Метод степенных рядов

Функции fi (s) и ( , ) являются аналитическими и для решения уравнения (2.47) можно применить метод степенных рядов, полагая [c.38]

Решение уравнений (4-151) и (4-152) произведем с помощью метода степенных рядов. Решение уравнения (4-151) в общем виде представляется как [c.199]

Метод степенных рядов проходит не для всех задач. Так будет, например в случае, если [c.48]

Если использовать для решения метод степенных рядов, то для каждого участка будет справедлива формула (3.8) второй главы [c.94]

Методом степенных рядов найдено выражение коэффициента сдвига, которое соответствует аппроксимации Тимошенко [82] [c.22]

Для нахождения функций Фо( ) и Фо( ) из граничного условия (3.2.69) могут быть применены, например, метод степенных рядов [35, 36, 41, 65], метод интегралов типа Коши [65, 58]. Мы будем использовать для нахождения комплексных потенциалов интегралы типа Коши ). [c.76]

Этот подход во многих случаях представляется более эффективным, чем метод степенных рядов. Связано это с тем, что степенные ряды при определенных условиях могут оказаться медленно сходящимися, например при решении задачи об образовании в бесконечно протяженном теле достаточно узкого эллиптического отверстия. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен далее в этом параграфе, см. стр. 79. [c.76]

Более общие граничные условия для температуры получаются в том случае, когда на границах слоя имеет место линейный закон теплоотдачи Фурье (так называемое условие третьего рода ). Решение задачи об устойчивости с такими граничными условиями проведено в работе Спэрроу, Голдстейна и Джонсона где амплитудные уравнения интегрировались методом степенных рядов, и для некоторых частных случаев определены критические числа Рэлея в зависимости от параметра теплоотдачи — числа Био. [c.50]

Решение краевой задачи (40.5), (40.6) получено в работе методом степенных рядов по вертикальной координате численные расчеты проводились на ЭВМ. В результате вычислений найдено характеристическое соотношение между параметрами R, Rg, k. Нейтральные кривые Я к) минимизировались при различных значениях R . Результаты представлены на рис. 111, Кривая Rm(Ri) определяет границу устойчивости область неустойчивости расположена выше кривой. [c.281]

Спектральная задача (18.5), (18.6), получившаяся в результате указанных упрощений, полностью эквивалентна обсуждавшейся в 16 задаче о неустойчивости вертикального конвективного течения при наличии продольной высокочастотной вибрации. Для отождествления требуется замена/- — Г и Ка ->Яа -. Таким образом, рассматриваемый ЭГД-механизм с точки зрения воздействия на устойчивость аналогичен вибрационному статическому механизму. Задача (18.5), (18.6) описывает (при произвольных Сг иКа -) взаимодействие ЭГД- и конвективных механизмов неустойчивости. Численные результаты решения этой задачи, полученные в работе [8] методом степенных рядов (рис. 79), согласуются с результатами решения соответствующей вибрационной задачи (рис. 73). [c.126]

Если учесть эффекты порядка б, то прежде всего вихревая компонента будет медленно затухать под действием вязкости в соответствии с формулой (1.91). Чтобы описать с точностью порядка б также энтропийную и акустическую компоненты, удобно определить корни уравнения (1.93) с точностью до порядка 61 с помощью обычного метода степенных рядов [c.60]

Более прямой и удобный алгоритм для софокусного эллиптического кольца был ранее предложен М. П. Шереметьевым [2], удачно применившим метод функциональных уравнений Мусхелишвили в соединении с методом степенных рядов. Этот подход позволит, по-видимому, получить сравнительно простые решения и в некоторых других случаях. [c.580]

Д. И. Шерман предложил улучшенный вариант метода степенных рядов для случая бесконечной или полубесконечной области с двумя одинаковыми круговыми отверстиями (Шерман [34]). [c.580]

Следует отметить, что введение функции (z), вообще говоря, упрощает схему решения основных задач не только при их рассмотрении методом степенных рядов. [c.581]

Метод степенных рядов с применением конформного отображения [c.46]

В этом смысле приобретают важное значение различные комбинации перечисленных выше методов. Мы имеем в виду, прежде всего, сочетания функциональных уравнений с методом степенных рядов, метода линейного сопряжения функций с конформным отображением, а также более общие схемы решения, использующие попутно аппарат интегральных уравнений. Некоторые из этих специальных приемов будут указаны ниже. [c.51]

Случай инородных круговых концентрических колец, последовательно вложенных одно в другое, как было отмечено выше, легко поддается рассмотрению методом степенных рядов. [c.64]

В конечном счете появляется возможность эффективного рассмотрения задачи при частных видах отверстий. Случай кругового отверстия поддается подробному анализу методом степенных рядов (М. П. Шереметьев, 1960). Для некруговых отверстий задача сложнее, и эффективное решение ее требует применения метода последовательных приближений. [c.65]

Задачу об изгибе полубесконечной пластинки на упругом полупространстве впервые поставил М. И. Горбунов-Посадов [24] и указал приближенный способ ее решения, основанный на замене полубесконечной пластинки на конечную прямоугольную. Для расчета последней он использовал метод степенных рядов. На основе этого приближенного-метода им составлены расчетные таблицы [24]. [c.290]

Остановимся теперь на более ранних работах, посвященных рассматриваемой задачи. Эти работы, как правило, касаются основания в виде обычного полупространства и отчасти основания типа полупространства с Е=Е г. Для случая основания в виде обычного полупространства М. И. Горбунов-Посадов [22] и В. А. Флорин [103] одновременно применили метод степенных рядов, уже описанный выше ( 2, 3). [c.303]

Метод степенных рядов (неопределенных коэффициентов) как общий прием решения плоской задачи [c.336]

В настоящем обзоре будут рассматриваться в основном уточненные динамические теории, основанные на модели выдающегося отечественного ученого-механика С. П. Тимошенко (1916, 1921) для стержней и ее обобщениях на пластины и оболочки. Будут рассмотрены также с достаточной полнотой метод степенных рядов и менее подробно асимптотические и некоторые другие методы. Метод степенных рядов ведет свое начало от работ выдающихся математиков прошлого века Коши и Пуассона (1828). Асимптотические методы в динамике стержней, пластин и оболочек начали развиваться значительно позже, чем в других естественных науках. Все известные методы сводятся, по существу, к уменьшению тем или иным способом размерности трехмерной задачи теории упругости. [c.5]

В работах [1.55, 1.56] методом степенных рядов построено негиперболическое приближение для описания поперечных колебаний балки-полоски. Уравнения применяются затем в задаче упругого соударения тела со свободно опертой балкой. Отмечаются трудности формулировки граничных условий Принятые граничные условия не находятся в соответствии с дифференциальными уравнениями. [c.40]

Заметим, что задача устойчивости обсуждаемого конвективного течения значительно позднее, чем в [1, 2], рассматривалась в работе Такашимы [4]. На основе рещения амплитудной спектральной задачи методом степенных рядов автор вычислил характеристики критических возмущений для некоторых значений числа Прандтля результаты согласуются с данными табл.5. [c.173]

Одно из интересных обобщений задачи устойчивости конвективного течения в вертикальном слое с однородными источниками тепла изучено в работе [5]. В этой работе рассматривается случай, когда вертикальные границы слоя поддерживаются при разных постоянных температурах. Основное течение представляет собой, таким образом, суперпозицию симметричного течения, обусловленного однородным тепловыделением (25.5), и антисимметричного, создаваемого разностью температур границ (1.13). Спектральная амплитудная задача решалась методом степенных рядов. Расчеты проведены в интервале чисел Прандтля от 0,01 до 1000 Расчеты показывают, что взаимодействие двух компонент течения оказывается сравнительно простым и приводит к взаимнсй дестабилизации. В зависимости от числа Прандтля потеря устойчивости связана с гидродинамической либо волновой модами, причем на обеих ветвях фазовые скорости отрицательны и могут значительно отличаться по величине. [c.289]

В работе Ю (Yi-Yuan Yu [2]) исследована методом степенных рядов весьма интересная задача о тяжелом круговом кольце, опертом в одной точке. В статье М. 3. Народецкого [2] рассмотрен квадрат, симметрично ослабленный круговым вырезом на противоположных сторонах квадрата приложены равномерные растягивающие усилия. Приближенные выражения для искомых комплексных потенциалов автор берет в виде специально подобранных полиномов от z и 1/z и получает для определения неизвестных коэффициентов полиномов конечную систему линейных алгебраических уравнений. Для некоторых конкретных значений параметров проведены численные расчеты и построены эпюры нормальных напряжений на контуре отверстия. [c.580]

Случай концентрических круговых включений в пластинке, когда каждая из последовательно включаемых в отверстие деталей представляет собой концентрическое круговое кольцо, легко поддается эффективному рассмотрению методом степенных рядов. Решение задачи для этого случая давно известно см., например, Г. Н. Савин [8]). Это решение для одного включения при некоторых простейших видах нагружения на бесконечности и на внутреннем контуре подкрепляющего кольца содержится также в статье Хардимана (Hardiman [2]). [c.591]

Метод степенных рядов применительно к задаче о кольцевых подкреплениях отверстий оказывается принципиально пригодным для эффективного решения каждый раз, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, конформно отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. Эффективное решение задачи для случая отображения вида (2) 153 было дано М. П. Шереметьевым [3], [7], который скомбинировал метод степенных рядов с методом интегралов типа Коши. Частный случай крепления в форме софокусного эллиптического кольца (п = 1) рассматривался позже в работах Ода (Oda [1 ] ) и Левина (Levin [1]). В первой из этих работ приводятся два численных примера применительно к задаче о давлении окружающих пород на крепь туннеля с круговым и эллиптическим поперечными сечениями. Во второй работе решение представлено в форме степенных рядов, достаточно удобных для численных расчетов. [c.591]

Методы теории функций комплексного переменного стали в последнее время с успехом применяться к конечным полигональным пластинкам. Для решения задачи функпия, реализуюш,ая отображение нагруженной области на круг, представляется при помощи интеграла Кристофеля — Шварца в явном виде в виде степенного ряда), после чего используется метод степенных рядов. При этом часто, особенно если функция, выражающая контурные воздействия, не является регулярной, к рассмотрению привлекаются функциональные уравнения Мусхелишвили ( 78). Укажем некоторые, наиболее характерные работы в этом направлении. [c.594]

В работе Деверола (Deveral [1 ]) к многоугольным пластинкам, изгибаемым поперечными силами, применяется метод степенных рядов, изложенный в 63. Сохраняя в отображающей функции три или четыре члена, автор находит приближенное решение для нагруженных равномерными усилиями квадрата, прямоугольника и равностороннего треугольника. Проводятся численные расчеты, и значения максимальных прогибов в пластинке сравниваются с их значениями, найденными другими авторами иным путем. [c.595]

Установление этих связей в аналитической форме позволяет (А. Я. Александров см. ниже) выразить напряжения и смещения осесимметричного состояния через аналитические функции комплексного переменного, а это дает в свою очередь возможность свести осесимметричные задачи упругого равновесия к граничным задачам теории аналитических функций. К этим последним задачам в ряде случаев можно применить метод степенных рядов. При помощи этих же комплексных представлений осесимметричного напряженного состояния удается в частных случаях, например для шара и пространства с шаровой полостью, получить решение основных задач в замкнутой форме (в квадратурах). С этими и некоторыми другими результатами применения теории аналитических функций к пространственным задачам теории упругости можно познакомиться по работам А. Я. Александрова- [1—6], А. Я. Александрова и В. С. Вольперта [1], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1 ], [c.631]

Наибольшую историю среди методов приведения имеет метод степенных рядов, при котором коэффициенты разложения искомых величин (по нормальной к срединной поверхности координате г) определяются рекуррент-но через шесть основных функций (от внутренних координат а, Р срединной поверхности) последние же определяются условиями на боковых поверхностях (Н. А. Кильчевский, 1939, 1963), которым удовлетворяют с точностью до членов определенного порядка 2 , так как практически возможно лишь рассмотрение усеченных систем (т. е. систем дифференциальных уравнений конечного порядка). Следует отметить, что удовлетворение краевых условий (на контурных поверхностях) и начальных условий с заданной точностью требует вывода системы дифференциальных [c.261]

За пределами упругости зависимость а = а (е) для упруго-пластиче-ских сред имеет различный вид при нагружении и разгрузке. Задача о распространении упруго-пластических волн в полубесконечной среде при d alde < О и в предположении, что разгрузка совершается по линейно упругому закону, впервые рассмотрена X. А. Рахматулиным (1945). Если X — продольная координата, t — время, то в случае полубесконечной среды область (х, t) делится на две части. В одной из них происходит нагружение, в другой — разгрузка. Трудность решения соответствующей систе->1Ы двух гиперболических уравнений связана с тем, что граница между названными зонами, называемая волной разгрузки, заранее неизвестна. Э случае, когда волна разгрузки представляет собой волну слабого разрыва, предлагались различные способы решения метод степенных рядов <Х. А. Рахматулин, 1945), метод характеристик (Г. С. Шапиро 1946 [c.308]

Обсужденный в п. 4.2 метод определения собственных частот колеблющихся систем обычно используется только в тех случаях, когда найти корни характеристического уравнения не представляет труда. Здесь также возможно применение различных численных методов , но они обычно эффективнее в случае систем с большим числом степеней свободы. Обсуждаемый в данном параграфе подход иногда называют методом степенных рядов или методом Сто-долы—Вианелло, но, как правило, его именуют просто итерационным методом. Этот подход удобно применять для работы с матрицами невысокого порядка, используя при расчетах логарифмическую линейку или настольный калькулятор, но решения больших задач следует программировать, чтобы проводить вычисления на цифровых ЭВМ. [c.288]

И. Т. Селезов [2.50] (1960), применяя метод степенных рядов, показал, что уравнение вида (2.7) вытекает из модели трехмерной теории упругости как ее двухмодовая аппроксимация. В дальнейшем были построены двухмодовые аппроксимации и другими способами, но по форме они одни и те же и качественно также мало отличаются от уравнений балки Тимошенко. [c.19]

Решение дл я прогиба иолучено методом собственных функций. Построены графики изменения прогиба в зависимости от времени в точке приложения силы. Ставилась цель сравнить решения классического уравнения и уравнения Тимошенко с корректными граничными условиями и граничными условиями, соответствующими классической теории. Показано, что все эти решения для первого максимума прогиба существенно отличаются, а учет инерции вращения влияет на прогиб незначительно. Поперечный удар упругого тела по балке в уточненной постановке (метод степенных рядов) рассматривался также в работах [1.55, 1.56] (1961). [c.61]

Нелинейные колебания гибкого стержня в уточненной по методу степенных рядов постановке рассмот1рены в работе [1.58] (1965). [c.85]

Уточненные уравнения продольных колебаний балки-полоски выводили методом степенных рядов М. П. Петренко и Г. А, Кильчинская. В работе [1.54] (1960) получено уравнение для балки переменной толщины. Затем получено уточненное гиперболическое уравнение продольных колебаний стержня постоянной толщины [1.57] (1961), уточняющее классическое уравнение (14,1). Были рассмотрены также продольные термоупругие колебания балки [1.32] (1965). [c.108]

М. А. Medi k [1.242, 1.243] (1966, 1967) на основе метода степенных рядов и трехмеряой краевой задачи динамической теории упругости рассмотрел одномерные колебания анизотропных стержней прямоугольного поперечного сечения. Он исходил из уравнений [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...