Уравнения Эйлера—Пуанкаре

Уравнения Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли [c.27]

Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера — Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3) вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра д = во Ъ) изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом ортогональных осей. Тогда [их, иг] = из, [иг, из] = их, [из, их] = иг- Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой [c.28]

Относительно скобки Ли — Пуассона уравнения Эйлера — Пуанкаре имеют гамильтонов вид [c.29]

Уравнения Эйлера — Пуанкаре (2.3) не для каждой алгебры Ли д можно привести к гамильтонову виду. Препятствием является отсутствие инвариантной меры. Рассмотрим этот вопрос более подробно. [c.30]

Следуя [98], рассмотрим задачу о наличии у системы уравнений Эйлера — Пуанкаре (2.3) инвариантной меры на алгебре д = w . [c.31]

Теорема 1. Уравнения Эйлера — Пуанкаре имеют интегральный инвариант в том и только том случае, когда группа G унимодулярна. [c.31]

Предложение 2. В случае (г) уравнения Эйлера — Пуанкаре имеют интегральный инвариант, в случае (б) нет интегрального инварианта, однако имеется инвариантная мера с плотностью любой конечной гладкости, в случаях (а) и (в) нет инвариантной меры с суммируемой плотностью. [c.32]

Например, если /, —однородные многочлены степени m > 1, то в (9.23) можно положить =. .. = = . Но тогда, ввиду (9.24), д = 1/(т - 1), что является целым лишь при m = 2. Итак, уравнения с квадратичными правыми частями допускают группу подобий вида (9.23). Важным примером служат уравнения Эйлера— Пуанкаре на алгебрах Ли. Более сложный пример доставляют уравнения (9.15) они допускают группу t —> t/a, щ —> ащ, Vk —> a Vk. Сходный пример — уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.120]

Если гамильтониан Н не зависит от т. е. vi H) = 0), то уравнения для квазиимпульсов Mi, Mj. замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции, при этом константы fj определяются алгеброй so(3). Для произвольной алгебры со структурными константами такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом также (как и в п. 1) называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре. [c.37]

Уравнения Эйлера-Пуанкаре на группе 80(3). Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной в пространстве (в некоторой инерциальной системе отсчета). Конфигурационное пространство в этом случае — группа б О(З). Воспользуемся ее пред- [c.47]

Подставляя (4.4) и (4.6) в уравнения Эйлера-Пуанкаре (2.4), получим уравнения движения в форме [c.49]

Уравнения Пуанкаре-Жуковского. Под этими уравнениями понимается гамильтонова система на во(4) с квадратичным гамильтонианом (уравнения Эйлера-Пуанкаре на во(4), см. 2 гл. 1). В векторном представлении функция Гамильтона может быть представлена в двух эквивалентных формах [c.181]

Для записи уравнений Эйлера-Пуанкаре на группе Е 3) используем в качестве квазискоростей проекции угловой скорости ш и скорости выделенной точки тела V на оси связанной с телом системы координат. В этом случае согласно гл. 1, 4 уравнения можно представить в векторной форме [c.267]

Уравнения Эйлера—Пуанкаре [c.146]

Замечание. Как установлено в [34], уравнения Эйлера—Пуанкаре (1.11) на алгебре g допускает инвариантную меру с гладкой плотностью в том и только том случае, когда группа С унимодулярная. В этом случае фазовый поток системы (1.11) сохраняет стандартную меру на g [c.164]

Пример 1. Выведем из уравнений Пуанкаре уравнения Эйлера для движения твердого тела с одной закрепленной точкой. Пусть X, у, Z — неподвижные оси координат. Mi, 2, Юз — параметры возможных перемещений. По формулам Эйлера [c.298]

В динамике твердого тела роль переменных ту, могут играть компоненты вектора угловой скорости тела в проекции на связанные с ним оси. В этом случае уравнения Пуанкаре переходят в уравнения Эйлера. [c.264]

Козлов, Валерий Васильевич (род. 1.01.1950) — русский математик и механик, академик РАН (с 2000 г). В цикле работ, объединенных в монографии Методы качественного анализа в динамике твердого тела (МГУ, 1980), доказал несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера-Пуассона, а также указал динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений — расщепление сепаратрис, рождение большого числа невырожденных периодических решений. Эти исследования закрыли проблему Пуанкаре, поставленную им в Новых методах небесной механики (т. 1), а также открыли новую эпоху в динамике твердого тела, в которой на первый план вышли методы качественного исследования, а не поиск частных решений заданной алгебраической структуры. [c.26]

Если функция Лагранжа является однородной квадратичной формой от ее угловых скоростей (например, кинетическая энергия), то Vi L) = О, и система (2.4) для определения ш отделяется и интегрируется отдельно. В этом случае уравнения (2.4) называются Эйлера-Пуанкаре. [c.34]

Пуанкаре получил свои уравнения, используя вариационный принцип Гамильтона [255]. Приведем вывод уравнений (2.4) непосредственно из уравнений Эйлера-Лагранжа для случая, когда число компонент квазискорости ш = ил,..., Шк) совпадает с размерностью конфигурационного М пространства, определяемого связями fj q) =0, j = 1,..., т,т.е. к = п — т. [c.34]

B 7 гл. 5 приведено более общее семейство частных интегрируемых случаев на пучке скобок частными случаями которого являются случай Ковалевской уравнений Эйлера-Пуассона, случай Чаплыгина (I) уравнений Кирхгофа и случай Богоявленского (I) уравнений Пуанкаре-Жуковского, а также различные гиростатические обобщения. [c.196]

Эйлера уравнения 15, 134 Эйлера—Лагранжа уравнения 44 Эйлера—Пуанкаре уравнения 154 Эйлера—Якоби теорема 215 [c.238]

К интеграции по методу Пуанкаре дифференциальных уравнений для Р, Я, Н, легко получаемых из уравнений Эйлера и интегрируемых при условии, что Р, Я, ВТ стремятся к нулю, когда [c.67]

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с множеством 9 резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи. [c.97]

Исследования Ковалевской, Ляпунова и других авторов в динамике твердого тела показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, как раз тогда, когда существует дополнительный однозначный интеграл. Долгое время оставалось неясным, является ли это обстоятельство случайным совпадением, или же в его основе лежат какие-либо глубокие причины. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре доказано, чго именно существование бесконечного числа неоднозначных решений препятствует появлению нового однозначного аналитического интеграла в общем случае. [c.107]

Если лагранжиан С левоинвариантен (т. е. г> ( ) = 0), то С зависит лишь от переменных и матрица В обращается в нуль. В этом случае уравнения Пуанкаре являются замкнутой системой уравнений на алгебре д матрицы А и. Ь дают их представление Гейзенберга. Такое представление не всегда точное если группа С абелева, то с,у = О и уравнение (8.5) вырождается в тривиальное тождество. Однако представление Гейзенберга является точным для случая, когда д — простая алгебра (как в задаче Эйлера). [c.107]

Козлов В, В, Об инвариантных мерах уравнений Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли // Функц, анализ и его прил, —1988, т, 22, 1, 69-70, [c.421]

Интересно заметить, что связь между лагранжевой и гамильтоновой формой понятна большинству механиков только в канонической записи. Так в книге [21] гамильтонова форма уравнений динамики твердого тела считается заведомо установленной из некоторых не вполне естественных соображений, в частности, со ссылкой на работу [133], в которой реально автор, не зная общего формализма динамических уравнений, даже переоткрывает углы Эйлера и сопряженные им импульсы. Далее в [21] доказывается несколько странных теорем, что из гамильтоновой формы можно получить лагранжеву, при этом, конечно, возникает некоторая путаница, так как пуассонова коммутация компонент момента с импульсами и направляющими косинусами одинакова, и одни и те же уравнения Кирхгофа можно представлять себе как часть импульсных уравнений на группе (3) — уравнения Эйлера - Пуанкаре для М, р, которая в случае отсутствия потенциала отделяется от позиционных уравнений (для направляющих косинусов), а с другой стороны — как гамильтоновы уравнения на 30(3), при этом необходимо интерпретировать компоненты импульсивной силы р как направляющие косинусы. В этом, кстати, заключается аналогия Стеклова [272] (см. также 4 и гл. 3, 1). [c.38]

Даже в замечательной книге [97] доказывается утверждение о негамиль-тоновости уравнений Эйлера - Пуанкаре (рассматриваемых в отрыве от по- [c.38]

Уравнения (1.11) будем называть уравнениями Эйлера—Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3). Свойство левоинвариантности кинетической энергии вращающегося волчка очевидно. Используя коммутационные соотношения (1.10), уравнения (1.11) легко привести к форме [c.154]

Связь дифферециальных уравнений движения с группой виртуальных перемещений наиболее полно установил А. Пуанкаре [1], выведя новые уравнения движения систем, стесненных стационарными связями, основанные на применении групп Ли. Из уравнений Пуанкаре следуют как частные случаи уравнения Лагранжа второго рода и уравнения Эйлера движения твердого тела. [c.4]

Заметил аналогию между случаем Клебша и задачей Бруна. В 1909 г указал новое интегрируемое семейство для задачи о движении твердого тела с полостями, заполненными жидкостью (уравнения Пуанкаре - Жуковского). Привел два частных решения уравнений Эйлера-Пуассона (одно из них — одновременно с Д. К. Бобылевым). [c.25]

Если уравнения Эйлера-Пуассона хорошо известны и их вывод из принципов динамики содержится в большинстве учебников, то обсуждение физического происхождения уравнений Кирхгофа и Пуанкаре-Жуковского можно найти только в оригинальных работах классиков и трактате Ламба [111]. Мы вкратце приведем здесь этот вывод в современньк обозначениях и с использованием формализма уравнений Пуанкаре-Четаева. [c.262]

Важной особенностью эллипсоидальной полости, является то, что в ней существует частное решение уравнений Эйлера идеальной жидкости, для которого скорости х), удовлетворяющие уравнениям гидродинамики и граничным условиям, линейны по координатам. Именно поэтому однородное в начальный момент вихревое течение, остается однородным во все моменты времени (А. Пуанкаре, П. Л. Дирихле). Укажем это решение в явном виде. [c.270]

Рассмотрим теперь более общий случай, когда твердое тело находится в осесимметричном силовом поле с силовой функцией V. Ввиду уравнений Пуанкаре, в правую часть уравнений Эйлера надо добавить слагаемые и<( ). Пусть у—1у1е1 — единичный вектор оси симметрии поля. Очевидно, что У= . = ( 1> 72. Уз). Условие постоянства вектора у в неподвижном пространстве эквивалентно уравнению [c.26]

Знаменитый американский математик и астроном Хилль в возрасте 23 лет поступил ассистентом в вычислительное бюро Американского мбрского месяцеслова, в котором и проработал 31 год как на практических чисто вычислительных работах, так и на теоретической подготовке оснований для этих работ, получивших самую высокую оценку от таких ученых, как Адамс, Дарвин, Ньюкомб, Пуанкаре это и послужило мне поводом к тому, чтобы привести здесь небольшое извлечение из исследований Хилля, относящихся к упрощенному виду тех уравнений, с которыми имел дело Эйлер. [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...