотными н в устойчивом, н в неустойчивом многообразиях [317], а также результат о типичной плотности гиперболических точек для двумерных отображений, сохраняюшда меру [317]. Для двумерных отображений, которые не являются диффеоморфизмами Аносова и сохраняют меру, плотность эллиптических точек также С -типична, см. [229]. [c.728]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...