Пуанкаре уравнения

Пример 1. Выведем из уравнений Пуанкаре уравнения Эйлера для движения твердого тела с одной закрепленной точкой. Пусть X, у, Z — неподвижные оси координат. Mi, 2, Юз — параметры возможных перемещений. По формулам Эйлера [c.298]

Эйлера уравнения 15, 134 Эйлера—Лагранжа уравнения 44 Эйлера—Пуанкаре уравнения 154 Эйлера—Якоби теорема 215 [c.238]

Отсутствие у Пуанкаре уравнения состояния при определении энергии в механике есть причина некорректности постановки нм задачи о теории возмущении и результатов этого в виде сложности аппарата теории возмущений и проблемы малых знаменателей, [c.9]

Составим дифференциальные уравнения для функций х (0= ( , h,... ti), У (0 = а( . ii,. .., Г/, v), к О, s, применяя формализм Пуанкаре. Уравнения для х (г) аналогичны (8.21), а уравнения для / (г) имеют вид [c.48]

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Если в дифференциальных уравнениях движения —все равно в уравнениях Лагранжа или Гамильтона — время t было выделено и входило иначе, чем координаты, так как по времени велось дифференцирование, то в контурный интеграл (85) дифференциал dt входит совершенно так же, как дифференциалы dqj. Если бы мы рассматривали время как дополнительную координату <7 +i, а в качестве импульса, соответствующего зтой координате, взяли гамильтониан с обратным знаком 1), то контурный интеграл (85) можно было бы переписать так [c.296]

В силу этой теоремы интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (так же, как и принцип Гамильтона) может быть положен в основу механики. Действительно, если бы мы в качестве исходного постулата приняли существование интегрального инварианта Пуанкаре — Картана, то отсюда сразу следовало бы, что движение описывается уравнениями Гамильтона, а при условии [c.300]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Следствие 9.5.2. Сохранение интеграла Пуанкаре есть необходимое и достаточное условие того, что заданная система дифференциальных уравнений есть система канонических уравнений Гамильтона. [c.664]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, ОГИЗ, 1947, разд. XI. [c.222]

В основополагающих работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре были впервые построены строгие математические методы исследования периодических решений дифференциальных уравнений. Эти периодические решения образуют сравнительно узкий класс решений дифференциальных уравнений. [c.295]

Общие методы исследования периодических решений дифференциальных уравнений, аналогичных (11.285), были рассмотрены А. Пуанкаре ). [c.306]

Общая теория интегрирования дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами была разработана А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре. В настоящее время теория квазигармонических колебаний находит применение в различных областях механики, радиотехники и т. д. [c.316]

Термин уравнения в вариациях принадлежит А. Пуанкаре. [c.381]

Дифференциальные уравнения движения голономных консервативных механических систем при возмущении одних лишь начальных значений координат q, и импульсов р, установил Пуанкаре. Пусть функция Гамильтона есть Н t, q р,) [c.235]

Это — уравнения в вариациях Пуанкаре. [c.235]

Аналогично доказывается, что если уравнения в вариациях Пуанкаре имеют линейный интеграл [c.236]

Отсюда просто доказывается известная теорема Пуассона. Если Ф = а и Oi = ai — два первых интеграла канонических уравнений движения, то будут существовать частные решения уравнений в вариациях Пуанкаре [c.236]

Уравнениями возмущенных движений материальной системы вблизи ее положения равновесия в первом приближении будут уравнения в вариациях Пуанкаре с постоянными коэффициента- [c.236]

Для ведущего движения уравнения в вариациях Пуанкаре будут иметь коэффициенты зависящие от времени. Наименьшее из характеристичных чисел функций, составляющих некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре т] называется характеристичным числом этого решения. Пусть оно есть у. и пусть у/ есть характеристичное число другого решения Isi 11s 1 для которого инвариант отличен от нуля [c.242]

Если все у. положительны, то решения уравнений в вариациях дают устойчивость, если среди характеристичных чисел существует по меньшей мере одно отрицательное, то — неустойчивость. Из последнего неравенства следует, что для устойчивости ведущего движения по уравнениям в вариациях Пуанкаре необходимо, чтобы все характеристичные числа х были нулями. Для случая приводимых уравнений в вариациях Пуанкаре предложение это говорит, что вблизи устойчивого ведущего движения возмущенные движения имеют колебательный характер. Вопрос о частоте нормальных колебаний еще не разрешен. [c.242]

Для голономной механической системы, на которую действуют силы с силовой функцией, Пуанкаре ) установил уравнения возмущенного движения, когда возмущения вызываются малыми отклонениями начальных значений координат q, и импульсов р,. [c.281]

После разложения правых частей в ряды Тейлора по малым аначениям ц, и использования (14) получаем в первом приближении уравнения в вариациях Пуанкаре [c.282]

Среди характеристически.х корней уравнения в вариациях для этого решения имеется отрицательное число (—а). Согласно известным результатам Ляпунова—Пуанкаре, уравнения движения имеют решение (13), асимптотическое к решению (И). Отметим, что метод Блока—Шази уже раньше применялся [c.76]

Решение относительно и и по степеням т. В изложении работы Хилла, данном Пуанкаре, уравнения (49) записываются в виде [c.296]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Эти уравнения отличаются от уравнений Гамильтона в тех же отнсилениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре — Картана роль функции Н играет функция К, вместо t стоит <7, и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уиттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы. [c.328]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Следствие 9.5.4. Существование интегрального инварианта Пуанкаре-Картана есть необходимое и достаточное условие того, чтобы движение еистемы опиеывалось каноническими уравнениями с функцией Гамильтона, входящей в выражение инварианта. Инва-риантноеть интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики голономных еистем е потенциальными силами. [c.666]

Пример 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна дН1д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области О, выделяемой неравенством [c.671]

Однако большинство выдающихся ученых-механиков ц физнков-теорети-ков оставалось па позициях стихийного материализма. Это видно, например, из работ Больцмана, Кирхгофа, Пуанкаре и других ученых, обогативших механику рядом важнейших достижений. Их идейные противники, оставаясь, по существу, творчески бесплодными, все дальше отходили от критерия практики. Материя исчезает , остаются одни уравнения , так характеризует взгляды фиэиков-идеалистов В. И. Ленин ). [c.39]

Далее были сделаны попытки распространения результатов А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре на квазипериоднческие решения дифференциальных уравнений движения неавтоколебательных систем. [c.295]

X2,. ... бл . Уравнения (И.381Ь) позволяют определить бх,-, входящие в состав интегральных инвариантов, как функции времени. Заметим, что уравнения (П. 381Ь) составлены при частном предположении, что бi = О, т. е. при составлении этих уравнений рассматривались одновременные состояния системы при различных начальных условиях. Это соответствует подходу А. Пуанкаре к построению интегральных инвариантов. [c.382]

В силу непрерывности мультипликаторов они остапутся некратными и при достаточно малых е, отличных от нуля. Кроме того, при достаточно малых 8 мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот ва/кный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (п. 212). Согласно этой теореме мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых мультипликаторы не могут сойти с окружности, не на-рупгив указанной симметрии. [c.399]

Книга содержит лезщии по университетскому курсу теоретической механики, а также но ряду ее дополнительных разделов, читанные в разное время (30-е — 50-е годы) известным советским ученым и замечательным педагогом чл.-кор. АН СССР Н. Г. Четаевым студентам и аспирантам Казанского и Московского университетов. Книга содержит кинематику, статику, динамику и аналитическую механику, а также оригинальные курсы лекций по теории уравнений Пуанкаре, теории притяжения, релятивистской механике и некоторым главам аналитической динамики. [c.2]

Спецкурс Уравнения Пуанкаре читался П. Г. Четаевым в 1955 г. В нем наряду с развитием идеи Пуанкаре об использовании так называемых групповых переменных для написания уравнений движения рассматривается вопрос интегрируемости уравнений связей, т. е. условий голопомности связей, на чем обычно в механике не останавливаются. [c.7]

Первая группа уравнений в вариациях Пуанкаре дает неносред-ствепно такие уравнения [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...