Частота собственных простых систем

Если в автоколебательной системе потери энергии на трение малы по сравнению с общей энергией колебаний, то и энергия, необходимая для компенсации потерь, также мала. Поступающая в систему малыми порциями энергия компенсирует потери энергии, происходящие при колебаниях, но при этом очень мало изменяет ход всего процесса. Колебания происходят почти так, как если бы отсутствовали и потери энергии в системе, и поступление энергии в систему. В этом случае автоколебания по форме близки к гармоническим. Вместе с тем и период автоколебаний близок к периоду тех собственных колебаний, которые совершала бы система, если бы потери энергии не компенсировались. Если же потери на трение велики, а значит, велика И энергия, поступающая от источника, то автоколебания могут по форме заметно отличаться от гармонических, и их период может заметно отличаться от периода собственных колебаний. Поэтому, например, в хороших часах, в которых потери на трение малы, маятник совершает колебания, по форме почти не отличающиеся от гармонических и с частотой, почти точно совпадающей с частотой собственных колебаний маятника (этим и обеспечивается точность хода часов). В простых ходиках, в которых потери на трение велики, колебания маятника даже на глаз отличаются от гармонических, и период этих колебаний уже заметно отличен от периода свободных колебаний маятника. [c.603]

Схемы и расчетные формулы для определения собственных частот колебаний простейших упругих систем приведены в табл. 1.5. [c.100]

Собственные частоты колебаний простейших упругих систем [c.101]

Фиг. 52, Частоты собственных колебаний простых систем.

Практическое использование уравнений типа приведенных в табл. 5 для определения частот собственных колебаний многомассовых систем затруднительно из-за сложности определения коэффициентов динамической податливости. Более просты методы подбора частот несколькими пробами. Метод цепных дробей в некоторых случаях дает более быстрое решение, все же метод остатка в практике нашел большее применение. Это объясняется двумя его преимуществами метод остатка дает ясное представление о сущности производимых операций, что облегчает проверку правильности вычислений, и применяемый при этом методе тип табличного расчета используется и для нахождения вынужденных колебаний системы со многими массами, поэтому громоздкая работа по определению коэффициентов динамической податливости значительно облегчается. [c.366]

Любые колебательные процессы в машине являются источниками возникновения воздушного шума и вибраций. Каждая машина представляет собою сложную систему напряженных элементов, каждый из которых, а иногда и отдельные его части имеют свое значение частоты собственных колебаний. Поэтому колебания нагрузок, напряжений и т. п., а также любые возникающие шумы и вибрации заставят резонировать в разной степени, в зависимости от соотношения частот, фаз и просто силовых воздействий, каждый участок любого из элементов машины. В этом случае опять возникнут дополнительные шумы и вибрации, в том числе и за счет отражения звуковых волн. [c.342]

Собственные формы определяются из однородной системы (22) после подстановки в нее соответствующих собственных частот. Если собственная частота со — простой корень уравнения (23), то ранг системы (22) равен п — Пусть отбрасывание последнего уравнения системы дает систему п — I линейно независимых уравнений. Тогда для определения компонентов вектора [c.59]

В предыдущем разделе была рассмотрена дискретная система (система с конечным числом степеней свободы). Такие системы являются удобными моделями, позволяющими наиболее просто исследовать их динамику. Любая упругая система (стержни, пластинки, оболочки и их сочетание) является системой с бесконечно большим числом степеней свободы (системы с распределенными параметрами) и ее движение описывается уравнениями в частных производных, что несколько затрудняет их исследование. Собственно, если решение ищется в виде разложения по главным формам колебаний, то все осложнения заключаются в определении форм собственных колебаний и если частоты собственных колебаний близки между собой, а для упругих систем типа пластин и оболочек они могут оказаться близкими в учете взаимной корреляции между формами колебаний. [c.79]

Из теории колебаний известно, что колебательная система, состоящая из некоторого числа жесткостей и масс, обладает в простейшем случае одной и в более сложных случаях — несколькими частотами собственных колебаний, которые возникают при выводе системы из состояния равновесия. Если на такую систему действует непрерывно периодическая сила Р sin ш t, то колебания практически происходят с частотой изменения этой силы, т. е. ад. Когда ш приближается к одной из частот собственных колебаний системы то амплитуда колебания начинает возрастать, достигая наибольшей величины при ш = ш . [c.208]

Растяжки, как видно из (2-51), являются весьма удобными и универсальными амортизирующими элементами, так как позволяют простым способом, изменяя усилие натяжения Р или длину растяжки I, изменять частоты собственных колебании изолируемого тела. Кроме того, они надежны в эксплуатации и с их помощью можно всегда образовать устойчивую колебательную систему- [c.48]

Однако вопросы, связанные с контуром уровней энергии и спектральных линий простых систем, со смещением и уширением уровней под действием излучения накачки, с нерезонансным рассеянием и аналогичные им полностью выходят за рамки этого метода. Уравнения (2.23) в общем случае не следуют из уравнений квантовой электродинамики. Их можно получить используя специальные предположения, которыми ограничивается область их применимости. Скоростные уравнения (2.23) справедливы при условии, что падающее излучение или вовсе отсутствует, или достаточно широкополосно, а средние частоты полос совпадают с собственными частотами исследуемого вещества. Ими также можно пользоваться, если облучение вещества происходит узкополосным излучением в условиях, когда уровни энергии обладают большой шириной, например, когда это колебательные уровни сложных молекул. [c.68]

Критерии подобия, вошедшие в уравнение (1.5), состоят из двух групп относительных величин. Это, во-первых, относительные переменные (критерии) параметрического типа. Их введение вызвано следующим обстоятельством. Часто по условиям задачи в числе переменных содержатся две (и более) величины одной и той же физической природы и размерности (например, частота собственных колебаний и частота внешних возмущений, скорость абсолютного движения среды, скорость ее относительного движения и скорость распространения возмущений в этой среде и т. п.). Такие параметры могут входить в критериальные уравнения в виде простых отношений одноименных величин 5/ (например, число Маха М и др.). Чаще всего встречаются параметрические критерии геометрической природы, выражающие условия геометрического подобия систем, в которых про,-исходит рассматриваемый процесс. Аналогичным образом параметрические критерии физической природы выражают условие подобия соответствующих полей. [c.18]

Метод уменьшения вибраций конструкций с помощью введения в систему динамических гасителей заслуживает внимания, так как таким сравнительно простым путем может быть достигнуто теоретически полное погашение колебаний фундамента и, следовательно, предотвращение передачи колебаний в окружающее пространство. Кроме того, при этом почти нет потерь энергии. Однако этот метод имеет и существенные недостатки. Так, например, гашение колебаний происходит эффективно только при полном совпадении частоты собственных колебаний виброгасителя с частотой возмущающей силы. При удалении частоты возмущающей силы от частоты настройки виброгасителя поглощение колебаний быстро уменьшается и притом тем быстрее, чем меньше масса гасителя. Можно пойти по пути увеличения масс виброгасителей, но, видимо, все-таки в первую очередь этот метод подходит для машин со средними или высокими числами оборотов, у которых при работе возможны лишь незна- [c.370]

Задаваясь совокупностью амплитуд которая, на наш взгляд, близка к первой собственной форме колебаний, мы находим по формуле (6.4.2) приближенное значение квадрата первой собственной частоты, представляющее собою верхнюю оценку. Заметим, что числитель в формуле (6.4.2) представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы при перемещениях at, знаменатель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычисленную в предположении, что скорости равны перемещениям. Особенно простым становится применение этой формулы тогда, когда совокупность величин а,- представлена как совокупность перемещений от действующих на систему сил Q,. Тогда потенциальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона. Обозначая перемещение от сил Q, через Vs, перепишем формулу Рэлея следующим образом [c.185]

Такую оценку можно получить, упрощая систему силовой передачи и заменяя ее более простой, в которой ведомая и ведущая части представляют собой двухмассовые системы. Формулы для расчета параметров (масс и жесткостей) таких двухмассовых систем можно получить из условия их динамической эквивалентности заданным многомассовым системам в отношении их первых собственных частот. Указанное упрощение системы, а также представление в виде определенных функций времени Мс, Мтп и Мтс позволяет построить расчетные формулы для поэтапного расчета переходного процесса на клавишных машинках, учитывающего особенности нашей задачи. [c.23]

Таким образом, вычисление собственной частоты растянутой балки требует предварительного вычисления частот для двух частных систем нерастяжимой балки и гибкой нити. Первая задача может быть решена любым из изложенных способов. Решение второй задачи очень просто, если учесть, что точной формой колеба- [c.46]

Решение уравнений движения для простейшей системы. Продолжим рассмотрение системы с двумя степенями свободы (рис. 11.33, а). Это позволит простейшим образом обнаружить основные особенности колебаний систем, имеющих несколько степеней свободы, в частности существование нескольких собственных частот. Попробуем удовлетворить уравнения колебаний (11.129), (11.130) функциями [c.87]

В различных областях физики широко используется спектральный метод исследования волновых процессов. При таком подходе существует принципиальная возможность свести анализ поведения волн в общем случае к анализу простейших гармонических волн. Переход от характеристик гармонического процесса к оценкам общего волнового движения в упругом теле с начальными условиями связан с существенными трудностями. Однако интерес к исследованию гармонических процессов обусловлен тем, что уже на промежуточном этапе удается получить важные данные о таких характеристиках колебательных систем, как собственные формы колебаний и спектр собственных частот. Часто этот промежуточный результат становится и конечным результатом исследования той или иной колебательной системы в виде упругого тела. [c.26]

Главным вопросом, с которого начиналось исследование всех бесконечных систем в этой работе, является вопрос об асимптотических оценках для неизвестных. Именно наличие таких оценок позволяет полностью перенести разработанные применительно к более простым задачам алгоритмы определения собственных форм и частот на случай неосесимметричной деформации. [c.237]

Любой электроакустический аппарат рассчитывается для работы в некотором заданном диапазоне частот. Отсюда вытекает требование полного или приближенного (с заданной погрешностью) совпадения характеристик эквивалентной схемы с сосредоточенными параметрами с характеристиками реальной конструкции в рабочем диапазоне частот. Большое число собственных частот каждого элемента в рабочем диапазоне ведет к чрезмерному усложнению частотных характеристик аппарата и затрудняет управление ими путем подбора конструктивных размеров. Поэтому, как правило, стремятся конструкцию аппарата выбрать такой, чтобы отдельные ее элементы обладали не более чем одной собственной частотой в рабочем диапазоне или недалеко за его пределами. Тогда каждый элемент можно рассматривать как простейшую колебательную систему с одной эквивалентной массой, одной эквивалентной гибкостью и, если это необходимо по условиям расчета, одним эквивалентом активного механического сопротивления. [c.39]

При воздействии на систему случайного возмущения с широким спектром в ней возбуждается много собственных форм колебаний, причем спектр собственных частот, соответствующих этим формам, может быть плотным. В этом случае использование формул корреляционной теории, связанных с разложением по главным формам, становится затруднительным с вычислительной точки зрения, так как приходится учитывать очень много членов ряда разложения (2.89). Учитывая сравнительную плотность спектра собственных частот, в работе [14] предлагается заменить процесс суммирования по собственным частотам интегрированием, что дает интегральные оценки для статистических параметров выхода системы и позволяет получить в замкнутой форме простые расчетные формулы и исследовать влияние свойств внешней нагрузки, краевых усло- [c.81]

Поперечное фазовое условие (5.86) имеет место даже в том случае, когда зеркала отсутствуют. Оно показывает, что заданной системе лучей может соответствовать не произвольная частота, а лишь дискретный набор частот. Отсюда видно, что для удовлетворения обоим фазовым условиям необходимо знать не просто одну лучевую картину, но систему собственных лучевых картин, зависяш,ую от некоторого параметра. [c.302]

При расчетах виброакустических характеристик следует учитывать тип волн (продольные, крутильные, изгибные). Соответствующие методы расчета развиты для простых стержневых элементов и пластин [36, 52]. Расчет параметров вибрации более сложных систем становится громоздким вследствие взаимодействия волн разных типов на границах их элементов [4, 7, 25, 44]. Вместе с тем для большой группы сравнительно простых деталей машин возможно существенное упрощение расчета, поскольку распределение энергии вибрации по типам волн очевидно, а по степеням свободы движения (модам) зависит от соотношения рабочих и и собственных р частот элементов конструкции механизмов и узлов. [c.34]

Вообще, чтобы в типичном семействе систем с поворотной симметрией третьего порядка встречались системы, соответствующие столкновению г простых собственных частот (г симметричных колебаний) и / двукратных (/ несимметричных колебаний), число параметров семейства должно быть не менее, чем [c.404]

Важно и то, что в реальном теле есть демпфирование при высокой плотности собственных частот даже малое трение качественно меняет резонансную кривую. Простому переносу теории колебаний дискретных систем на континуум препятствует и волновой характер нестационарных процессов при внезапном локальном возбуждении правильнее рассматривать волны, а не наложение форм. [c.240]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Видно, что поведение частот уже простейшей системы качественно отлично от поведения частот консольного стержня. Первая частота сО) = 2,465- 1 Е1 / т стремится к нулю при FзJ = 20, 905Е1 /Г, где Еэ1 - эйлерова критическая сила участка стержня 0-1. Это означает, что неразрезной стержень при росте следящей силы вначале теряет устойчивость с появлением изгибных форм. К комплексному значению собственных частот стремятся со 2 = 15,415- 1Е1 / т и Шз =22,205л/1 т (у отдельных комплексных частот действительные части одинаковы). Первая критическая неконсервативная сила Е, = 24,3557 7/ приводит систему к флаттеру. Четвертая СО4 = 49,95- 1Е1 / т и пятая со 5 = 61,65- 1 Е1 / т частоты стремятся к нулю (эйлеров тип потери устойчивости), а ко второй комплексной частоте стремятся со = 104,25 1 Е1 / т и [c.167]

Разложение сложных колебаний на ряд простых гармонических колебаний не является лишь чисто математической операцией, а может быть осуществлено на опыте. Например, с помощью набора резонаторов определяют частоыч гармонических колебаний, в сумме составляющих сложное колебание. Резонатор-представляет собой колебательную систему с достаточно малым затуханпем. Им может быть плоская пружина, один из концов которой закреплен в держателе. Даже при небольших периодических воздействиях, частота которых совпадает с собственной частотой пружины, амплитуда ее колебаний становится весьма большой. [c.195]

Для простых разветвленных систем, например для показанной на рис. 7. 6, а упрощенной эквивалентной схемы комбайна КЦТ, можно предложить следующую методику определения собственных частот, построенную на основе метода Толле. [c.258]

Раздел четвертый обобщает материалы исследований, направленных на развитие аналитических методов, расчета упругих механических систем. При этом основное внимание авторов сосредоточено на простоте этих методов и их доступности для инженеров-конструкторов. Приведен, в частности, приближенный метод расчета динамических погрешностей приборов при действии внешнего возмущения в виде одиночных импульсов. Здесь же изложе1 [ простой метод определения коэффициентов внутреннего и внешнего рассеяния энергии при вынужденных колебаниях стержневой упругой системы, а также показано развитие метода А. Н. Крылова применительно к расчету поперечных колебаний балок с учетом малого внутреннего треетя. Приведены упрощенные методы определения собственных частот роторов и балок с учетом упругой податливости опор, даны предложения по уиравляемой виброзащите механических систем. [c.4]

Коэффициент связанности характеризует степень связанности парциальных систем и, помимо близости их собственных частот, зависит от природы связи и ее уровня, который характеризуют параметром связи % С увеличением а раздзижка пар собственных частот основной системы увеличивается, но при Х = 0 она отсутствует независимо от того, насколько близки парциальные частоты. Прыменительно к анализу существенно более сложных систем, к которым относятся рабочие колеса турбомашин, исиользоваиие указанного понятия коэффициента связанности требует известной осмотрительности. Введение здесь конкретного аналога сопровождается определенными трудностями и утратой желаемой простоты. Однако качественная картина в основном остается прежней. Проявление эффекта связанности зависит как от степени сближения частотных функций парциальных систем, так и от уровня связи между ними, который завнсит от конструкции рабочего колеса. Уровень связи по аналогии с простейшей системой условно можно оценить параметром связи /. [c.96]

По существу, мы изложили в обобщенной форме идею резонансных вибрационных машин, получившую гоплощение (пока — простейшее) в ряде конструкций. Из сказанного вытекает важность решения задачи о синтезе форм собственных колебаний упругих систем, т. е. о таком выборе упругой системы, чтобы некоторая ее собственная форма х, у, г), отвечающая заданной частоте X, с определенной точностью аппроксимировала некоторую заданную функцию U х, у, г), удовлетворяющую тем же граничным условиям, что и Vx (х, у, г). [c.152]

В двигателях внутреннего сгорания существенными являются крутильные колебания коленчатого вала, связанного с поршневой группой. Расчетная схема такого вала представляет собой крутильную систему из дискретно расположенных массив ных элементов и упругих элементов между ними. В зависимости от конструкции эта система может быть простой, открытой или разветвленной, а также замкнутой, кольцевой. Система обладает многими собственными частотами, поэтому для опре- деления амплитуд крутильных колебаний необходимо знать амплитуды силовых воздействий, состоящих из многих гармоник. При наличии в системе вала специальных муфт проявляются нелинейные свойства, которые должны быть отражены в расчетной схеме. Демпфирование существенно снижает амплитуды в резонансных и околорезонансных областях частот возбуждения. Демпфирование не поддается предварительному расчету на основании чертежа проектируемого объекта, однако данные [c.14]

Основные требования к динамическим свойствам подвеса. Рационально спроекти-пованный подвес должен прежде всего исключать возможность возникновения резонансных колебаний системы. По аналогии с выводами, полученными для виброза-щитных систем с простейшей расчетной моделью (см. гл. VI), необходимо, чтобы при относительно низком уровне демпфирования частоты доминирующих гармоник внешнего возмущения превышали наибольшую из собственных частот системы. Подвесы, реализующие эти условия, называют мягкими. Мягкие подвесы обеспечивают эффективную защиту не только от установившихся, но и от некоторых нестационарных воздействий, в том числе от интенсивных ударов, не относящихся к типу ско ростных (см. гл. ХП). [c.195]

Исследуемая механическая система при изменении гармонического возбуждения отзывается как набор осцилляторов. Рассмотрим методы определения характеристик собственных колебаний для систем с одной степенью свободы. Практически одним из простых и тотаых способов определения собственной частоты является ее определение по нулевому фазовому СДВИ1У сигналов скорости колебаний и вынуждающей силы. Максимальная амплитуда измеряется датчиком скорости при резонансной частоте (частоте фазового резонанса). Фазовый сдвиг перемещения (и ускорения) для этой частоты составляет 90 . [c.354]

Роль границы в формировании структуры волнового поля, а также таких важных характеристик упругих колебательных систем, как спектр собственных частот и собственные формы, раскрывается в ряде задач, последовательно возрастающих по трудности. При этом рассматриваются как задачи, юзникшие на начальных этапах формирования теории упругости и решаемые с помощью сравнительно простых формул, так и задачи, для решения которых требуется современная вычислительная техника. Во всех случаях авторы стремились представить результаты так, чтобы сложность выкладок и вычислений не мешала раскрытию особенностей колебаний упругих тел. [c.5]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

В принципе световое и вообще электромагнитное поле содержит все возможные длины волн, направления распространения и на правления поляризации. Но главное назначение лазера как прибора состоит в генерации света с определенными характеристиками. Первый этап селекции, а именно по частоте, достигается выбором лазерного материала. Частота V испускаемого света определяется формулой Бора Ну = и нач — конечн и фиксируется выбором уровней энергии активной среды. Разумеется, линии оптических переходов не являются резкими, а по различным причинам уширены. Причиной уширения могут быть конечные времена жизни уровней вследствие излучательных переходов или столкновений, неоднородность кристаллических полей и т. д. Для дальнейшей селекции частот используются оптические резонаторы. В простейшем СВЧ-резонаторе, стенки которого имеют бесконечно высокую проводимость, могут существовать стоячие волны с дискретными частотами. Эти волны являются собственными модами резонатора. Когда ученые пытались распространить принцип мазера на оптическую область спектра, было не ясно, будут ли вообще моды у резонатора, образованного двумя зеркалами и не имеющего боковых стенок (рис. 3.1). Вследствие дифракции и потерь на пропускание в зеркалах в таком открытом резонаторе не может длительно существовать стационарное поле. Оказалось, однако, что представление о типах колебаний (модах) с успехом может быть применено и к открытому резонатору. Первое доказательство было дано с помощью компьютерных вычислений. Фокс и Ли рассмотрели систему двух плоских параллельных зеркал и задали начальное распределение поля на одном из зеркал. Затем они исследовали распространение излучения и его отражение. После первых шагов начальное световое поле рассеивалось и его амплитуда уменьшалась. Однако после, скажем, 50 двойных проходов мода поля приобретала некую окончательную форму и ее амплитуда понижалась в одно и тоже число раз при каждом отражении (с постоянным коэффициентом отражения. Стало ясно, как обобщить понятие моды на случай открытого резонатора. Это такая конфигурация поля, которая не изменяется [c.64]

Из сказанного вытекает, в частности, простое доказательство теоремы о возрастании собственных частот при возрастании жесткости систелш. Действительно, производные некратного собственного числа квадратичной формы по параметру определяются производной квадратичной формы по соответствующему собственному направлению. Если жесткость растет, то потенциальная энергия растет по каждому направлению, в том числе и по собственному. Значит, и собственная частота растет. Тем самым мы доказали теорему о возрастании частот в случае, когда от исходной системы к более жесткой можно перейти, минуя кратный спектр. Доказательство в присутствии кратного спектра получается теперь предельным переходом на основании того, что внутреннюю часть пути перехода от исходной системы к более жесткой можно сдвинуть с множества систем с кратным спектром сколь угодно малым шевелением. [c.396]

Г. Поведение частот симметричной системы при изменении параметров, сохраняющем симметрию. Предположим теперь, что наша симметричная система зависит общим образом от некоторого числа параметров, причем симметрия не нарушается при изменении параметров. Тогда собственные частоты различных кратностей также будут зависеть от параметров, и возникает вопрос о столкновениях собственных частот. Я ограничусь формулировкой результата для простейшего случая систем с поворотной симметрией третьего порядка (для поворотной симметрии любого порядка п Ъ ответ такой же). Подробности можно найти в статьях Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функциональный анализ и его приложения.— 1972.— Т. 6, № 2.— [c.403]

Обсужденный в п. 4.2 метод определения собственных частот колеблющихся систем обычно используется только в тех случаях, когда найти корни характеристического уравнения не представляет труда. Здесь также возможно применение различных численных методов , но они обычно эффективнее в случае систем с большим числом степеней свободы. Обсуждаемый в данном параграфе подход иногда называют методом степенных рядов или методом Сто-долы—Вианелло, но, как правило, его именуют просто итерационным методом. Этот подход удобно применять для работы с матрицами невысокого порядка, используя при расчетах логарифмическую линейку или настольный калькулятор, но решения больших задач следует программировать, чтобы проводить вычисления на цифровых ЭВМ. [c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...