Группа неприводимое представление

Последним шагом является разбиение на смежные классы по к). Далее неприводимые представления группы к) используются для определения неприводимых представлений группы . Неприводимые представления группы характеризуются звездой волнового вектора к и индексом т допустимого представления Это построение определяет также структуру неприводимого векторного пространства, в котором задано представление [c.50]

В дальнейшем изложении мы прежде всего будем считать, что нам известны неприводимые представления группы , и установим целый ряд свойств этой матричной группы. При этом главную роль играет тот факт, что является нормальной подгруппой . Вследствие этого блоховские векторы являющиеся базисными для неприводимых представлений группы можно использовать всюду в качестве составляющих элементов для неприводимых представлений группы . Неприводимые представления заданы в пространстве, образуемом совокупностью 5 блоховских векторов ... Набор из [c.79]

В последующих параграфах мы рассмотрим геометрию этих пространственных групп, неприводимые представления и правила отбора, в частности методику вычисления коэффициентов приведения. Разумеется, мы не могли выписать здесь все эти коэффициенты вместо этого мы стремимся пояснить суть методики на целом ряде примеров вычисления различных коэффициентов разными методами. После этого читатель сможет использовать другие имеющиеся в литературе таблицы, а при отсутствии таковых построить их с помощью излагаемых здесь методов. [c.101]

Рассмотрим теперь вращательное брауновское движение. В общем случае поворот частицы описывается тремя углами Эйлера й = а, р, 7 и сферическими функциями Вигнера Пт (а, р, у), образующими неприводимые представления группы Ot трехмерных вращений (см. приложения V, VII). [c.85]

Обобщенные сферические функции, или D-функции Вигнера, у) являются элементами неприводимого представления группы трехмерных вращений 0(3). (Здесь а, , у — углы Эйлера, определяющие поворот R a, , у) =/ (—а, — , —у).) В соответствии с этим [c.224]

Приведенные соотношения ограничивают число возможных вариантов для поиска неприводимых представлений. Наиболее просто находятся представления абелевых групп, особенно циклических. В абелевых группах каждый элемент образует класс, поскольку [c.135]

Отсюда следует, что все неприводимые представления абелевых групп одномерны. [c.135]

Отметим, что, вследствие одномерности неприводимых представлений абелевых групп, эти представления совпадают со своими характерами. [c.136]

Таким образом, группа должна иметь два одномерных и одно двумерное неприводимые представления. Это позволяет сразу составить часть таблицы характеров неприводимых представлений этой группы, поскольку одно из неприводимых представлений тождественно, а следы для тождественных представлений численно равны их размерности (табл. 6.5). [c.138]

Важной характеристикой групп симметрии являются их неприводимые представления. Таблицы характеров этих представлений приведены в [2]. [c.145]

ТРАНСЛЯЦИОННЫЕ ГРУППЫ И ИХ НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [c.147]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Неприводимые представления циклических групп одномерны и в данном случае могут быть записаны в виде [c.150]

В корпускулярном подходе к релятивистскому квантовому описанию свободных частиц векторы состояния частицы должны образовывать неприводимое представление группы Пуанкаре. Последнее фиксируется заданием значений операторов Казимира (операторов, коммутирующих со всеми десятью генераторами группы Mi и Ж ), к-рых у группы Пуанкаре два. Первый — [c.301]

Обозначения МО отличны от обозначений атомных орбиталей так, для двухатомных и линейных молекул при значениях орбитального квантового числа I = 0, 1, 2,... вводят 0-, Л-, 6-,. .. -орбитали, а если молекула имеет центр симметрии, то символы о, п, б,. .. помечают индексами g ш и (напр., Og, Яц ) Для нелинейных молекул МО классифицируют по типам симметрии. Напр., МО молекулы Н О обозначают с помощью неприводимых представлений группы 1, а , Ь . Т. к. молекула может иметь неск. МО [c.194]

Тем самым, матрицы (26.10) удовлетворяют тем же правилам перемножения, как и сама пространственная группа. Неприводимость представления следует из предположения о неприводимости D(P). Для Л-векторов на поверхности зоны Бриллюэна (Af 5ii=0) выражение (26.11) можно доказать, только если пространственная группа симморфна, т. е. не содержит непримитивных трансляций. Именно тогда Л-/ , =р- (Л-(-= Л-р/г, +=Л-р/ ,+ целое кратное 2л. [c.119]

Устойчивую спиновую конфигурацию (магнитный порядок) в антиферромагнитных кристаллах часто описывают с помощью инвариантов второго порядка, образованных из компонент векторов F, G, С, А и преобразующихся по одному неприводимому представлению пространственной группы кристаллов [II]. [c.653]

Унитарные мультиплеты (табл. 36.2) представляют собой состояния, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы SU (3) [2, 3]. Базисным представлением этой группы являются трехкомпонентные спиноры. Кварки и, d, s как раз и отвечают состояниям, образующим базисное представление группы SU (3). Включение в рассмотрение с-, Ь- и t- кварков приводит к расширению группы симметрии до SU (4), SU (5) и SU (6) соответственно. Экспериментальные данные о массах адронов, содержащих с-кварки, указывают на то, что симметрия SU (4) нарушена в мире адронов уже гораздо сильнее, чем SU (3). SU (4) и более высокие [c.972]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ квантовой системы — симметрия полного пространства векторов состояния системы, образующих одно неприводимое представление пек-рой группы или алгебры Ли, операторы к-рой объединяют в одно се.мейство все состояния системы и включают в себя операторы переходов между разл. состояниями. Термин Д. с. появился в 19()5 в fll аквивалентные др. назв.— а л-г е б р а, г е и G р и р у К) и а я спектр [2], группа иеинвариантности [3 . [c.625]

КАЗИМЙРА ОПЕРАТОР — полином, составленный из генераторов представления группы Ли, коммутирующий со все.мп и, следовательно, со всеми операторами представления. К. о, входят в полный набор П коммутирующих операторов, выделяемый из всевозможных эрмитовых ф ЦИЙ генераторов, и составляют часть набора П, инвариантную относительно действия группы. Одновременные собственные значения К, о. классифицируют неприводимые представления группы. [c.229]

Здесь Т— неприводимый тензорный оператор ранга У, имеющий 2У- 1 компонент (M = J, J — 1,. . ., —J) и преобразующийся нри вращениях так же, как волновая ф-ция состояния с моментом J, т. е. по неприводимому представлению группы 50(3) О Ц Г Ц/) приведённый (редуцированный) матричный элемент, к-рый уже не зависит от проекций Шх, и М и является инвариантом относительно вращений. Замечат. особенностью теоремы Вигнера — Эккарта является явное отделение теоретико-групповых аспектов оператора Гуд [связанных с К. —Г. к. ф-лой (7)] от его спец. свойств, зависящих от конкретной физ. задачи (приведённые матричные элементы, к-рые не могут быть вычислены в общем виде). [c.375]

В общем сл чае система имеет в неупорядоч. фазе группу симметрии Параметр порядка ф можно разложить по неприводимым представлениям этой группы [c.573]

Большую роль при изучении М. а. с. кристаллов играют теоретич. методы, напр, феноменология, теория М. а. с., рассматрнпающая симметрию кристалла и его конкретную структуру [3]. Привлечение мате-матич. аппарата теории неприводимых представлений пространств, групп (см. Симметрия кристаллов) и использование идей теории фазовых переходов Л. Д. Ландау позволило решать задачи о перечислении типов М. а. с., возможных в данном кристалле. Это значн-тельно облегчает отбор пробных моделей М. а. с. для расшифровки нейтронограмм [41. Кроме того, jTue TBGHHO ускорило расшифровку широкое использование для этой цели ЭВМ. Количество магнетиков, структура к-рых определена методом магн, нейтронографии, составляет неск. тысяч. [c.649]

Полные электронно-колебательно-вращательные (рови-бронные) уровни энергии М. классифицируют по неприводимым представлениям (типам симметрии) группы симметрии молекулы. Разделение полного движения на отд. виды даёт возможность ввести приближённые квантовые числа для классификации уровней М. В большинстве случаев эти числа связаны с собств. значениями квадратов и г-ггроекцин соответствующих угл. моментов, В спектроскопии двухатомных М. используются угл. моменты и их квантовые числа, приведённые в табл. [c.186]

Разл. электронные уровни о заданным L линейной М. обозначают 2, П, Д, Ф,. .. в соответствии со значениями Л = 0,1,2,3,... Между типами симметрии и значениями Л имеется взаимно однозначное соответствие, поэтому неприводимые представления точечных групп Ueah и ool) также обозначаются 2, П, Д, Ф. Мультиплет-ность уровня, определяемая значениями 25 - - 1, записывается слева сверху Л, Наир., 2 обозначает уровень сЛ = 0 и5 1, а обозначает уровень с Л = 1 и 5 К этому символу добавляется значение J, N или F для каждого вращат. подуровня, а если необходимо, то ещё и номер колебат. уровня v. Для нелинейных М. Л не имеет смысла, вместо Л используется тип симметрии, а остальные обозначения сохраняются. [c.187]

А1 — о, Д/, = о для переходов, вызываемых этим взаимодействием. Всякая система адронов может быть однозначно представлена в виде суперпозиции состояний, имеющих определ, значение/, т. е. разложена по неприводимым представлениями изотопич. группы. Если в разложениях начального и конечного состояний системы имеются совпадающие неприводимые представления (т. е, с одинаковыми/), то реакция разрешена. В доиол-нение к правилам А1 — О, Д/д = 0 существуют ограничения, связанные с обращением в нуль Клебша — Гордона коэффициентов. Так, напр., в реакции распада р -мезона (/ — 1, /д = 0) на два я-мезона в разложении конечного состояния имеются неприводимые представления с / = 0, 1, 2. Наличие представления с / — 1 делает распад возможным. Однако из двух не противоречащих правилу Д/д = о состояний — п л" и дОдО — осуществляется лишь первое, т. к. коэф. р1леб-ша — Гордана обращаются для второго из них в нуль. Изотопич. инвариантность нарушается эл.-магн. и слабым взаимодействиями. [c.487]

ПАРАМЕТР ПОРЯДКА — термодинампч. величина, характери.эующая дальний порядок в среде, возникающий в результате спонтанного нарушения симметрии при фазовом переходе. Равновесный П. п. равен нулю в неупорядоченной фазе и отличен от нуля в упорядоченной. При фазовом переходе 2-го рода П. п. непрерывно возрастает от нулевого значения в точке перехода, а при переходе 1-го рода сразу принимает конечное значение. Если переход происходит из неупо-рядоч. состояния с группой симметрии G в упорядоченное состояние с пониженной группой симметрии Л G, то П. п. в равновесии инвариантен относительно преобразований из группы Н, но преобразуется по представлению группы G, отличному от единичного. Вблизи точки фазового перехода 2-го рода Т ., где П. п. мал, он преобразуется по одному из неприводимых представлений группы G-, вклад остальных представлений, согласно Ландау теории, мал по параметру т = 1 — [c.534]

Квантовая механика ставит в соотвегствие каждой частице поле её волновой ф-цин, дающее распределение различных, относящихся к частице физ, величин. Концепция поля является основной для описания свойств элементарных частиц в их взаимодействий. Конечная цель в этом случае — нахождение свойств частиц из ур-ний поля и перестановочных соотношений, определяющих квантовые свойства материи. Возможный вид ур-ний поля ограничен принципами симметрии и инвариантности, являющимися обобщением эксперим. данных. Лоренц-ковариантность, напр., требует, чтобы волновые ф-ции частиц преобразовались по неприводимым представлениям группы Лоренца. Таких представлений бесконечно иного, однако только часть пз них реализована в природе и соответствует тем или иным элементарным частицам. Реально используются наиб, простые ур-вин полей, являющиеся локальными и не-ревормвруемыми. Попытки построения теорий, не удовлетворяющих этим требованиям,— нелинейной, нелокальной и т. п. теорий поля — влекут за собой пересмотр ряда важнейших принципов, существенных при физ. интерпретации теории (принцип суперпозиции, положительность нормы волновой ф-цив н т. Д.). [c.56]

Конечная группа имеет конечное число неприводимых П. г. Сумма квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных П. г. равна порядку группы (теорема Бёрнсайда), причём все эти размерности являются делителями порядка группы. Число различных неприводимых представлений конечной группы равно числу классов сопряжённых элементов. [c.103]

Как и в случае группы Лоренца, представления П. г. строят с помощью односвязЕой группы. Уд — универсальной накрывающей для группы (см. Группа). Для квантовой теории поля важны унитарные неприводимые представления У (см. Представление группы). Согласно требованию релятивистской инвариантности, векторам состояния отвечают т, н. проективные представления, задаваемые с точностью до фазового множителя. Имеет место теорема Вигнера — Баргмана, утверждающая, что любое проективное представление группы У порождается обычным однозначным унитарным представлением группы Уд. [c.173]

Если квантовомеханич. система обладает определённой С., то операторы сохраняющихся физ. величин, соответствующих этой С., коммутируют с гамильтонианом системы. Если нек-рые из этих операторов не коммутируют между собой, уровни энергии системы оказываются вырожденными (см. Вырождение) определённому уровню энергии отвечают неск. различных состояний, преобразующихся друг чере-з друга при преобразованиях С. В матем. отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С. системы. Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике. [c.509]

Оказалось плодотворны. понятие т. н. динамич. С. системы, к-рое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с разл. энергиями. Неприводимым представлением группы динамич. С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамич. С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит от времени, причём в одно не-вриводимое представление динамич. группы С. объединяются в этом случае все состояния квантовомеха-нич. системы, не являющиеся стационарными (т, е. не обладаюпще заданной энергией). [c.509]

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощью матриц и спец, ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. Так, в теории структурных фазовых переходов 2-го рода пространственная группа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы является подгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переход связан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричной фазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллической решётки, её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. [c.514]

Осн. характеристиками точечной группы (как н ПИ-группы) являются их неприводимые представления (см. Представление группы), наз. также типами симметрии, к-рые определяют свойства преобразования волновых ф-ций при операциях точечной группы. Типы симметрии обозначают буквами А, В, Е, F (или Т) с индексами 1,2,, ", g, и. Буквами А а В обозначают одномерные неприводимые представления, или невырожденные типы симметрии. Так, Аозначает, что волновая ф-ция типа Aig полноенмметричва относительно [c.516]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...