Алгебраические Решение приближеннее по методу

Уравнения алгебраические 118 — Решение приближенное по методу Лобачевского Г29, 133 [c.588]

Таким образом, задача определения пяти перечисленных выше параметров механизма имеет алгебраическое решение в общем виде. Приемлемость решения может быть проверена, как и в предыдущем случае, по геометрическому и статическому условиям существования кривошипа. Конструктивно приемлемый вариант механизма может быть найден также и путем варьирования параметра а. Заметим, что вместо решения (4.66) следует предпочесть совместное решение двух квадратных уравнений (4.64) методом последовательных приближений или графическим методом путем построения кривых второго порядка. [c.101]

Нетрудно видеть, что уравнения (27) после подстановки значений Xs (/s Zs Пц (г / =, 2, 3) Ф Од, выраженных алгебраически через постоянные параметры механизма и угол ф, будут содержать только эти последние. Возможность приведения уравнений (27) к такому виду неоспорима, поскольку все входящие в него параметры определяются через постоянные параметры и угол ф путем алгебраического решения уравнений не выше четвертой степени. Эта форма уравнений здесь не приводится ввиду громоздкости. Уравнения пригодны для постановки и решения задач синтеза направляющих механизмов рассматриваемого вида любыми известными методами интерполирования, квадратического и наилучшего приближения. Ограничимся здесь рассмотрением проблемы синтеза направляющего пространственного четырехзвенника по методу точечного интерполирования. [c.47]

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО МЕТОДУ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО [c.129]

Обработка на ЭЦВМ информации, получаемой при балансировке однотипных агрегатов, требует решении систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений значительно больше числа неизвестных. Как правило, такие системы иесов.местны и не имеют точного решения. Приближенное решение по методу наименьших квадратов сводится к решению системы линейных уравнений с квадратной матрицей [1], [2]. Однако в процессе решения возникают трудности, связанные с возможностью плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Чис.до обусловленности дает оценку того, насколько относительная погрешность результата превосходит погрешность исходной информации. Если число обусловленности велико, то небольшая ошибка в исходных данных приводит к значительным ошибкам в решении. Поэтому оценка обусловленности матрицы дает существенную характеристику качества решения. [c.151]

Задача о расчете начальных деформаций Фод по заданным начальным напряжениям в силу однородности начальных деформаций сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, и решение ее модифицированным методом Ньютона-Канторовича является достаточно простым, поэтому нет необходимости его подробно рассматривать. В качестве начального приближения для Фод в соответствии с первым из соотношений [c.91]

Поскольку 0(2 )w i 2i)w удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7Г.15), ясно, что точное решение этих уравнений должно зависеть от производных функции распределения / всех порядков, т. е. в общем случае (7.4.67) не будет иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Отметим, однако, что последние члены в уравнениях (7Г.15) относительно малы, так как они обратно пропорциональны числу активных атомов, которое является макроскопической величиной ). Поэтому, считая, что > 1, можно решать уравнения (7Г.15) методом итераций. В нулевом приближении пренебрегаем последними двумя членами в этих уравнениях. Это приводит к системе алгебраических уравнений, которые легко решаются. Затем полученное решение подставляется в правые части уравнений (7Г.15) и функции g(2)w i 2i)w находятся в первом приближении по параметру N . Ограничиваясь этим приближением, находим [c.153]

Хорошо известен способ сведения ИУ к системе линейных алгебраических уравнений путем замены интегрального члена конечной суммой в соответствии с той или иной квадратурной формулой (см., например, [47]). Этот метод, очевидно, непосредственно неприменим для решения сингулярных ГИУ. Он используется в [5] для решения функциональных уравнений (см. выше п. 1.1). Отметим, что в [5, 12] обсуждаются и некоторые другие методы приближенного решения интегральных и функциональных уравнений. Исследования по методам численного решения функциональных уравнений подытожены в [59], где имеются ссылки на более ранние работы. [c.198]

В ряде задач небесной механики и астродинамики, связанных с использованием наблюдательных данных для уточнения элементов орбит небесных тел (см. ч. III) или параметров их гравитационных полей, а также в задачах приближения функций (см. гл. 1) и др. приходится встречаться с системами алгебраических или трансцендентных уравнений, число которых значительно превышает число неизвестных. Решение и анализ таких систем уравнений, называемых условными, производится по методу наименьших квадратов, принадлежащему Гауссу. [c.689]

Значения температуры в узлах сетки являются искомыми, поэтому для получения приближенного решения задачи необходимо отрегулировать эти значения температуры таким образом, чтобы обеспечивался минимум функционала (23.26). Условием минимума функционала является равенство нулю первых производных от него по температурам во всех узлах сетки. В результате дифференцирования (23.26) по всем неизвестным температурам получается система линейных алгебраических уравнений. Последующее решение этой системы уравнений каким-либо известным методом дает приближенное решение исходной задачи. [c.247]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Основные вычислительные сложности при построении решения системы дифференциальных уравнений движения вынужденных колебаний (6.35) обусловлены определением полюсов подынтегральной функции еР N (р) F (р) и нахождением вычетов этой функции по соответствующим полюсам. Отыскание указанных выше полюсов связано с необходимостью решать алгебраические уравнения обычно высоких порядков, что осуществимо только численными методами. Отметим, что в ряде практически важных случаев не столько необходимо знать закон движения какого-либо из звеньев привода, сколько экстремальные значения динамических характеристик (момента двигателя, момента сил упругости в рассматриваемом соединении, скоростей звеньев). Следовательно, актуальной является проблема разработки эффективных приближенных методов, позволяющих с требуемой точностью оценить решение системы дифференциальных уравнений движения. [c.191]

Синтез пространственных механизмов вообще, а направляющих и многозвенных передаточных в особенности сопряжен с решением двух задач. Первая из них — получение уравнений синтеза, содержащих лишь искомые постоянные параметры механизма. К эгому следует стремиться, так как в противном случае, т. е. при наличии в системе уравнений синтеза переменных параметров количество неизвестных величин, а также количество уравнений, подлежащих решению, как правило нелинейных, существенно возрастает. Вторая задача — решение систем многочисленных нелинейных алгебраических уравнений. Эта задача, принципиально разрешимая известными методами математики, например методом Ньютона [11, если известны начальные приближения к решению системы, требует значительных затрат времени на вычислительную работу. Эти затраты существенно возрастают, если начальные приближения неизвестны. Уже намечены пути решения второй задачи путем последовательных приближений [4, 10—13]. Рекомендации по отысканию начальных приближений см. в работе [4]. Возможно также экспериментальное определение начальных приближений путем электромеханического моделирования [2, 3]. [c.40]

Аппроксимируя и <72 частными суммами ряда, получим линейные интегральные уравнения с вырожденными ядрами. Решение таких уравнений сводится к решению линейных алгебраических уравнений и может быть осуществлено, например, методом наискорейшего спуска или методом последовательных приближений. Точность полученного решения можно оценить с помощью известных формул теории линейных интегральных уравнений. Аналогичные уравнения получим для области 11 после замены на—Q и пределов интегрирования по на [—оо О ]. [c.293]

Второй (резольвентный) подход в методах алгебраического приближения основан на резольвентном представлении решения исходного интегрального уравнения теплообмена излучением. На основании известного из математики итерационного метода решение интегрального уравнения можно представить в виде квадратуры, в которой под знак интеграла входят резольвента и известная по условию функция. При этом в свою очередь резольвента от ядра исходного интегрального уравнения удовлетворяет новому интегральному уравнению, в котором фигурируют только оптико-геометрические параметры излучающей системы. Излучающая система аналогично классическому подходу разбивается на зоны, в пределах каждой из которых радиационные характеристики и заданные плотности излучения принимаются постоянными. С учетом такого зонального деления интегральное уравнение для резольвенты аппроксимируется система ми линейных алгебраических уравнений, решаемых численно или аналитически. [c.222]

Таким образом, сравнение с результатами метода R-функций подтверждает достоверность результатов МГЭ. При этом, в отличие от метода R-функций, получено аналитическое решение задачи изгиба пластины с неканонической областью в плане и определены первые приближения для изгибающих моментов в сингулярной точке О. По МКЭ такая задача потребует составления и решения алгебраической системы из 150-200 уравнений. [c.428]

Если задаться видом функции д х ), то, вычисляя интеграл (72), получим потенциал скоростей возмущений, а дифференцирование по г и а позволит вычислить и проекции скорости У( и ЕД Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, по.пучить интегральное уравнение, в котором д (х ) будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока. Карман ) разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако метод Кармана не был достаточно общим и, кроме того, требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким. [c.299]

Метод решения весьма стандартен. Неизвестная функция х разлагается в ряд по подходящим ортогональным полиномам. В результате интегральное уравнение превращается в (бесконечную) систему алгебраических уравнений для коэффициентов. Приближенные решения этой системы получаются при ее обрывании на различных этапах. [c.106]

Вариационные уравнения принципов возможных изменений деформированного состояния, напряженного состояния и одновременного возможного изменения напряженно-деформированного состояния сами по себе не уменьшают сложности решения конкретных задач. Действительно, вариационное уравнение (3.31) или (3.39) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории пластического течения (3.36) или (3.40). Вариационное уравнение принципа возможных изменений деформированного состояния и возможных изменений напряженного состояния эквивалентны соответственно решению дифференциальных уравнений равновесия в скоростях и решению уравнений неразрывности деформации, записанных в напряжениях. Вариационные уравнения удобны для построения приближенных решений задач. С помощью прямых методов вариационного исчисления [10, 67, 109] сводят вариационные уравнения к системам алгебраических (во всяком случае конечных) или обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим прямые методы, нашедшие применение для решения технологических задач с помощью указанных выше трех принципов. Начнем с принципа возможных изменений деформированного состояния. Основной отличительной чертой почти всех имеющихся в теории обработки металлов давлением решений [163, 164 и др.] является приближенное представление функционала, которое основано на допущении [c.96]

Адьюнкта 115 Аксоиды 389 Алгебра векторная 226 Алгебраические обозначения 1 Алгебраические уравнения 118 — Решение приближенное по методу Лобачевского 129 [c.567]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Самосогласованное решение по методу периодических составляющих получим из обобщенного сингулярного приближения, принимая Eijmn = ijmni приравнивая упругие свойства среды сравнения к искомым эффективным свойствам композита. В этом случае вместо формул (4.33), (4.34) имеем системы нелинейных алгебраических уравнений относительно независимых компонент тензора С, решение которых требует применения численных методов. [c.81]

Поскольку отсчитывается от срединной поверхности пакета, система pi состоит из четных и нечетных функций. Поэтому многие из Usr равны нулю, что уменьшает вызванную геометрической нелинейностью связанность системы квадратных алгебраических уравнений, получаемых прямыми методами отыскания точки стационарности функционала (VI. 13). В геометрически линейном случае системы уравнений относительно пар щ, Vi связаны лишь слагаемыми с множителем E/h. В связи с тем, что Apik = О, система относительно Ui, Ух оказывается изолированной. Ее решение отвечает первому приближению — средним по толщине пакета значениям а и ф. [c.106]

Свойства дифрагированных полей для металлических брусьев, обладающих идеальной проводимостью (см. рис. 28, в), или диэлектрических брусьев (см. рис. 28, г) изучаются с помощью бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, полученных методом переразложения [25, 29, 43, 58, 66, 223, 244—247]. Для случая, когда ширина щелей между брусьями или ширина одного из диэлектрических брусьев мала, решение соответствующих бесконечных систем получается методом последовательных приближений [25, 66, 244, 246]. Когда параметры задач произвольны, анализ производится по численным решениям систем, полученным методом редукции. [c.88]

Определяемый системой уравнений (16.13) вектор Y дает приближенное решение исходной краевой задачи. Для его нахождения можно использовать один из численных методов [20]. В модельных задачах при небольшом числе разбиений N 100) будем применять встроенную Math AD-процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений AY = F, основанную на обращении матрицы А по методу LU-разложения (Y = A- F). [c.512]

Из различных методов решения интегральных уравнений метод Фредгольма — замена интегрального уравнения алгебраическим уравнением — кажется самым простым, а метод итерации кажется наиболее точным. Метод Фредгольма основывается на том, что определенный интеграл в интегральном уравнении приближается к конечной сумме. Вследствие простоты этого метода, он будет подробно разобран и проиллюстрирован далее. Большая точность метода итерации объясняется сохранением интегралов в каждом повторении и выражением их значений с по .ющью точной формулы квадратуры. Оценка погрешности соответствующего интегрального уравнения получается после каждого последовательного приближения, следовательно, повторения могут быть закончены, как только будет замечено, что погрешность начала расти. Последняя предосторожность особенно необходима для интегральных уравнений первого рода, когда точного решения не существует. В этом случае, хотя полный квадрат погрешности продолжает уменьшаться с увеличением числа повторений, могут наблюдаться весьма большие погрешности в отдельных точках. [c.118]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Совместное решение полученных уравнений дает возможность определить положения механизма по заданной функции движения ведущих звеньев, причем в системы уравнений входят уравнения 1 и 2-й степеней относительно искомых параметров. Порядок системы уравнений зависит от сложности связей между звеньями, входящими в кинематические пары. Решение таких систем уравнений может быть осуществлено методами последовательных приближений и лишь для отдельных простейших пространственных механизмов (кривошипно-нолзунного, кривошипно-коромыслового четырехзвенных и некоторых разновидностей пятизвенных) могут быть разрешены в алгебраической форме в конечном виде. [c.83]

ЛИЯ ИСКОМОГО решения в виде суммы конечного числа членов бесконечных рядов [1.14—1.18]. Этот метод отличается от метода нормальных форм тем, что он применяется для как бы дискретных моделей, для которых уравнения движения также лриближенны, или, точнее, физическая модель конструкции приближенно представляется в виде конечной системы масс и жесткостей, описываемых чаще линейными алгебраическими уравнениями по пространственным координатам, а не дифференциальными уравнениями. Метод нахождения решения в виде бесконечных рядов в основном аналогичен прямому методу. Решение однородного уравнения движения соответствует F x,t) = = 0. Так же, как и в прямом методе, решение представляется в форме w x,t) = A x Kx/LШ) и отыскиваются значения Я, при которых А Фа (т. е. существуют нетривиальные реше-лия). Это может иметь место только при выполнении соотношения [c.24]

Первый, так называемый классический подход в методах алгебраического приближения характеризуется тем, что алгебраической аппрокснмании подвергается непосредственно исходное интегральное уравнение радиационного теплообмена, составленное для любого вида плотностей излучения. Для определения средних по дискретным участкам излучающей системы плотностей излучения подобная аппроксимация, по-видимому, впервые была применена О. Е. Власовым [Л, 100] при решении частной задачи переноса излучения в каналах с адиабатическими стенками. В дальнейшем эта идея была развита и обобщена для произвольного числа серых диффузных поверхностей, разделенных диатермической средой, и для систем с поглощающей средой в работах Г. Л. Поляка [Л. 19, 93, 130]. [c.220]

Тепловые процессы, протекающие в теплоэнергетических установках, в общем случае описываются сложными системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (уравнения энергии, сплощности, движения и др.), а также нелинейными алгебраическими уравнениями. Современный математический аппарат не всегда позволяет решить такие системы аналитически. Применение численных методов дает возможность получить приближенное решение с достаточной для инженерной практики точностью. Для получения такого решения необходимо предварительно провести довольно значительную исследовательскую работу по разработке достаточно полных математических моделей, пригодных для реализации на вычислительных машинах. Эта работа, как правило, предполагает [c.7]

Разделяя методы по точности решения на точные и приближенные, можно сказать, что численные методы являются всегда приближенными, так как они предполагают переход от дифференциальных уравнений с частными производными к обыкновенным дифференциальным или алгебраическим уравнениям (дифференциальноразностная или конечно-разностная аппроксимации). [c.67]

Ю. п. Кочанов [21] проанализировал задачу для пластины с двумя продольными ребрами, расположенными на некотором расстоянии от кромок и нагруженными на участке длины равномерно распределенными касательными усилиями в случае подкрепленных поперечных кромок. Решение ищется в виде суммы двух тригонометрических рядов, одного по продольной и второго по поперечной координате. В итоге получается. бесконечная система уравнений для коэффициентов рядов, которая решается методом последовательных приближений. Несколько упрощенный подход к решению аналогичной задачи дан Ю. Н. Раскиным [3 4]. На первом этапе решения подкрепления на кромках считаются абсолютно жесткими. Разыскиваются напряжения в ребрах. Затем накладывается добавка напряжения в силу конечной жесткости ребер при условии, что эта Добавка не меняет характер распределения напряжений в ребре. Такой подход позволил обойти бесконечную систему, заменив ее системами конечного числа алгебраических уравнений. Как видно из приведенного выше обзора, задачам включения для пластин посвящено большое число публикаций. В данной главе из-за ограниченности объема обсуждены только основные заДачи и способы решения. Специалисты, более глубоко заинтересованные данной проблемой, могут воспользоваться перечнем литературы, приведенным, в конце главы. [c.128]

Отметим также раннее использование идеи продолжения решения по параметру нагрузки в статьях [200,201] для решения нелинейных алгебраических уравнений, порохщенных применением вариационных методов к нелинейным уравнениям теории оболочек. В [200] последовательнью нагружения сочетаются с экстраполяцией по параметру нагрузки, что является одной из возможных явных схем интегрщ)ования задачи Коши, по параметру. В работе [201] предлагается на каждом шаге получать решение методом последовательных приближений, что соответствует одной из возможных неявных схем интегрирования начальной задачи. Эти подходы обобщены в монографии [199]. [c.184]

Различные методы решения нелинейных з ч теории пологих оболочек. обсуждаются в работе [172] применительно к нелинейным алгебраическим уравнениям метода Ритца. Наряду с методом продолжения решения в форме Давиденко и с использованием явных схем для интегрирования задачи Коши по параметру (непрерывное продолжение), рассматривается также модифицированный процесс Лазя (дискретное продолжение), причем для получения начального приближения предлагается квадратичная экстраполяция [199]. [c.188]

Задачи механики сплошных сред сводятся,к дифференци--альным уравнениям в частных производных, которые необходимо интегрировать при определенных краевых условиях. Приближенное решение краевых задач во многих случаях удается получить с применением так называемых прямых методов. По определению С. Л. Соболева, прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным систейам алгебраических уравнений. В теории и практике применения прямых методов особое место занимают два метода метод Ритца и метрд Галеркина. [c.153]

Решение методом временного модуля деформации достигается несколькими последовательными приближениями в определении временного модуля деформации и напряжений. В первом приближении для определения модуля обычно задаются законом изменения напряжений, соответствующим закону изменения во времени внешней нагрузки, а в последующих приближениях в отличие от обычных методов итерации уточняются не только значения временных модулей деформации и напряжений, но и сами законы изменения напряжений во времени. Временный модуль деформации вычисляется по заранее подготовленным алгебраическим формулам сведением интегрального соотноигения (1) к квадратурам. [c.141]

Сущность этих методов заключается в приведении функционала, входящего в вариационное уравнение (3.20), к квадратичному виду. Это, как известно, значительно упрощает математический аппарат. В частности, при применении метода Ритца система (3.43) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Методы последовательных приближений позволяют сколько угодно точно учитывать реальные механические свойства деформируемых тел. В первом приближении в уравнении (3.20) функция (Н) принимается постоянной величиной (какой-то усредненной по объему тела либо просто произвольной), называемой по аналогии с ньютоновской линейно-вязкой средой с коэффициентом вязкости л. Это достигается прямыми методами решение квадратического функционала [c.98]

Применяя теперь для приближенного решения интегрального уравнения (16) метод Мультоппа-Каландия (метод коллокации по чебышевским узлам) [3, 8, 21, 32], придем относительно величин к линейной алгебраической системе [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...