Метод Фредгольма

Поскольку неизвестная функция q входит под знак интеграла, то (7-142) является интегральным уравнением и по существующей классификации относится к типу неоднородных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Его можно решать методом итераций или методом Фредгольма, который состоит в приближенной замене интеграла конечной суммой. При использовании метода итераций весьма быстро растут трудности вычисления последующих итераций, даже если нулевое приближение выбрано достаточно удачно. Остановимся кратко на общей схеме метода Фредгольма. [c.316]

При решении задачи методом Фредгольма с использованием линейного упругого контактного слоя несложно получить уравнение [c.70]

С учетом приведенных здесь соотношений (5.3) — (5.7) условие совместности перемещений при решении задачи по методу Фредгольма можно представить в форме (k=l, 2, п) [c.85]

Для приближенного решения задачи, как и ранее, используем метод Фредгольма (см. с. 13), т. е. ограничимся удовлетворением условий совместности перемещений в п точках контакта k=, 2,. .., /г k — номер точки контакта). Последнее позволяет неизвестную функцию распределения напряжений (давлений) в зоне контакта аппроксимировать столбчатой функцией, имеющей постоянные давления в зоне fe-й точки контакта (см. рис. 1.5). [c.184]

Так как распределение, обусловливающее осесимметричное течение, не обязательно соосно с ним, как, например, распределения по кольцам вокруг оси г, ясно, что существуют тела вращения, для которых уравнение (88) не имеет решения. Тем не менее, контролируя погрешности последовательных итераций, можно использовать итерационную формулу для получения полезных приближенных решений. Метод Фредгольма также, очевидно, дает хорошие приближения, если подразделения интервала аЬ не слишком мелки, т. е. п<10. [c.121]

Соответствующее интегральное уравнение можно изучить непосредственно одним из методов существующей математической теории линейных интегральных уравнений (например методом Фредгольма). [c.256]

Метод, положенный в основу исследования этих проблем, представляет собой некоторое развитие метода Фредгольма, который, как известно, заключается в применении теории потенциала в соединении с теорией линейных интегральных уравнений. Распространение метода Фредгольма на сингулярные интегральные уравнения граничных задач теории упругости как для однородных, так и для кусочно-неоднородных тел позволило получить основные теоремы [c.7]

Из более поздних работ, касающихся метода Фредгольма, следует указать на известную работу Лихтенштейна. Здесь, однако, приходится вводить жесткие ограничения для рассматриваемых поверхностей кроме того, способ Лихтенштейна пока еще не нашел применения ко второй, третьей и четвертой основным граничным задачам. [c.11]

До сих пор мы имели в виду статические задачи. Мы видели, что существующие здесь трудности преодолены в методе Фредгольма лишь частично. Легко предвидеть новые трудности, которые возникают при переходе к динамическим задачам даже в простейшем случае установившихся колебаний Эти трудности возрастают еще более, если вместо однородных тел рассматриваются упругие тела, составленные из отдельных, сопряженных друг с другом тем или иным способом частей с различными упругими свойствами. Изучая колебания или равновесие подобных кусочно-неоднородных тел, мы должны считаться не только с граничными условиями типа первой, второй, третьей или четвертой граничных задач на геометрической границе тела, но и с условиями сопряжений отдельных частей, нз которых тело составлено, с условиями контактов на границах раздела различных сред. [c.11]

Метод Фредгольма является способом построения оператора, обратного оператору [c.241]

Итерации. Если 8р К не существует, но существует 8р К К, то методом Фредгольма можно воспользоваться по-другому, а именно итерируя один раз уравнение [c.248]

К 3. Изложение метода Фредгольма можно найти в любой книге по интегральным [c.250]

К задаче рассеяния метод Фредгольма впервые применили Ноет и Пайс [453]. [c.250]

Теория Фредгольма. Обратимся теперь к применению теории Фредгольма. В своей первоначальной форме метод Фредгольма не применим, поскольку оператор К (и Ж) на главной диагонали, т. е. при г = г, обращается в бесконечность. Как показано в гл. 9, 3, эту трудность можно обойти либо путем вытаскивания ядовитого зуба , либо итерируя оператор К. В первом случае мы строим ядро резольвенты, используя (9.84) и (9.85). Во втором случае с помощью первоначального метода Фредгольма мы строим оператор (1 — Однако поскольку оператор К (г, г ) не ограничен при г->- г, то в любом случае для доказательства сходимости ряда, полученного первым методом, нужно использовать ряд, полученный вторым методом. Запишем оператор Ж в виде [c.269]

Если последнее равенство имеет место при у = 1, то это означает появление связанного состояния. Таким образом, используя метод Фредгольма, всегда можно построить точную функцию Грина в виде [c.269]

Теперь с помош,ью метода Фредгольма построим функцию Грина согласно (10.89а). Метод Фредгольма одинаково хорошо применим для определения как функции , так и функции . Поэтому можно сделать вывод, что если условие (10.93) выполнено, то является аналитической (операторной) функцией переменного к, регулярной в верхней полуплоскости 1т > О (за исключением точек, соответствующих связанным состояниям, в которых она имеет простые полюсы) и непрерывной в области 1т 0. (Относительно дополнительных полюсов, обусловленных связанными состояниями потенциала —V, см. замечание в конце гл. 9, 3.) [c.272]

Если нам удастся построить матрицу (которая не зависит от фазовых сдвигов), то обратную матрицу (1 + 7 )" можно найти, например, методом Фредгольма или путем разложения в степенной ряд. Выбор метода зависит лишь от того, насколько быстро фазовые сдвиги стремятся к нулю при I оо. Если отлично от нуля лишь конечное число фазовых сдвигов (как это, очевидно, будет иметь место во многих практических случаях), то система уравнений (20.70) сведется к конечному набору р связанных уравнений и остающиеся элементы матрицы а выразятся в явном виде через р первых элементов. [c.575]

Это уравнение может быть решено методом Фредгольма. [c.222]

Задача решения уравнения Фредгольма 1 рода — зто некорректно поставленная задача математической физики, и для ее решения следует применять специальные методы . [c.99]

Прибегая далее к операционному методу решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, перейдем к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, что позволяет найти эти изображения, а по ним определить и оригиналы. [c.171]

Уравнение (5.18) является интегральным уравнением Фредгольма первого рода и, как отмечалось в 16 гл. I, оно является некорректным. Для получения устойчивого решения можно применять общие методы регуляризации. [c.602]

Выражение (11.2.17) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, из которого определяется неизвестная интенсивность циркуляции у (S). Уравнение (И.2.17) решают методом последовательных приближений. Неизвестную границу каверны определяют по уравнению (II.2.16), в котором 7 (S) — постоянная величина, найденная согласно уравнению (11.2.17). [c.68]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

Выше был изложен подход к решению поставленной задачи, основанной на сведении ее к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Используемая в методах решения некорректных задач информация [c.74]

Соотношение (4.8) соответствует решению методом последовательных приближений интегрального уравнения Фредгольма второго ряда, и в данном случае при линейности оператора возможен прямой метод его решения, свободный от указанных выше вычислительных трудностей решений некорректных задач. [c.148]

К таким методам можно прийти, рассматривая приведенное выше уравнение Фредгольма, которое может быть с любой [c.20]

Первый тип методов основан на замене каждого из профилей решетки системой вихрей, расположенных по контуру. Интенсивность вихрей вдоль контура профиля выбирается таким образом, чтобы линии тока результирующего потока, образующегося от сложения плоскопараллельного потока и потока от заменяющей профили лопаток системы вихрей, совпадали с контурами профилей. Выражение, описывающее результирующий поток, приводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. [c.52]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Уравнение (4.22) можно решить приближенно методом колло-кацин или методом Фредгольма. [c.74]

Это уравнение совпадает с уравнением, ранее полученным М. А. Биргером и Т. В. Кутеповой [14]. Его можно решить приближенно методом коллокации или методом Фредгольма. [c.90]

Ззхмена интегрального уравнения упругого контакта тел системой линейных алгебраических уравнений (метод Фредгольма) эквивалентна допущению об удовлетворении условий совместности перемещений в конечном числе точек контакта. Последнее соответствует основе численных методов теории упругости — замене континуальной расчетной модели детали (тела) с непрерывным распределением параметров и бесконечным числом степеней свободы дискретной моделью, имеющей конечное число неизвестных. [c.115]

Из различных методов решения интегральных уравнений метод Фредгольма — замена интегрального уравнения алгебраическим уравнением — кажется самым простым, а метод итерации кажется наиболее точным. Метод Фредгольма основывается на том, что определенный интеграл в интегральном уравнении приближается к конечной сумме. Вследствие простоты этого метода, он будет подробно разобран и проиллюстрирован далее. Большая точность метода итерации объясняется сохранением интегралов в каждом повторении и выражением их значений с по .ющью точной формулы квадратуры. Оценка погрешности соответствующего интегрального уравнения получается после каждого последовательного приближения, следовательно, повторения могут быть закончены, как только будет замечено, что погрешность начала расти. Последняя предосторожность особенно необходима для интегральных уравнений первого рода, когда точного решения не существует. В этом случае, хотя полный квадрат погрешности продолжает уменьшаться с увеличением числа повторений, могут наблюдаться весьма большие погрешности в отдельных точках. [c.118]

Применение метода Фредгольма к итерированному уравнению Липпмана — Швин-гера описано в работе Кури [482] см. также [767, 30, 572]. [c.251]

ТО ядро интегрального уравнения (12.91) является ядром Гильберта — Шмидта и мы можем воспользоваться методом Фредгольма, чтобы найти решение f. Процедура построения полной амплитуды, т. е. S (к) по известному скачку последней на левом разрезе с помощью (12.91) и (12.71) обычно называется NID-жтодом. Получаемое решение, конечно, не всегда возможно построить методом итераций. [c.331]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Рассмотренные выше системы интегральных уравнений, описывающие процесс радиационного теплообмена, отличаются существенной сложностью. Заметное упрощение может быть достигнуто при выполнении ряда условий относительно радиационных характеристик среды и граничной поверхности. [допущение идеально диффузного отражения и излучения стенок, изотропного рассеяния в ереде. неселективного (серого) излучения среды и стенок, постоянства радиационных свойств среды]. В математическом отношении эти уравнения теплообмена излучением сводятся к линейным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, тео рия и методы решения которых изложены в [Л. 110— 118]. Они дают однозначное решение при задании в каждой точке объема и граничной поверхности Т1ЛОТНОСТИ какого-либо вида излучения. [c.209]

Второй метод решения интегрального уравнения Фредгольма получается вследствие применения теоремы Гильберта — Шмидта, которая гласит о том, что всякая функция, представленная истокообразно при помощи ядра т (s) а (x s), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по фундаментальным функциям этого ядра. Эти функции есть кривые нормальных прогибов и в нашем случае данная теорема означает возможность разложения кривой прогибов и эксцентриситетов в ряд по формам колебаний рассматриваемого ротора. [c.187]

Хилл дал метод решения X. у. с использованием определителей бесконечного порядка. Это явилось толчком для создания теории таких определителей и далее для создания 3. Фредгольмом (Е. Fredholm) теории интегральных ур-ний. Для X, у. ставятся прежде всего задачи устойчивости решений, существования или отсутствия периодич. решений, Если в действительном случае в X. у. ввести [c.405]

Определение плотности геплового потока на границе тела ( или коэффициента теплообмена ) можно свести к некорректной задаче решения интегрального уравнения Фредгольма I рода. В обратных задачах обоих типов прямые методы веприменимы, в связи с чем использован метод пробных решений, дающий в некоторых случаях приемлемые по точности результаты [ 1J. Степень "устойчивости" метода исследована в процессе численного анализа вяИяния ошибок эксперимента на точность решения обратных задач. [c.342]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...