Интегрирующий множитель Эйлер

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

Интегрирующий множитель Эйлера 293 [c.547]

Рассмотрим интегрирующий множитель ц Эйлера для уравнения (е). Как известно, интегрирующий множитель р удовлетворяет уравнению с частными производными [c.393]

Сравнивая уравнения (I) и (II. 395), видим, что интегрирующий множитель р Эйлера — частный случай функции М. Функция М называется множителем Якоби. [c.393]

Эйлера интегрирующий множитель 293 [c.551]

Эта функция, обобщающая интегрирующий множитель, введенный Эйлером в задаче интегрирования простейшего уравнения Xdx Ydy — Q, называется множителем Якоби. [c.18]

Если /х(ж) > О при всех ж, то формула (7.2) определяет некоторую меру в инвариантную относительно действия д. Наличие меры облегчает интегрирование дифференциальных уравнений. Эйлер назвал ц интегрирующим множителем (его называют также последним множителем). [c.76]

Оказывается, при и = 3 условие замкнутости полного решения в предложении 2 можно снять. Доказательство этого утверждения использует теорему Эйлера—Якоби об интегрирующем множителе. Случай и = 3 представляет особый интерес с точки зрения аналогии между гидродинамикой и вихревой теорией гамильтоновых систем. [c.215]

Последнее равепство означает, что функция М является интегрирующим множителем Эйлера для уравпевия (23), т. е. выражение M Yidy — Y dy-i) будет полным дифференциалом. Следовательно, недостающий первый интеграл может быть записан с виде [c.272]

В рамках этого круга идей в работах Ковалевской, Клебша, Чаплыгина, Стеклова и других авторов был решен ряд новых задач механики, некоторые из которых весьма нетривиальны. Стоит отметить, что в этих классических работах не использовалась гамильтонова структура уравнений движения. Условия интегрируемости и само интегрирование уравнений динамики основаны на методе интегрирующего множителя Эйлера — Якоби. Напомним, что для этого автономная система п дифференциальных уравнений должна иметь интегральный инвариант и обладать п —2 независимыми интегралами. Из-за этого обстоятельства не была замечена интегрируемость ряда задач динамики. Самый яркий пример—задача [c.11]

Действительно, матрица (4.3) кососимметрична и функция Га-лильтона коммутирует со всеми интегралами, поэтому ранг мат-,жцы (4.3) не превосходит 2п-4 = 2(п —2) = 2к. Интегрируемость л квадратурах гамильтоновой системы с п степенями свободы, допускающей 2п — 2 независимых интеграла, установлена Якоби с (юмощью метода интегрирующего множителя Эйлера [174]. Теорема Якоби уже использовалась нами в п. 7 2. [c.89]

Эти уравнения не имеют интегрирующего множителя и являются неголоном-пыми связями. В эти уравнения входят углы Эйлера — параметры, определяющие положение точек системы. [c.16]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Название множитель", принадлежащий системе дифферендвальных уравнений (3), которое мы присваиваем величине Л/, определенной уравнением (1) или (5), целесообразно потому, что, в случае двух кеременных хв 1, эта величина совпадает с множителем Эйлера или интегрирующем множителем. [c.99]

Для систем на плоскости плотность интегрального инварианта р названа Эйлером интегрирующем множителем. Якоби распространил наблюдение Эйлера на систему п дифференциальных уравнений, допускающих п — 2 независимых интегралов и инвариантную меру. Обсуждение строения потоков на интегральных поверхностях таких систем можно найти в книге [31]. Рассуждения п.3° соответствуют в гидродинамике известной теореме Клебша о том, что если для [c.216]

Интересно отметить также и результат, полученный по отношению к величине Р=1/6. Мы ввели температуру 0 в гл. I, 2, п. 2 как характеристику ра вновесной системы, выражаюихую об-шее свойство транзитивности этого состояния в гл. I, 4 мы имели возможность определить обратную температуру р=1/9 как универсальный интегрирующий множитель дифференциальной формы I начала термодинамики теперь эта величина выступила в третьей ипостаси — как множитель Эйлера, обеспечивающий фиксацию энергии в вариационной задаче на максимум энтропии. Надо только отдавать себе отчет, что структура исходного функционала для 5 была в этой постановке задачи задана, так сказать, сверху. Результат предыдущей задачи 17 5=—1п ш строился на уже известных выражениях для и использовался нами как трамплин к условию задачи 18. Забегая очень сильно вперед, можно было бы заметить, что в кинетической теории (см. ТД и СФ-11, гл, V) возникает подобная конструкция как Я-функ-ция Больцмана (только с противоположным знаком), которая, как показал Больцман, имеет общее свойство релаксировать к некоторому предельному минимальному значению. Если это предельное значение сопоставить со взятой со знаком минус энтропией равновесной системы, то условие нашей задачи получает мощную поддержку. [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...