Вариационные методы применения

Известно, что для решения задач теории поля, наряду с сеточными методами, широкое распространение получили вариационные методы, применение которых, однако, осложнялось рядом причин. Одной из этих причин являлась трудность построения координатных функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям при сколько-нибудь сложной границе области или при сложном характере самих условий на границе. Вопрос о выборе координатных функций решался сугубо индивидуально, отсутствовали какие-либо рекомендации по их построению. Эта трудность была преодолена в процессе разработки теории -функций [243]. [c.61]

Переходя к более интересным задачам обтекания твердых тел, естественно сначала исследовать случай малых чисел Маха. Здесь мы встречаемся с аналогом парадокса Стокса (см. разд. 13 гл. VI), который не позволяет применять простейшую линеаризацию для двумерных течений. Можно, однако, рассмотреть обтекание трехмерных тел. Течение около осесимметричного тела при малых числах Маха рассчитывалось [134] вариационным методом, примененным к интегральной форме БГК-уравнения. В явном виде вариационные расчеты были сделаны для случая сферы [135]. [c.420]

Задача оптимального проектирования, сформулированная выше, относится к наиболее общим и сложным типам вариационных задач, которые рассматриваются в теории оптимальных процессов [56]. Это обусловлено тем, что часть аргументов целевого функционала зависит от времени, а другая часть неизменна во времени. Обычно для решения подобных задач предлагается исходную формулировку преобразовать к формулировке чистых вариационных задач, у которых все аргументы являются функциями времени. Для этого необходимо векторы Z и К рассматривать в качестве новых векторов-функций времени, производные которых по времени тождественно равны нулю. Это увеличивает размерность и объем задачи и создает дополнительные трудности для применения вариационных методов решения. [c.72]

Эти задачи решают методом вариационного исчисления, применение которого в механике позволяет решать, в частности, задачи расчета оптимальных космических траекторий, расчеты на оптимальность в автоматике, экономике и т. д. [2]. [c.377]

Докажем теперь теорему, являющуюся основной в применении вариационных методов. Пусть имеется уравнение [c.328]

Для решения задач поиска оптимальных алгоритмов управления находят применение методы вариационного исчисления. Наибольшей простотой характеризуется прямой вариационный метод [10], существо которого состоит в следующем. [c.222]

Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [114] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [68]. [c.268]

Каждое возможное перемещение можно рассматривать как результат бесконечно малого изменения (вариации) одной из обобщенных координат деформации, определяющих положение узлов и стержней рамы. Такое применение принципа возможных перемещений называется вариационным методом. [c.333]

Вариационная постановка плоской задачи, основанная на принципе минимума потенциальной энергии, обстоятельно рассмотрена в книге [35]. Отметим, что при определении температурных напряже ний во многих случаях также эф ктивно применение вариационных методов (И, 30]. [c.328]

В то же время известны общие универсальные математические методы, позволяющие, в частности, находить решения некоторых классов задач теории упругости. Справедливость их применения в процессе получения решения базируется на существовании специальных неравенств. Естественно, что методически более оправданным является обстоятельное построение этих неравенств для упрощенных задач (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения Лапласа), рассматриваемых (вместе с общей теорией) в математической главе. С учетом этого при изложении задач теории упругости оказалось целесообразным отметить лишь специфику построения соответствующих неравенств, ограничившись при этом простейшими областями (ввиду сложности построения оценок в общем случае). Такой подход реализован, например, при рассмотрении вариационных методов. [c.7]

Заметим, что вариационные принципы наследственной теории упругости допускают и иную трактовку. Вследствие принципа Вольтерра можно применять любой метод для решения задачи обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате упругие константы следует заменить операторами. Отсюда следует, в частности, что для нахождения точного или приближенного решения задачи теории упругости может быть применен любой из известных вариационных методов, если в результате решения в окончательном результате появится некоторая комбинация упругих констант, ее можно заменить такой же комбинацией из операторов и расшифровать по известным правилам. [c.606]

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными для каждого члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [14]. [c.189]

Силы, имеющие потенциал, замечательны с двух точек зрения. Во-первых, они удовлетворяют закону сохранения энергии по этой причине они называются консервативными силами . Во-вторых, несмотря на то что обобщенная сила имеет п компонент, все эти компоненты могут быть вычислены из одной скалярной функции U. Для применения к механике вариационных методов важно только последнее свойство, а то, что при этом сохраняется энергия системы, несущественно. [c.52]

К принципу наименьшего действия как чистый математик. Для него возможность широкого применения принципа основывается на разработанном им вариационном методе. Это есть лишь удобный и изящный способ решения задач. [c.798]

Разработка способов расчета изгибных и связных колебаний стерн<ней переменного сечения, дисков, вращающихся валов на основе метода динамической жесткости, изыскания точных решений в специальных функциях, вариационных методов и применения средств вычислительной техники явилась важным фактором обеспечения вибрационной надежности роторных узлов паровых и газовых турбин высоких параметров, а также гидротурбин предельной мощности. Существенное значение в этом сыграли также исследования по конструкционному демпфированию, гидродинамике опор скольжения и динамическим измерениям, позволившие улучшить оценку колеба- [c.38]

Точные решения задачи изгиба пластин могут быть получены лишь в - некоторых частных случаях, преимуш,ественно для пластин постоянной толщины простой конфигурации и при определенных видах граничных условий. Применение вариационных методов расчета является эффективным средством определения прогибов пластин в более сложных случаях. [c.96]

Второй подход состоит в применении вариационных методов, либо непосредственно [8, 66, 146, 149], либо с использованием способа конечных разностей [183, 191], а иногда в сочетании с предварительным разделением [c.42]

Вариационные методы. М. А. Лаврентьевым в применении к теории струй получены теоремы, относящиеся к вопросу о том, как изменяются отображающая функция и ее производная, если несколько изменить контур, ограничивающий данную область. Эти результаты М. А. Лаврентьев [79] применил и к движению грунтовых вод. [c.304]

Вариационные методы обычно связаны с оптимизацией динамического режима по средним, интегральным критериям и наиболее уместны при уменьшении износа, потерь на трение в системе, стремлении к сохранению точности, увеличению долговечности производственных машин. Тем не менее вариационные методы в задачах динамического синтеза механических систем, в частности в задачах выбора динамически оптимальных законов движения механизмов, находят еш,е ограниченное применение. [c.5]

Основной целью настоящего исследования является изучение некоторых аспектов динамического синтеза механизмов, а именно применение вариационных методов к задачам выбора динамически оптимальных законов движения. [c.6]

Однако остальные причины, ограничивающие применение вариационных методов, остались. По-прежнему чрезвычайно трудоемким оказывается вычисление квадратур при составлении алгебраических систем уравнений, к которым приводят вариационные методы. Кроме того, наблюдается неустойчивость вычислительного процесса за счет накопления той или иной погрешности при неудачном выборе координатных последовательностей. [c.62]

Добавим, что интегральное уравнение (7.49) может быть применено также для расчета различных секторов. Для этого необходимо соответствующим образом комбинировать нагрузку всей пластины, как показано в работе [317, с.ЗЗО]. В этих случаях вариационный метод Канторовича-Власова освобождает расчеты от мало удобных в применении функций Бесселя. [c.428]

Применение вариационного метода расчета колебаний диска при наличии изгибно-крутильной связанности лопаток рассматривается в работе [18]. [c.277]

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ [c.237]

Многие из приближенных методов (см. гл. X) могут быть распространены на задачи о вынужденных колебаниях. Так, при применении вариационного метода Бубнова—Галеркина приближенное решение уравнения (3) ищется в виде ряда [c.237]

Вообще нужно заметить, что хотя вариационные методы и интересны, они еще не достигли степени развития, необходимой для их применения к важным трехмерным задачам, в частности к встречающимся в системах с частицами. [c.114]

Для деталей с более сложной конфигурацией, как следует из п. 45, решение систем дифференциальных уравнений в случае больших деформаций малоперспективно. Поэтому повышается ценность прямых вариационных методов. Применение метода Ритца для минимизации потенциальной энергии в случае больших деформаций сводится к следующему алгоритму. [c.135]

Для решения более сложных задач широкое применение находят вариационные методы, сущность которых заключается в том, что система уравнений равновесия, условий шастичности и граничных условий заменяется эквивалентным ей принципом возможных перемещений. Использование данного метода возможно лишь при наличии данных (экспериментальных, численных и т.п ) о скоростях деформаций в различных точках исследуемой конструкции, необходимых для нахождения функции распределения скоростей деформации по сечению, отвечающему минимальному значению энергии деформации. Изложенный метод, с связи с этим, по с ти своей является приближенным, гюскольк минимизирующие функции подбираются эмпирически. [c.99]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Отметим также успешное применение в вариационных методах теории упругости некоторых образов и приемов строительной механики стержневых систем (канонические уравнения деформации и др.), разработанных Я. А. Пратусевичем [73К [c.66]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

Многие задачи прикладной теории упругости удается решать лишь приближенными методами, среди которых важное место занимают вариационные методы и в первую очередь те, которые основаны на применении начала возможных перемеш ений Лаграннга. [c.189]

Некоторое сужение вилки Хилла, определяющей расчетный интервал изменения упругих констант композиционного материала, достигается вариационными методами. При этом изменение ширины вилки, как показано Хиллом, зависит от упругих свойств компонентов материала. Если относительная разность модулей упругости велика, что характерно для материалов на основе полимерной матрицы, то применение вариационных методов не приводит к существенному сужению вилки Хилла. [c.55]

Вариационный метод находит широкое применение. Например, энергия нормального состояния атома гелия полученная Гиллераасом ( 32), [c.200]

Принцип максимума Понтрягина. Обобщением вариационного метода Лагранжа является метод, основанный на принципе максимума Понтрягина [256]. Он был разработан применительно к задачам теории оптимального управления, однако то обстоятельство, что он дает возможность искать оптимальные решения среди более широкого класса функций, делает его применение перспективным и к решенпю задач акустической оптимизации машинных конструкций [207, 346, 355, 356]. Метод состоит в следующем. [c.266]

Третья группа работ посвящена различным вопросам теплообмена и частично гидродинамики. В частности исследованию сложного (радиационно-кондукционно-конвективного) теплообмена, теплообмена в постоянных и переменных электрических полях, теплообмена при абляции, применению вариационного метода для расчета теплоотдачи, изучению неустойчивости теплообмена вблизи критического состояния и некоторым другим вопросам. [c.6]

Доклады, помещенные в первых двух частях, посвящены аналитическим и численным методам решения задач тепло- и массообмена. В нескольких из них рассмотрены отдельные математические проблемы теории, в частности вопросы разрешимости краевых задач теплЬ- и массообмена, единственности их решения, теории интегральных преобразований и т. д. Вопросы, представляющие интерес для развития и расширения математического аппарата теории, затронуты и в ряде других докладов, в которых рассматриваются конкретные процессы и явления в физических системах (применение дуальных интегральных уравнений, асимптотические методы решения некоторых сингулярных интегральных уравнений, вариационные методы, метод конформных отображений,. математическая теория регулярного теплового режима и т. п.). [c.3]

Заметим, что форма (1.40) есть аналитическое решение линейной задачи, а схема решения краевой задачи (1.46) — численное определение начальных и, если требуется, конечных параметров. Теоретически определение граничных параметров линейной системы из уравнения (1.46) можно выполнить аналитически, но целесообразней применять численный метод исключения Гаусса, т.к. трудности аналитического решения резко увеличиваются с ростом порядка матригцз А. Поэтому данное сочетание задачи Копти и численного решения краевой задачи позволяют определить предложенный одномерный вариант МГЭ как численно-аналитический метод решения дифференциальных уравнений независимо от физического содержания задачи. Если требуется решить задачу для линейной системы, состояние каждого элемента которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то всегда можно применить предложенный выше алгоритм. Если состояние элементов описывается дифференциальными уравнениями в частных производных(пластинчатые и оболочечные системы), то для применения одномерного варианта МГЭ нужны дополнительные преобразования, сводящие дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальных уравнениям. В математике, как известно, возможность понижения мерности исходной задачи существует. В механике такую процедуру выполняет вариационный метод, предложенный с разных позиций вьщающимися советскими учеными академиком Л.В. Канторовичем и членом-корреспондентом АН СССР В.З. Власовым, который носит их имя. [c.390]

Элементами этих конструкций являются относительно тонкие пластины, работаюшце в условиях изгиба и плоской задачи теории упругости. Метод расчета напряженно-деформированного состояния цилиндрических складчатых систем разработал В.З. Власов [63]. Здесь был применен вариационный метод для понижения мерности дифференциальных уравнений изгиба и плоской задачи, что позволило успешно решить проблемы расчета систем подобного типа. К недостаткам метода В.З. Власова следует отнести сложную логику формирования разрешаюшей системы уравнений, необходимость решать дифференциальные уравнения для каждого элемента конструкции, ограничения на торцевые условия опирания элементов складчатых систем (они должны быть одинаковыми), относительную трудность реализации алгоритма на ЭВМ. [c.479]

Так как вариация функций при расчете имеет ограничения, то по расчету всегда получаются значения частот несколько выше истинных. Достоинства вариационного метода — общность и наглядность решения, простота расчетных зависимостей. Недо-стагок метода — трудность оценки точности решения, понижение точности прн оценке распределения напряжений, неопределенность при выборе аппроксимирующих функций Последний недостаток устраняется с помощью применения вариационноразностного метода, близкого к методу конечных элементов. В этом методе в качестве основных неизвестных применяются значения кривизны на участке лопатки. При использовании линейного закона изменятся кривизны в пределах участка [c.235]

Замечание 2. В приложениях, в частности при применении вариационных методов (Ритца, Бубнова — Галеркина и др ), приходится вычислять интегралы, содержащие балочные функции и их производные. Вычисление этих интегралов or балочных функций можно найти в руководствах [3, 87, 100, 109] [c.197]

В отдельных случаях при применении вариационных методов, в частности метода Ритца, можно получить вполне удовлетворительную точность при использовании в выражениях (1.4.20) систем функций, не удовлетворяющих условиям полноты. [c.44]

О численной минимизации функционалов теории пластичности. Она осуществляется с применением современных быстродействующих ЭВМ. Вопросам численной реализации вариационных методов посвящены монографии С. Г. Михлина и Б. Е. По-бедри. Широко применяются методы конечных и граничных элементов. Математические вопросы методов решения краевых задач теории пластичности подробно изложены также в работе Г. Я. Гуна [3]. [c.321]

Вариационный метод применялся Шердом и Зай-маном (см. работу Бермана и др. [30]) для оценки теплопроводности в условиях, когда существенны только Ы-процессы и точечные дефекты описание этого метода давалось в п. 1 2 гл. 6. Предположение о выполнении упомянутых условий для любого данного вещества ограничивает применение расчетов очень узкой областью температур. Результаты расчетов выражаются через отношение полной теплопроводности к теплопроводности, которая была бы при той же концентрации дефектов, но при условии, что распределение фононов определяется Ы-процессами, а точечные дефекты участвуют только в резистивном рассеянии. Это отношение равно 1, когда рассеяние на дефектах очень слабое, и растет по мере того, как растет роль дефектов при определении величины теплопроводности. Конечно, сама теплопроводность не возрастает при увеличении числа дефектов, но она уменьшается медленнее, чем в случае, когда П-про-цессы остаются наиболее существенными для теплопроводности при всех концентрациях дефектов. Проводилось сравнение с экспериментальными значениями теплопроводности для целого ряда кристаллов, содержащих точечные дефекты в виде как чужеродных атомов, так и атомов изотопов (в случае фторида лития). Расчеты должны быть справедливы при температурах порядка 0/20, и при таких температурах действительно наблюдалось очень хорошее согласие. [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...