Величины бесконечно малые

Пусть. As и Asi — величины бесконечно малых дуг конформных кривых, при одинаковых значениях их углов смежности As—Asi (здесь s>si) — величина скольжения подвижного торса на бесконечно малом участке его ребра возврата. Коэффициентом скольжения подвижного торса по неподвижному вдоль образующей их соприкасания является величина [c.366]

Указанными построениями определяется кривая линия — график зависимости F = ф(1). Площадь, ограниченная этой кривой линией, осью абсцисс и двумя бесконечно близкими ординатами, расстояние между которыми Лг, равна FAr, т. е. численно она равна величине бесконечно малого [c.402]

Учитывая, что — величина бесконечно малая, можем положить [c.81]

Отсюда видно, что когда время т бесконечно мало (стремится к нулю), то при обычных силах и приращение скорости Av=vi—щ будет тоже величиной бесконечно малой (стремящейся к нулю). [c.396]

Действительно, если расстояние Ad между точками и В прямой а - величина бесконечно малая (см. рис. 1), то и расстояние Aid между соответствующими этим точкам точками и прямой Ь будет также бесконечно малым. [c.15]

Запись в виде векторного произведения особенно удобна для выражения угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Мы видели, что повороты на конечный угол не являются векторами, потому что два таких поворота не подчиняются закону сложения векторов. Но угловая скорость, по определению, представляет собой предел отношения бесконечно малого угла поворота к бесконечно малому интервалу времени, за который происходит этот поворот. Порядок, в котором совершаются два бесконечно малых поворота, не влияет на окончательное положение предмета, если исключить слагаемые такого же порядка малости, как квадрат величины бесконечно малых поворотов, а эти слагаемые исчезают при соответствующем переходе к пределу. В одной из последующих глав мы докажем это и рассмотрим элементарную динамику вращающихся тел. [c.62]

В гл. 2 мы видели, что повороты на конечный угол не являются векторами, потому что при сложении двух таких поворотов не сохраняются свойства сложения векторов. Эта трудность не возникает при переходе к пределу для бесконечно малых поворотов, так как порядок, в котором производятся два бесконечно малых поворота, не влияет на конечное положение предмета (за исключением слагаемых одного порядка малости с квадратом величины бесконечно малых поворотов, а эти слагаемые в пределе исчезают). Если повернуть тело на бесконечно малый угол Дф1 вокруг оси е, и на бесконечно малый угол Дф2 вокруг оси то при достаточно малых Дф и Афа последовательность, в которой совершаются эти повороты, не влияет на результат (мы предполагаем, что обе оси проходят через общую точку). Существует один поворот вокруг оси ез на угол Дфз, который в пределе для бесконечно малых Дф равносилен сумме поворотов I и 2. Этот поворот определяется следующим векторным уравнением (рис. 3.34) [c.110]

Прежде чем перейти к решению задач, рассмотрим один до сих пор не встречавшийся, вид нагрузки. Пусть на балку АВ длины I (рис. 1.60, о) действует такая система параллельных сил, что к каждой точке балки приложена одна из сил этой системы, причем модули всех сил равны и являются величинами бесконечно малыми. [c.65]

Тогда, учитывая непрерывность изменения напряжения в жидкой среде и пренебрегая величинами -бесконечно малыми, стремящимися к нулю при уменьшении параллелепипеда до размеров точки, мы можем определить среднее гидростатическое напряжение на соответствующих гранях параллелепипеда последующим -выражениям [c.24]

При бесконечно малой длине участка ас площадь аЬса есть величина бесконечно малая, второго порядка малости по сравнению с площадью асс а, откуда и следует, что с точностью до бесконечно малых второго порядка [c.42]

Этот результат получается также и из рассмотрения величины (ИчП , которая, согласно теории упругости, равна относительному изменению 01 величины бесконечно малого элемента объема ЙУ в данной точке [c.67]

Выбранные таким образом элементарный объем dv и элементарный промежуток времени dx, в пределах которых рассматривается изучаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения — величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение среды и рассматривать ее как континуум (сплошную). Полученная таким образом зависимость является общим. дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. Интегрируя дифференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматриваемого промежутка времени. [c.17]

В действительности эти три вращения не могут происходить одновременно, а лишь последовательно. Тем не менее ото нисколько не мешает тому, чтобы в анализе рассматривать их как происходящие одновременно дело в том, что каждое из них, изменяя бесконечно малое положение тела, лишь бесконечно мало влияет на смещения, вызываемые другими вращениями, и видоизменяет движения, обязанные своим происхождением другим вращениям, лишь на величину, бесконечно малую по" сравнению со своим собственным значением. Прим. Бертрана.) [c.77]

Хотя теорема об однородных функциях, о которой мы только что упомянули, была доказана в различных работах и, следовательно, ее можно считать известной, тем не менее изложенное ниже доказательство этой теоремы настолько просто, что я не считаю себя вправе его опустить. Если F представляет собою однородную функцию различных переменных X, у,. . . и имеет п-е измерение, го ясно, что если вместо X, у,. . подставить ах, ау,. .. , то эта функция необходимо примет вид a F, какова бы ни была величина а. Если положить а = 1 -Ь и рассматривать ос как величину бесконечно малую, то бесконечно малое приращение F, вызванное бесконечно малыми приращениями а.х, лу,. . . величин х, у,. . ., будет равно n<3,F. Но если х, у,. . . изменить на величины аж, ау,. . . , то согласно общей формуле мы будем иметь для вариации F [c.409]

Следует заметить, что если в (1) сделать величину — бесконечно малой, то мы получим формулу (1) 87, [c.218]

В п. 171 определяется геодезический путь материальной системы как любой такой путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на величину, бесконечно малую высшего порядка, от длины любого другого бесконечно близкого соседнего пути между теми же положениями. О п. 190 см. прим. 188. [c.910]

Учитывая зависимости (6), a также то, что все величины бесконечно малые 0), можем считать [c.95]

В формуле (98) амплитуда А величины w представляет бесконечно малую величину 1-го порядка. Поэтому то же относится к вышеуказанным значениям Дг, и Дг . В задачах, относящихся к равновесию и рассмотренных в пятой главе, можно было ограничиться рассмотрением бесконечно малых величин 1-го порядка при исследовании же устойчивости равновесия нужно принять во внимание также и величины бесконечно малые 2-го порядка. В выражении для Дг бесконечно малый член 2-го порядка получается от перемещения w и точно так же, как и в предыдущем параграфе при рассмотрении устойчивости сжатой пластинки, его [c.368]

Во-первых, было сделано предположение, что сжатие 5 может рассматриваться как величина бесконечно малая. Эта теория подходит для решения большинства задач, однако возникают и некоторые эффекты второго порядка , имеющие определенное теоретическое значение. [c.224]

Если мы можем найти решение этой задачи (исходя из того, что вихри остаются неизменными), то после интегрирования по времени мы узнаем скорость, с которой эти вихри перемещаются и, следовательно, их направление и величину, бесконечно мало отличающуюся в момент времени t - - (И от первоначальной величины. [c.34]

Вследствие бесконечной малости расстояния dx и разность S2 — 5i есть величина бесконечно малая [c.180]

Уравнения (93) и (95) относятся к таким процессам, для которых все три входящих в них члена являются величинами бесконечно малыми. Такие процессы будем называть элементарными. Они характеризуются тем, что в результате их протекания параметры состояния изменяются на бесконечно малые величины (в частных случаях некоторые из параметров остаются постоянными). [c.62]

Благодаря произвольности величины бесконечно малого поворота 9г выражение в скобках должно равняться нулю, откуда вытекает соотношение между вращающим моментом и осевой нагрузкой винта ) [c.355]

Нетрудно доказать, что и в пространстве направление мгновенной оси будет все время очень близко к первоначальному направлению оси вращения. Для этого рассмотрим направление вектора моментов количеств движения. До толчка этот вектор совпадал с первоначальным направлением той главной оси тела, около которой происходило вращение. Толчок мог изменить направление вектора моментов количеств движения в пространстве лишь бесконечно мало. После толчка внешние силы не действуют, следовательно, положение указанного вектора неизменно. Но он получается как равнодействующий из трех моментов по главным осям ЗхР, З д, УдГ, следовательно, направление равнодействующей этих трех векторов может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения, а так как Уз и У3Г—величины бесконечно малые, то направление скорости р, а следовательно, и мгновенной оси, может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения. [c.271]

Для решения поставленной задачи ракетодинамики можно несколько упростить вычисления, исходя из следуюш их соображений. Будем считать, что на всем пути , проходимом ракетой, происходит изменение массы, но секундный расход Массы на активном участке будет величиной конечной, а на пассивном участке— величиной бесконечно малой. Иначе говоря, функция [c.156]

Так как, г(, С отличаются от I, т), С на величины бесконечно малые, то с точностью до величин второго порядка малости можно положить [c.12]

При развертывании торса в преобразовании сохраняютс [ длины дуг его ребра возврата и величины бесконечно малых углов между его образующими, а следовательно, сохраняются величины радиусов кривизны ребра возврата торса. Пользуясь этим, легко построить развертку торса-геликоида, заданного его ребром возврата — цилиндрической винтовой линией. [c.294]

Изменение количества движения материальной точки равно век-тору-импульсу равиодействующей приложенных сил. Допустим, что продолжительность т промежутка времени it, t + т) есть величина бесконечно малая. Для всех ранее рассмотренных случаев пзменепие количества движения при этом также являлось бесконечно малой величиной (т. е. изменялось непрерывно во времени). [c.410]

Для установления зависимостей возьмем участок трубы длиной I (рис. 16.3, а). Иа расстоянии г от оси трубы выделим в стенке имлиндрическую поверхность толщиной dr, ее площадь F = 2лг/. Так как толщина слоя dr — величина бесконечно малая, то и разность leMTiepaTyp на границах слоя также будет бесконечно малой — dt. Рассматривая эту цилиндрическую поверхность как плоскую стенку, воспользуемся уравнен[1ем (16.6) [c.72]

При бесконечно малой длине участка ас илощадь аЬса есть величина бесконечно малая второго порядка малости ио сравнению с площадью асс а. Следовательно, [c.51]

Движение воздуха или другой сжимаемой жидкости, на частицы которой не действуют никакие си.. ы. Случай, ко да существует потенциал скоростей, и скорость есть величина бесконечно малая. Вывод условий, определяющих потенциал скоростей. Плоские волны отраок ение последних. Шаровые волны. Вычисление потенциала скоростей из начальных данных для случая, когда воздушная область безгранична. Движение неизменяе.чого шара в воздухе. Колебания шара. Интенсивность производимых тонов. Колебание двух малых шаров) [c.257]

Уравнения (17) мы вывели в предположения, что давления, действующие на боковую поверхность стержня, равны нулю. Но мы можем сохранить те же уравнения, когда эти давления имеют любые значениия, не превосходящие, однако, некоторых границ. Они должны Цметь таке значения, чтобы давления с величинами такого же порядка вызывали в теле, все размеры которого одного порядка, только расширения, бесконечно малые сравнительно с определяемыми (15). Пренебрегая при этом величинами, которые должны были бы образовать правые части уравнений (17), мы пренебрежем тем самым только величинами бесконечно малыми по сравнению с отдельными членами левых частей. [c.342]

Вряд ли все эти аксиомы можно считать всеобщими аксиомами познания , но для классической механики они безусловно имеют смысл. Это значит, что вариационные принципы механики заключают в себе — в своем содержании и математической форме — указанные аксиомы . Изучение любой области или процессов мира, в которых пространство окажется анизотропным или в которых существует квантованная (элементарная) длина и т. п., потребует изменения — обобщения вариационных принципов. Обобщение принципа причинности также приводит к дальнейшему обобщению принципа действия. Таким образом, исключается какая-либо возможность телеологической точки зрения. Впрочем, телеология должна быть отброшена уже потому, что принципы действия являются не минимальными, а вариационными принципами. Они утверждают только, что вариация интеграла равна нулю в том случае, когда зависимые переменные получают малое изменение, подчиненное некоторым граничным условиям, или, более строго, эта вариация есть величина бесконечно малая второго порядка. Когда выполняются условия минимума, вариационное условие также выполняется, но обратное не имеет места. Действительный минимул интеграла действия получается в том случае, когда взят достаточно короткий участок пути. [c.872]

Работу, производимую приращением силы на приращении перемещения, не учитываем, как величину бесконечно малую второга порядка малости. Интегрируя (2.42), получим [c.149]

Выражение закона Ламберта формулами (2-13) или (2-15) не является окончательным, так как эти формулы еще не устанавливают связи между В и Е. Для установ-ленйя связи между величинами Во и Ео черного тела проинтегрируем выражение (2-13) по всем направлениям в пределах полусферы. Выберем систему сферических координат (рис. 2-7), где а означает полярное расстояние (угол с нормалью), а 0 —долготу. Выразим в этих координатах величину бесконечно малого телесного угла dQ. [c.24]

При рассмотрении сдвигов в элементе (рис. 3.13, е), работающем на кручение, укажем на следующие величины. Бесконечно малый поворот грани элемента равен бФ. Угол закручивания, приходящийся на единицу длины элемента, Ф// = dQldz. Работа, совершаемая внешним крутящим моментом Т, определяется из выражения [c.83]

Коэфипнент рассеяния ц введен единственно с той целью, чтобы сделать (адачу определенной поэтох1у мы можем воспользоваться этим и для упрощения в дальнейшем предположить /< величиной бесконечно малой. В этом ( мучае корни знаменателя в выражении (10) суть [c.580]

При определении работы в процессе расширения рабочего тела необходимо иметь в виду, что, несмотря на конечные скорости его протекания, он рассматривается как обратимый. Для этого предполагается следующая схема его протекания в объеме каждого бесконечно малого элемента потока, образуемом двумя бесконечно близкилш неподвижными плоскостями, перпендикулярными к оси сопла в любое время, одноименные параметры рабочего тела имеют одно и то же значение. Разность между одноименными параметрами двух соседних элементарных масс вещества, т. е. масс, располагаемых в двух соседних элементарных сечениях, есть величина бесконечно малая. Поэтому каждое элементарное количество рабочего тела при истечении непрерывно изменяет свои параметры состояния от значений, которые оно имеет в сосуде до значений в устье сопла. Такой процесс возможно провести в обратном направлении без того, чтобы в системе остались какие-либо изменения. [c.259]

Так как Xi, уи отличаются от х, у, z на величины бесконечно малые первого порядка, то можно считать с точностью до бесконечно малых второго порядка, что xidt = xdt, yidt=ydt, Zidt=zdi, и записать формулы (12) в следующем виде [c.258]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...