Число обусловленности

На эффективность применения метода оказывают влияние не только особенности самого метода, но и в не меньшей мере особенности решаемой задачи и используемой ЭВМ. Среди наиболее существенных особенностей задач, называемых ниже факторами, отметим размерность п (порядок системы уравнений), число обусловленности Ц и разреженность S матрицы Якоби, а среди особенностей ЭВМ — быстродействие Б, определенное для класса научно-технических задач, емкость оперативной памяти и разрядность машинного слова. Разработчик ППП должен ориентироваться на некоторые диапазоны значений этих факторов, характерные для моделей проектируемых объектов в соответствующей предметной области. Эти диапазоны должны быть либо указаны в техническом задании на разработку ППП, либо спрогнозированы самим разработчиком на основе исследования статистических данных [c.232]

Решение систем нелинейных АУ выполняется итерационными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби решаемой системы уравнений. [c.233]

Заметим, что повышение точности решения связано с увеличением порядка решаемой системы уравнений (13.18). При этом обусловленность матрицы К ухудшается [189], Кроме того, число обусловленности при равномерной сетке элементов имеет порядок [c.172]

Таким образом, произведение А А Ч1 дает оценку относительной погрешности решения. Чем больше это произведение, тем менее вероятно, что решение системы (15.14) (даже осуществленное точно) приведет к удовлетворительному результату. Произведение Л Л-Ч1 называется числом обусловленности системы k(A). [c.188]

Заметим, что число обусловленности не изменится, если над матрицей осуществить унитарное преобразование или же умножить обе части уравнения на одно и тоже число. Отметим очевидное неравенство [c.189]

Таким образом, в случае плохо обусловленных систем (когда число обусловленности велико) фактическое построение решения затруднительно, поскольку из-за малого разброса в исходных данных может получиться значительный разброс в решении. Соответствующие стабилизирующие приемы будут изложены в 16. [c.190]

Допустим, что подлежащее определению внешнее напряжение на поверхности 5i представлено в виде ряда с неизвестными коэффициентами по некоторой полной системе функций, умноженного на функцию, учитывающую характер особенности в напряжениях (который определяется согласно 8 гл. III). Тогда приходим к совокупности вторых краевых задач. Решив каким-либо образом эти задачи, находим в каждом случае значения смещений на поверхности 5i. Теперь возникает задача об определении коэффициентов введенного выше ряда из удовлетворения краевых условий на Sj. Здесь можно воспользоваться различными приемами методом коллокаций, методом наименьших квадратов и т. п. Получаемые при использовании конечного отрезка ряда системы алгебраических уравнений для коэффициентов могут оказаться плохо обусловленными ), причем число обусловленности растет с увеличением порядка системы. [c.597]

Число обусловленности матрицы показывает, во сколько раз относительная погрешность результата может максимально превосходить относительную погрешность исходной информации [3]. [c.58]

Выясним физический смысл чисел обусловленности матриц А и Е/(й — А. Число обусловленности матрицы в евклидовой норме может выражаться через отношение максимального и минимального модулей ее собственных чисел [3], т. е. [c.58]

Таким образом, число обусловленности матрицы А оценивается снизу отношением квадратов максимальной и минимальной собственных частот данной дискретной модели ротора. [c.58]

Раскроем теперь физический смысл числа обусловленности матрицы /со — А, определяемого выражением [c.59]

Обработка на ЭЦВМ информации, получаемой при балансировке однотипных агрегатов, требует решении систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений значительно больше числа неизвестных. Как правило, такие системы иесов.местны и не имеют точного решения. Приближенное решение по методу наименьших квадратов сводится к решению системы линейных уравнений с квадратной матрицей [1], [2]. Однако в процессе решения возникают трудности, связанные с возможностью плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Чис.до обусловленности дает оценку того, насколько относительная погрешность результата превосходит погрешность исходной информации. Если число обусловленности велико, то небольшая ошибка в исходных данных приводит к значительным ошибкам в решении. Поэтому оценка обусловленности матрицы дает существенную характеристику качества решения. [c.151]

Величина с (Л) = Л Л называется числом обусловленности матрицы Л и характеризует степень искажения единичной окружности после преобразования у = Ах. В эвклидовой норме ( х —длина вектора х) [c.152]

Таким образом, число обусловленности с (А) показывает, во сколько раз может возрасти относительная погрешность результата по сравнению с относительной погрешностью исходных данных в случае идеального вычислителя. Расчеты на ЦВМ показали, кроме того, что при больших с (А) вычисление обратной матрицы по существующим стандартным программам дает неудовлетворительный результат [проверено при с А) = 10 000 для матриц 12-го порядка]. Поэтому при решении систем линейных уравнений необходимо учитывать возможность плохой обусловленности матрицы системы. [c.153]

Программа выполнена в коде Минск-2 , занимает ячейки с 100 по 500. Кроме того, для вычисления числа обусловленности симметричных матриц сделана более короткая программа, работающая с той же БСП. Она занимает ячейки с 100 по 270. С помощью этих двух программ была проведена оценка точности решения систем нормальных уравнений, полученных при балансировке натурных многоопорных роторов энергетических турбоагрегатов. В приведенных ниже таблицах представлены полученные экспериментально комплексные значения динамических коэффициентов влияния а , , являющихся элементами матриц. [c.153]

При решении системы линейных уравнений для турбины К-100-90 (рис. 1, б) с матрицей сечений валопровода, данной в табл. 3, число обусловленности которой равно 4298 (табл. 4), ЭЦВМ не находит точного решения. При вводе в исходные данные погрешности до 10- 15%, решения отличаются па сотни процентов. [c.156]

Программа выбора балансировочных сечений при формировании системы уравнений, определяющих уравновешенность валопровода, должна по возможности обеспечивать минимум числа обусловленности матрицы коэффициентов системы. [c.157]

Приведенное сравнение в какой-то мере отвечает на вопрос использовать ли элементы с повышенным порядком аппроксимации и с большим числом степеней свободы в узле либо ориентироваться на более простые элементы В большинстве случаев, особенно при решении больших задач, предпочтение следует отдавать первым элементам, так как они дают возможность достичь необходимой точности при меньшем порядке L разрешающей системы алгебраических уравнений (1.5), Это очень важно, так как при увеличении L обусловленность матрицы К ухудшается, а это может привести к невозможности достижения заданной точности, хотя порядок аппроксимации для используемых типов элементов может обусловливать эту точность. Критерием обусловленности матрицы К может служить спектральное число обусловленности а(К). Чем хуже обусловленность, тем больше а (К). В работе [63] дается оценка а (К), которая при равномерной сетке имеет вид [c.25]

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к погрешностям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественную меру степени обусловленности задачи называют числом обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. [c.123]

Таким образом, число обусловленности выполняет роль. множителя в увеличении относительной ошибки его мож- [c.54]

Итак, чем меньше число обусловленности матрицы [Л] системы (1.118), геж лучше обусловлена эта система, тем устойчивее проходит процесс решения системы на ЭВМ. [c.55]

Большое число обусловленности привело к неустойчивости решения системы (1.118). , [c.55]

Остановимся на роли погрешности, которая возникает за счет приближенности решения самой системы Ритца. Важную роль здесь играет число обусловленности матрицы (см. 15). Для того чтобы решение и в этом случае оказалось устойчивым, необходимо, чтобы собственные числа матрицы были ограничены сверху и снизу положительными числами независимо от порядка матриц. [c.156]

Остановимся теперь на связи числа обусловленности с так называемым наибольшим (отах) И нзименьшим (ащ1п) главными значениями матрицы [c.189]

Однако этот критерий, строго говоря, не имеет смысла. Путем почленного умножения уравнений на числа, большие единицы, определитель системы линейных алгебраических уравнений можно сделать сколь угодно большим. Обусловленность системы при этом не изменится. В теории матриц вводятся числа обусловленности, инвариантные относительно подобных преобразований. К таким числам относятся числа Тюринга и Тодда. [c.181]

Первое число обусловленности Тюринга для матрицы В имеет вид (Вд,) =(А), т. е. равно Л -й степени числа обусловленности матрицы А. Аналогично для второго числа Тюринга у2 ( Af) =- 2 Следовательно, наилучшая обусловленность матрицы А влечет за собой наилучшую обусловленность матрицы Bw при всех N = 2, 3. . . [c.181]

Верхний предел первого числа обусловленности Тюринга. Для чисел обусловленности Тюринга и Тодда установлено ограничение только снизу /(у 1. Вместе с тем в приближенных оценках целесообразно иметь и верхний предел. Для первого числа обусловленности, выражающегося зависимостью [81], [c.181]

Ориентировочная оценка второго числа обусловленности Тю-ринга. Для ориентировочной оценки обусловленности расположения измерительных преобразователей и компенсаторов можно использовать второе число обусловленности Тюрннга [c.182]

Можно доказать, что для диагональных матриц = Ky2fn-Так как первое число обусловленности Тюринга Ку характеризует соотношение между СКЗ погрешности решения Ах и СКЗ погрешности ЛЛ коэффициентов матрицы А в уравнении (67),то СКЗ Ал СКЗ A СКЗ X СКЗ А [c.182]

Числа обусловленности с (Л) матриц А коэффициентов влияния валопроаодов энергетических турбоагрегатов [c.156]

Естественное число обусловленности Vg(x) характеризует коэффициент возможного возрастания погрешности решения х, вызванного погрешностью задания правой части Ь. Величину ond( ) = [c.125]

Библиотека математических функций MATLAB — набор самых разнообразных функций, включающий элементарные и специальные математические функции, логические функции, операции с комплексными числами, функции вычислений с матрицами и др. Она основное ядро системы, которое предоставляет пользователю инструменты для выполнения широкого круга математических вычислений, в том числе вычислений с действительными и комплексными числами операций с матрицами, массивами данных, алгебраическими полиномами вычислений ранга, числа обусловленности, сингулярного и спектрального разложений матрицы, функций от матрицы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений численного и символьного дифференцирования и интегрирования решения обыкно- [c.207]

Определение. Отношение М1т называется числом обусловленности матрицы [А] ond[A]=Mlm. [c.54]

Что такое обусловленность матрицы [Л]. системы (1.93) Каким образом число обусловленности матрицы влияет на усуейчивость решения . [c.58]

Потребности вычислительной практики при решении двумерных задач математической физики, в частности, задач газовой динамики и теории упругости в сложных областях, требуют автоматизации расчета криволинейных разностных сеток. К таким сеткам в ряде случаев предъявляются специальные требования. Обычно желательно, чтобы расстояния между соседними узлами сетки несильно отличались между собой и углы в элементарной четырехугольной ячейке невырождались (т.е. не были близки к О и тг). Первое требование связано с точностью аппроксимации производных, входящих в соответствующие диффе ренциальные уравнения, и также как и второе, — с обусловленностью систем разностных уравнений, полученных после аппроксимации. В частности, для метода конечных элемен-тов применительно к задачам упругости [1] в оценку для числа обусловленности матрицы соответствующей системы линейных уравнений в знаменатель входит sin а, где а — минимальный угол между сторонами элементарной ячейки сетки. Кроме того, в ряде слу-чаев в зависимости от особенностей краевых условий на части границ области требуется иногда сгущать узлы. Последнее третье требование в сочетании с двумя первыми создает [c.494]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.232 ]

Основы автоматизированного проектирования (2002) -- [ c.103 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.123 ]

Основы теории и проектирования САПР (1990) -- [ c.38 ]

Введение в метод конечных элементов (1981) -- [ c.244 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...