Решение уравнений для круглых пластин

Решение основного уравнения для круглых пластин [c.163]

Основное линеаризованное уравнение для пластины постоянной толщины (4.33), полученное в декартовой системе координат, удобно для решения задач устойчивости пластин, контур которых совпадает с координатными линиями. Для пластин другой формы может оказаться удобной другая, не декартова система координат. Так, для круглых пластин основное уравнение удобнее представить в полярных координатах. [c.149]

Положительные направления нагрузки, формальных кинематических и статических параметров круглой пластины соответствуют параметрам прямоугольной пластины и представлены на рисунке 1.8, 1.10. Вид фундаментальных функций и грузовых членов решения уравнения (7.42) зависит от соотношения между г и 5 и вида корней (7.19). Из таблицы 7.3 следует, что для круглой пластины основным является случай s>r. Фундаментальные функции этого случая имеют вид [c.417]

Расчетные параметры Тз и Г определяются независимо. Сначала с помощью интеграла (2.51) вычисляется параметр Гу, т. е. поперечная сила. После решения уравнений (10.36) могут быть вычислены величина Гз и, следовательно, прогиб пластины. Для этого следует воспользоваться интегралом (2.54), который для круглой пластины принимает следующий вид [c.156]

Для стержней постоянного сечения, нагруженных сосредоточенными силами, определяющее уравнение выражается через круговые функции, а для стержней, нагруженных распределенными силами и для круглых пластин, сжатых распределенными по контуру радиальными силами, через функции Бесселя. Практическая возможность решения (путем подбора) подобных уравнений связана с наличием достаточно подробных таблиц использованных функций. Но и при наличии соответствующих таблиц необходимо отметить значительную трудоемкость решения получаемых уравнений. [c.225]

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного дифференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных с двумя аргументами к обыкновенному, уравнения в частных производных с п аргументами к уравнению также с частными производными, но с п — 1 аргументами, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает отыскание его решения. Добиться уменьшения числа аргументов любого из перечисленных дифференциальных уравнений (в случае их линейности) принципиально возможно с помощью интегрального преобразования. Разберемся в этом вопросе на примере обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего единственный аргумент t, исключение которого трансформирует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Операторный метод весьма эффективен и находит широкое применение, например, в некоторых задачах теплопроводности [15]. В данной главе для иллюстрации метода приведены решения задач о прогреве тел простой формы стержня полубесконечного и стержня конечных размеров, а также круглой пластины. [c.193]

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

Задача о контакте гибкой круглой пластины с жесткой плоской плитой решена в [175] итеративным сопряжением решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в зоне контакта и вне ее. Деформация поперечного обжатия не принята во внимание, поэтому поперечная сила на границе зоны контакта терпит разрыв. [c.14]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

Дальнейший ход решения зависит от характера краевых условий. Исследуем колебания круглой пластины. Для этого решение уравнений (V.2.5) будем искать в полярных координатах. [c.149]

Однако пользоваться этими уравнениями непосредственно неудобно, поскольку они содержат неизвестные начальные параметры. Для упрощения решения задачи воспользуемся приемом, разработанным применительно к расчету круглых пластин и дисков переменной толщины [3], [4]. [c.262]

Из работ последнего времени, посвященных расчету круглых пластинок, снабженных кольцевыми ребрами, следует прежде всего указать статью С. Н. Соколова [9]. В этой работе обстоятельно изложен метод расчета круглых и кольцевых пластин, усиленных кольцевыми ребрами различной длины, подверженных осесимметричному нагружению. Благодаря применению в этой работе обобщенных уравнений изгиба круглых и кольцевых пластин, полученных ранее автором, решение компактно и ввиду наличия ряда вспомогательных таблиц весьма удобно для использования в расчетной практике. [c.97]

В работе [13] рассматривается круглая пластина радиуса а, лежащая на упругом изотропном полупространстве. При этом предполагается, что трения между ними нет и что пластинка находится в контакте с полупространством по всей своей поверхности. На пластинку действует заданная осесимметричная нагрузка (г)(г) е . Удовлетворяя граничным условиям, для динамической задачи получены парные интегральные уравнения, которые затем сводятся к одному интегральному уравнению второго рода. Для решения этого интегрального уравнения предлагается метод последовательных приближений, [c.333]

Как следует из изложенного ниже, в решении задачи определения предельных нагрузок для круглых и кольцевых осесимметрично нагруженных пластин используются как уравнения равновесия, так и гипотеза о характере деформации пластины (гипотеза прямолинейных нормалей), заменяющая условия совместности деформаций. Поэтому полученное решение будет полным. [c.225]

Для простоты рассмотрим колебания осесимметричного тела. В этом случае можно получить несколько различных решений уравнения колебаний для которых собственные значения ол одинаковы. Например, нетрудно убедиться, что уравнение изгибных колебаний круглой пластины с осесимметричными граничными условиями удовлетворяется двумя линейно независимыми функциями вида [c.157]

Пример 7.2. В пластине по рисунку 7.6,с два прямоугольных элемента соединяются под прямым углом посредством кругового сектора. Выполняя процедуру по схеме (1.46), обобщенные граничные параметры каждого элемента находим из решения системы уравнений 12-го порядка, где матрицы лишь минимально отличаются от матриц примера 7.1. Для подобластей 0-1 и 2-3 используются фундаментальные функции (7.22) при а=1, для круговой подобласти 1-2 — (7.50) при ф=тг/2. Исходные данные круглого элемента [c.426]

Более громоздкие задачи для конечных областей рассматривались в работах [3, 83, 91, 203, 244]. В ряде работ Миндлина и его сотрудников, относящихся к круглому цилиндру [179, 225, 237] и прямоугольной пластине [227, 238], для решения конкретных задач развита и использована приближенная теория. По своему существу она является некоторой модификацией метода однородных решений для учета трех первых ветвей дисперсионного уравнения (см. далее рис. 61 и 62). [c.160]

Точные решения. Сравнительно немногочисленные точные решения относятся к одномерным задачам. Так, задача о вращающемся диске приводится к интегрированию системы двух квазилинейных уравнений с краевыми условиями, заданными на границах интервала (Н. Н. Малинин, 1959). Применение ЭЦВМ делает такие расчеты относительно несложными. Применение кусочно-линейных потенциалов позволяет получить для некоторых случаев решение задачи в замкнутом виде. Задача о концентрации напряжений около круглого отверстия в равномерно растянутой пластине решена В. И. Розенблюмом (1959) для критерия типа Треска и Ю. В. Немировским (1964) для критерия наибольшего приведенного напряжения. А. Г. Костюк (1950) рассмотрел диск с отверстием с толщиной, меняющейся по степенному закону в зависимости от радиуса при степенном законе ползучести. К наружному контуру приложена равномерная растягивающая нагрузка. Получено точное решение, представленное в параметрическом виде. [c.135]

Как показано в п. 7.1, все основные соотношения теории круглых и кольцевых пластин могут быть получены из приведенных в п. 10.1 соотношений для оболочек вращения. В общем случае расчет пластины, усиленной радиальными ребрами, сводится к решению канонической системы уравнений (2.41). За [c.154]

В данной работе предлагается принципиально новый метод расчета цилиндрических складчатых систем, основанный на алгоритме МГЭ для стержневых систем. Теоретической основой метода является вариационный метод Канторовича-Власова. Решение задачи Коши изгиба прямоугольной пластины представлено в 6.2. Его можно использовать для расчета пластинчатых систем в случаях, когда плоским напряженно-деформированным состояниям элементов можно пренебречь. Алгоритм МГЭ устраняет практически все отмеченные выше недостатки существующих методов. Так, для формирования системы разрешающих уравнений типа (1.38) не используются матричные операции, не рассматривается основная система, снимаются ограничения на условия опирания пластин по торцам (граничные условия могут быть любыми, а каждая пластина может иметь смешанные граничные условия и включать как прямоугольные, так и круглые элементы), матрица коэффициентов А сильно разрежена, хорошо обусловлена и может приметаться в задачах статики, динамики и устойчивости, возможен учет ортотропии, ребер жесткости, упругого основания, переменной толщины и т.д. Таким образом, алгоритм МГЭ охватывает практически наиболее общий случай расчета. Перечисленные преимущества сопровождаются, как это бывает всегда, и недостатками. В частности, порядок матрицы А существенно больше порядка матрицы реакций метода перемещений. Однако этот недостаток [c.232]

В работе [110] найден коэффициент прохождения звука сквозь абсолютно жесткую пластину произвольной волновой толщины с круглыми или прямоугольными отверстиями. Общее решение также сведено к бесконечной системе алгебраических уравнений, и, кроме того, для тех случаев, когда отверстия образуют правильную решетку, а размеры отверстий меньше длины звуковой волны, получены гораздо более простые выражения, пригодные для расчетов без помощи ЭВМ. [c.117]

В настоящей главе выводятся дифференциальные уравнения с коэффициентами типа импульсных функций (асимметрическая единичная функция, дельтафункция Дирака и ее производная) теплопроводности многоступенчатых изотропных тонких пластин и цилиндрических стержней с учетом теплоотдачи и внутренних источников тепла, квазистатической задачи термоупругости осесимметрически деформируемой круглой многоступенчатой пластины. На основе выведенных уравнений для круглых пластин кусочно-постоянной толщины, нагреваемых внутренними источниками тепла или внешней средой, находятся единые для всей области определения замкнутые решения статических и квазистатических задач термоупругости. [c.313]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Первая основная задача для круглой пластины радиуса а, имеюшей -отверстий, расположенных симметричным образом на окружности радиуса Ь < а, рассмотрена X. Сайто [2.113]. Бигармоническая функция напряжений разыскивается в виде суммы трех тригонометрических рядов. Решение сводится к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. [c.284]

Изгиб круглых несимметрично нагруженных пластин постоянной толщины рассмотрен в 4 7. Следует отметить, что для круглых неосесимметрично нагруженных пластин переменной толщины эффективньш является численное решение путем интегрирования на ЭВМ обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых после разложения решения в тригонометрический ряд по угловой координате. [c.52]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

Для поворотно-симметричных систем с ограниченным порядком симметрии рассмотренные выще представления соответствовали описанию перемещений в дискретных сходственных точках с олределением их окружного расположения дискретными значениями угла фА. Для осесимметричных систем сходственные точки располагаются непрерывно на окружностях с центрами на оси симметрии системы, соответствуя непрерывному изменению центрального угла ф. Например, общее решение дифференциального уравнения для свободных изгибных колебаний круглой пластины при двукратной собственной частоте Рт,п в представлении (2.10) имеет вид [c.29]

Влияние газового потока па ламинарное течение пленки впервые было рассмотрено П. А. Семеновым [113] в начале 40-х годов. Полученные им зависимости хотя и не учитывают процессов волнообразования на поверхности пленки, однако позволяют наглядно понять сущность явления захлебывания, которое происходит в трубках с увеличением скорости газа и переходом от нисходящего к восходящему течению пленки. В более общем виде аналитическое решение уравнений движения для расслоенного ламинарного течения жидкости и газа между параллельными бесконечными пластинами и в круглой трубе с плоской поверхностью раздела фаз было получено в 1946 г. С. Г. Телетовым [123]. Несколько позже (1961 г.) Н. И. Семеновым и А. А. Точигиным 1112] была решена задача расслоенного ламинарного течения жидкости и газа с невозмущенной поверхностью раздела фаз в виде дуги любой кривизны. Расслоенное ламинарное течение при наличии переноса массы (конденсация, испарение) изучалось Г. Г. Черным [143] и Г. А. Бедой [5]. К данному направлению теоретических исследований следует отнести также работы В. А. Успенского [131], С. В. Рыжкова и А. Н. Майбороды [81, 110], а также Б. И. Конобеева [64, 65], который упростил решение П. А. Семенова, отбросив члены, учитывающие воздействие сил тяжести на движение пленки. Следует отметить, что подобный подход к рассматриваемой задаче является допустимым только при больших скоростях газового потока. Однако в этих условиях поверхность пленки покрыта волнами, а следовательно, необходимо рассматривать не ламинарное, а ламинарно-волновое течение. [c.184]

Следует отметить, что все задачи, решенные в гл. VI — VIII, могут быть сформулированы в виде бесконечной системы линейных уравнений для величин, определяющих комплексные амплитуды волн в различных областях (например, волн в коаксиальной линии и в Круглом волноводе, диффравдионных вол н в свободном полупространстве и волноводных волн между металлическими пластинами и т. д.). Можно сказать, что всякий раз, когда по методу факторизации задача сводится к факторизации мероморфной функции, эта задача может быть сформулирована в виде бесконечной системы линейных уравнений, причем можно получить явное решение этой системы — неизвестные амплитуды волн могут быть выражены через бесконечные произведения. [c.304]

Решения уравнений пограничного слоя при трехмерных нестационарных течениях получены также В. Вюстом для тел, совершающих нестационарные движения в направлении, перпендикулярном к направлению обтекания. В частности, им был исследован пограничный слой на круглом цилиндре,, совершающем периодическое движение в направлении, перпендикулярном к направлению набегающего потока. Рассмотренное В. Вюстом обтекание плоского клина, совершающего колебания в направлении к передней кромке,, содержит в себе как частные случаи осциллирующее обтекание пластины и осциллирующее течение в окрестности критической точки. [c.392]

Теория пограничного слоя объяснила существенное для практики явление отрыва жидкости от плавной поверхности. Уравнения теории пограничного слоя были впервые решены для простейших случаев пластины и круглого цилиндра Блазиусом в 1907 г., и тела вращения— Больтце в 1908 г. Хнменц в 1911 г. иа примере круглого цилиндра показал, что при отрывном обтекании тел нельзя при решении уравнений [c.39]

Широкое внедрение ЭВМ в расчетную практику позволило создать библиотеки подпрограмм для различных элементов оболочек и пластин, позволяющие по единообразным данным о геометрии элемента, поверхностным и краевым нагрузкам и перемещениям вычислить неизвестные перемещения, усилия и напряжения в сечениях элементов. Для многих тонкостенных элементов постоянной толщины имеются аналитические формулы, например для цилиндрических, сферических, конических оболочек, круглых и кольцевых пластин, некоторых оболочек линейно-переменной толщины. Традиционные методы строительной механики - методы сил, перемещений, начальных параметров — позволяют рассчитьшать конструкции, представленные в виде различных комбинаций базисных элементов. Численная процедура сводится к решению систем алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений или усилий в местах сопряжения элементов. [c.45]

В ПЯТОЙ главе исследуются плоские контактные задачи для упругих тел с тонкими покрытиями (прослойками). Здесь дай общий асимптотический анализ задачи о передаче давления от штампа через покрытие на упругую полосу. Показано, что в зависимости от своей относительной жесткости и толщины покрытие может работать как пластина, описываемая уравнениями различного уровня точности, как накладка или как винкле-ровский слой. Рассмотрена контактная задача для упругой полосы или полуплоскости с тонким покрытием винклеровского типа Задача рассмотрена как в статической, так и в динамической постановке. В последнем случае предполагается, что динамические эффекты локализуются лишь в покрытии. Изучена контактная задача для упругой полуплоскости с тонким нелинейным покрытием винклеровского типа. Для решения использованы асимптотические методы. Исследована контактная задача для упругой полосы, усиленной по основанию прослойкой типа накладки. Рассмотрена задача о движении штампа с постоянной скоростью по границе упругой полуплоскости, усиленной накладкой. Наконец, дано решение задачи о вдавливании круглого упругого диска в границу кругового отверстия в упругой плоскости, поверхность которого усилена тонким покрытием. [c.13]

При осесимметричной деформации целесообразно задать разрешающие параметры Г,- в форме зависимостей (2.40). Используя уравнения (2.51) — (2.54), (2.57) и поступая так же, как и в предыдущей главе, можно получить однородные и частные решения при осесимметричной деформации. Ниже приведены полные решения в форме (7.5) для задач о плоском напряженном состоянии и изгибе отдельного участка круглых и кольцевых пластин из ортотропиого материала с толщиной, изменяющейся по степенному закону (7.2). Эти решения могут быть легко использованы для пластин переменной толщины из изотропного материала, а также для пластин постоянной жесткости. [c.111]

Изложенный в предыдущем параграфе алгоритм позволяет с достаточной для практики точностью производить расчеты самых различных оболочек и круглых (кольцевых) пластин. Однако его реализация требует применения ЭВМ. Во многих случаях могут применяться сравнительно простые формулы, позволяющие в первом приближении определять необходимые параметры конструктивно ортотропных оболочек при осесимметричной нагрузке. Сначала получим аналитическое решение системы дифференциальных уравнений конструктивно ортотроп-ной оболочки. Рассмотрим случай, когда ребра расположены симметрично по обе стороны оболочки, т. е. примем Zp = 0. Для приближенного расчета оболочек с односторонними ребрами также можно пользоваться формулами, приведенными ниже, хотя это связано с некоторой дополнительной погрешностью. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...