Метод решения систем интегральных уравнений

Метод решения систем интегральных уравнений 127 [c.127]

В последнее время наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению систем [c.25]

Как отмечалось в гл. 8, большое практическое применение получили зональные методы расчета радиационного теплообмена, основанные на алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена излучением. Естественно, что точность этих методов возрастает с увеличением числа зон, на которые разбивается излучающая система, но одновременно с этим усложняется и разрешающая система алгебраических уравнений, что существенно затрудняет ее решение. Поэтому дальнейший прогресс в использовании методов алгебраического приближения зависит от нахождения эффективных средств решения систем алгебраических уравнений. [c.281]

Очевидным альтернативным подходом к системе дифференциальных уравнений была бы попытка аналитически проинтегрировать их каким-нибудь способом или перед переходом к какой-либо схеме дискретизации, или перед введением какой-либо аппроксимации. Конечно, мы пытаемся проинтегрировать дифференциальные уравнения, чтобы найти решение, какой бы метод мы ни использовали, но сущность методов граничных интегральных уравнений состоит в преобразовании диф( ренциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений в качестве первого шага решения задачи. Интуитивно можно ожидать, что такая операция (если она окажется успешной) даст систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области. [c.13]

Метод конечных разностей базируется на возможности аппроксимации дифференциальных операторов, входящих в дифференциальное уравнение, более простыми локальными алгебраическими операторами, которые действуют в системе узлов, заранее выбранных в области. МКЭ основывается на представлении самой области набором элементов среды (конечных элементов), совокупность которых составляет дискретный аналог исследуемой области, т. е. аппроксимирует реальную систему. МГЭ в отличие от МКР и МКЭ, по сути, не рассматривает дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они получены, а своим первым и основным шагом решения содержит преобразование исходных дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений. [c.48]

Для решения такой задачи имеем систему интегральных уравнений (7.47) с гладкими правыми частями, причем в выражении (7.45) для функции Q( i) следует заменить Ri на а. С помощью метода механических квадратур приходим к системе алгебраических уравнений вида (7.22), последнее уравнение которой нужно заменить условием (7.32). Безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений K nR )IP в зависимости от X=//(d—Rq) при различных значениях параметров R ld и ajb приведены в табл. 35 и 36, где над чертой даны результаты для одной трещины, под чертой — для двух. Анализ приведенных в этих таблицах численных данных показал, что с увеличением вытянутости эллипса Li [c.201]

Излагаются аналитические методы и результаты решения большого круга неклассических задач механики контактных взаимодействий упругих тел. Рассмотрены статические и динамические контактные задачи теории упругости для тел сложной конфигурации, неоднородных тел и контактные задачи с усложненными условиями в зоне контакта. Для решения указанных задач разработаны эффективные аналитические методы решения парных рядов-уравнений, интегральных уравнений и бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Получен ряд качественно новых и важных результатов, касающихся зависимости контактных напряжений, жесткости системы штамп-упругое тело, размеров области контакта и деформации свободной поверхности от параметров задач. [c.1]

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ I РОДА [c.100]

В настоящем разделе метод фиктивного поглощения обобщается на класс динамических смешанных задач для слоисто-неоднородного полупространства с учетом сцепления в области контакта. Обобщение основано на использовании в рамках метода фиктивного поглощения численных методов решения интегральных уравнений первого рода, что позволяет в значительной мере усовершенствовать процесс регуляризации систем интегральных уравнений динамических контактных задач. [c.127]

Настоящий параграф посвящен изложению эффективного метода решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений первого рода с разностными ядрами, обладающими весьма общими свойствами, заданных в ограниченной области или в системе таких областей. Указанный подход позволяет с высокой точностью строить решения динамических смешанных, в том числе контактных, задач. Его точность ограничивается лишь возможностями вычислительной техники. [c.83]

Применение специальных методов решения задачи при заданных силе или моменте вызвано следуюпщми обстоятельствами. Традиционные разложения в ряды по собственным функциям операторов AJ, AJ или по тем же полиномам Лежандра приводят к необходимости исследования бесконечных систем интегральных уравнений Вольтерра, что вносит теоретические трудности и существенные вычислительные проблемы при решении конкретных задач. Методы, основанные на использовании неклассических спектральных соотношения для операторов BI и BJ, приводят лишь к решению последовательности независимых уравнений Вольтерра и позволяют дать строгое их обоснование. [c.67]

Большой интерес в настоящее время представляет возможность применения метода вихревого слоя, к профилям конечной толщины.. При этом вихри распределяются по поверхности профиля и задача решается в точной постановке. Общая теория вопроса является непосредственным приложением математической теории потенциала задача сводится к построению подходящих численных методов расчета. Наибольшее значение метод вихревого слоя приобрел в связи с новыми возможностями, которые дают ЭВМ. В частности, Г. А. Павловец (1966) разработал схему численного расчета обтекания многосвязных контуров произвольной формы. В этой работе метод вихревого слоя применяется в интерпретации М. А. Лаврентьева (1932), когда задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, выражающему обращение в нуль касательных скоростей потока с внутренней стороны замкнутого контура. При построении численного метода для отыскания неизвестного распределения плотности вихревого слоя на всех контурах используется итерационный процесс решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численный метод дает реальную возможность рассчитывать поле течения для таких сложных систем, как толстый профиль со щелевыми закрылками и предкрылками, механизированный профиль вблизи земли и т. п. [c.88]

Обратные задачи светорассеяния, постановка которых связана с микроструктурным анализом дисперсных сред методами оптического зондирования, приводят к решению многомерных интегральных уравнений. Так, например, если полидисперсная система состоит из эллипсоидальных частиц, то их можно классифицировать по трем линейным параметрам, роль которых могут играть полуоси а, 6, с. Следует заметить, что выбрать единую систему трех линейных параметров для построения функций распределения частиц по размерам можно лишь в том случае, если все они имеют одну и ту же геометрическую форму. Подобным примером как раз и является упомянутая выше система эллипсоидальных частиц. В более общих случаях дать адекватное описание того, что понимать под микроструктурой дисперсной среды, совсем непросто. [c.75]

Этот и остальные параграфы настоящей главы посвящены одному из важнейших методов решения задач теории упругости-методу сингулярных интегральных уравнений. Преимущество этого метода состоит в том, что получающиеся уравнения записываются на многообразиях размерности на единицу меньше размерности исходной задачи (например, в трехмерной задаче получаются уравнения на поверхностях, т. е. многообразиях размерности 2), однако за это снижение размерности приходится расплачиваться усложнением методов решения и исследования соответствующих уравнений и систем. [c.86]

Метод интегральных соотношений. Развитием метода прямых является метод интегральных соотношений, предложенный в 1951 г. А. А. Дородницыным. С помощью этого метода интегрирование систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к численному решению некоторой аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.182]

Ш Интегральные методы основаны на введении вторичных источников поля, которые характеризуют реакцию тел, составляющих систему, на воздействие сторонних (первичных) источников. При этом сами тела заменяются вакуумом, что упрощает расчет. Введение вторичных источников не является однозначным, что позволяет создавать различные расчетные модели, наиболее отвечающие конкретным целям [37]. Целью расчета является определение вторичных источников, после чего легко найти любые параметры системы. Вторичные источники определяются решением интегральных уравнений, описывающих их взаимодействие друг с другом п с первичными источниками. Уравнения учитывают взаимодействие всех источников рассматриваемой системы, а не только соседних, поэтому интегральные методы наиболее удобны для расчета квазистационарных систем, т. е. таких устройств, в которых можно пренебречь запаздыванием сигнала. Это означает, что размеры устройства должны быть значительно меньше длины электромагнитной волны В воздухе. Все индукционные устройства подчиняются это.му условию. [c.121]

В решении интегральных уравнений. Поскольку в рассматриваемом примере аналитическое описание систем имеется, то при моделировании можно обойти эту трудность, воспользовавшись другими методами для определения функций чувствительности, требующими определенной априорной информации, но позволяющими избежать решения интегральных уравнений, например методом точек чувствительности [3]. Уравнения модели чувствительности запишем так [c.11]

Значительное развитие в последние годы получили различные варианты метода интегральных ураннений [104—113]. При использовании этого подхода модель электродинамического объекта представляет собой некоторую систему интегральных уравнений относительно функций, заданных на границах тел с различными электрофизическими параметрами. В зависимости от конкретных особенностей решаемой задачи и используемого метода эти функции могут иметь смысл плотности заряда, тока, компонентов электрического либо магнитного полей и т. д. Существенно, что размерность фактически решаемой задачи оказывается меньшей, чем исходной. Это обеспечивает возможность исследования весьма сложных объектов. Кроме того, системы интегральных уравнений хорошо изучены в математической физике теоретический анализ интегральной формулировок электродинамических задач позволяет получить условия их разрешимости, едииственности решения и т. д. Формулировки электродинамических задач в виде интегральных уравнений выгодны также с точки зрения численного решения последних. Численные методы решения систем интегральных уравнений разработаны достаточно подробно [113]. Результаты использования метода интегральных уравнений для построения моделей некоторых типов ЛП, а также неоднородностей в Них приводятся в [45, 107, 111]. [c.34]

Обьиный метод решения сингулярного интегрального уравнения состоит в регуляризации по Карлеману—Векуа и в последующем численном решении полученного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Такой подход очень трудоемок. В последнее время при решении задач, представляющих интерес для приложений, наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди этих методов можно отметить метод Мультоппа—Каландия [5], основанный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярного интеграла. [c.243]

Стандартный метод решения сингулярных интегральных уравнений состоит в их регуляризации и последующем численном решении полученных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Однако такой подход очень трудоемок. В последнее время в численных расчетах наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод механических квадратур, основа1шый на определенных формулах, для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярных интегралов [30, 65, 71, 77, 94, 180, 228, 299, 314, 315, 341, 360, 4191. [c.52]

Высокую эффективность при исследовании динамических смешанных задач для областей типа слоя или пакета слоев, особенно на высоких частотах колебаний, показали развитый в ряде работ В.А. Бабешко метод факторизации [11, 38, 39], а также предложенный В.А. Бабешко и развитый в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной [11, 14, 39] метод фиктивного поглош,ения. Последний был успешно использован при изучении контактного взаимодействия массивных жестких штампов, упругих балочных плит и двухмассовых инерционных систем, а также для решения систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании задач контактного взаимодействия массивных электродов с электроупругими средами. [c.4]

Используя эти операторы, обратные задачи светорассеяния можно свести к решению систем интегральных уравнений, что иллюстрируется в главе на примере теории поляризационного зондирования атмосферы. Этот оптический метод технически реализуется с помощью поляризационных нефелометров и бистати-ческих схем зондирования. Поскольку операторы перехода, определенные на совокупности элементов матрицы Мюллера, играют существенную роль и в теории, и в практике обработки оптических измерений, в главе дается обстоятельный анализ их основных свойств. В частности, показана их компактность и непрерывность, возможность их представления в виде интегральных операторов, приведена структура регуляризованного аналога, что весьма важно в случаях их применения в схемах обработки экспериментальной информации. Кратко изложены основы их спектрального анализа. Во избежание формализма авторы используют известные аналогии между интегральными операторами и матрицами. [c.14]

По на1пему методу система обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к одному уравнению в частных производных первого порядка, матем ищется полное решение этого уравнения, и производные, взятые от этого решения по произвольным постоянным, дают систему интегральных уравнений. Но решение уравнения в частных производных может принимать чрезвычайно разнящиеся друг от друга формы разыскивая эти различные формы, мы получаем разлитаые по виду системы интегральных уравнений, которые однако должны по своему значению совпадать друг с другом. Это и есть тот путь, следуя которым мы будем доказывать теорему Абеля. ЛГы будем иеюдить т уравнения в частных производных [c.207]

Это интегральное уравнение для неизвестного распределения размеров капель / (D) представляет собой уравнение Вольтерра первого рода. Даже при известном аналитическом выражении для функции скорости счета (вместо таблицы числовых значений) аналитическое решение уравнения (13) отсутствует. Поэтому использовались численные методы. Кунц [22], Скарбороу [23] и другие разработали метод численного определения функции / D). По существу эти методы состоят в замене определенного интеграла формулами для квадратуры и определении значений неизвестной функции в каждой точке путем разбиения определенного интеграла с использованием стандартных методов решения систем уравнений. [c.178]

Большое внимание в монографии уделено разработке новых и развитию известных аналитических и численно-аналитических методов перечисленных выше задач. Основными из них являются 1) метод сведения парных интегральных уравнений (ИУ) и парных рядов-урав-нений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей специальный способ решения этих систем 2) метод однородных решений применительно к телам конечных размеров канонической и неканонической формы 3) метод сведения парных интегральных уравнений к ИУ 1-го и 2-го рода с разностным ядром 4) метод больших Л, построение всех членов разложения с помощью алгебраических рекуррентных соотношений [c.13]

Основной задачей, которую ставили перед собой авторы при подготовке данной книги, была разработка эффективных методов решения интегральных уравнений или систем интегральных уравнений, позволяющих с высокой точностью учитывать малейшие изменения динамических свойств среды. Объектом исследования данной монографии является поиск закономерностей влияния преднапряжений на динамику контактного взаимодействия преднапряженной полуограниченной среды с ограниченными телами. При этом предполагается, что преднапряжения и возникающая при этом начальная деформация настолько малы, что не могут привести к потере внутренней или поверхностной устойчивости. [c.10]

Суть метода фиктивного поглощения состоит в приведении интегральных уравнений с сильно осциллирующими ядрами к зфавнениям с ядрами, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. После этого для получения решения исходного уравнения динамической задачи решение задачи с убывающим ядром служит базовым. Поэтому описываемый метод бьш назван методом фиктивного поглощения, сокращенно МФП. Основы этого метода заложены в [1]. В [1 , 9] получены решения интегральных уравнений динамических смешанных задач для полуограпичеппых сред в случае полосовой, круговой и прямоугольной областей. В [5, 7, 11 14] МФП развит применительно к различным типам систем интегральных уравнений, возникающих при изучении динамических смешанных задач с учетом связанности полей и при различных условиях в области контакта. Особенностью устройств акустоэлектроники является наличие большого числа электродов на поверхности пьезокристаллической среды, что приводит к необходимости решения уравнений свертки, заданных на системе отрезков. К этим же уравнениям приводят динамические контактные задачи о возбуждении среды системой полосовых штампов. В [6, 10] МФП развивается для решения такой системы. Следует отметить работу [8], где МФП реализуется для составных областей. [c.83]

Излагаются основы теории ползучести неоднородных стареющих тел, механики непрерывно наращиваемых тел и теории нелинейной установившейся полззгчести. Рассматриваются контактные задачи в рамках указанных теорий. Предлагаются математические методы исследования и построения решений получаемых интегральных уравнений и систем интегральных уравнений, алгоритмы получения точных и приближенных решений нелинейных задач. [c.4]

Из теоретических результатов главы следует отметить нетрадиционную постановку задачи для операторного зфавнения и проекционноспектральный метод ее решения, позволившие получить в рассматриваемых контактных задачах вместо бесконечных систем интегральных уравнений Вольтерра (к чему ведут классические методы) последовательности независимых вольтерровых уравнений. [c.8]

Для приближенного решения уравнений (44), (46) можно использовать рассмотренный выше метод замены ядра интегрального уравнения на близкое вырожденное. Следует заметить, что поскольку в уравнениях (44), (46) ядро интегрального оператора зависит от разности аргументов, то можно использовать более простой способ построения вырожденного ядра на основе полных ортонормированных систем функции, нем в случае ядра общего вида. Покажем это. Рассмотрим какой-либо элементТв матрице-функции, являющейся ядром интегрального оператора В. Обозначим его / (t — т), t, r [О, То]. Пусть фг (г)[, z [—То, То1, [c.101]

Полученные к настоящему времени точные решения для полубесконечных пластинок имеют в основном теоретический интерес из-за трудностей в доведении нх до числа. В этом отношении хорошие перспективы открывает использование (Г. Я- Попов [72] Ю. П. Зюкин, А. А. Паскаленко и Г. Я. Попов [31]) метода ортогональных многочленов (1, 4,3) для приближенного решения соответствующих интегральных уравнений и их систем. [c.290]

Не представлялось возможным коснуться в монографии обратных задач, связанных с нелинейными эффектами взаимодействия оптического излучения с компонентами атмосферы [14, 45], атмосферной рефракцией [1] и турбулентностью [14]. С учетом этого обстоятельства следует признать, что название монографии несколько шире содержащегося в ней материала. Вместе с тем, если акцентировать внимание на математических аспектах теории оптических обратных задач, то в монографии рассмотрены практически все виды тех интегральных уравнений и их систем, к которым сводятся обратные атмосферно-оптические задачи независимо от их конкретного физического содержания. В частности, если вести речь о некорректных задачах, то в монографии изложены эффективные алгоритмы обращения интегральных уравнений Фредгольма, Вольтерра, простейшие нелинейные уравнения, а также интегральные уравнения в форме интеграла Стилтьеса. Особое внимание уделено построению вычислительных схем численного решения систем функциональных уравнений, включающих и интегральные с ядрами, зависящими от неизвестных параметров. В этом отношении содержание монографии обладает достаточной общностью. На примере обратных задач светорассеяния представилось возможным рассмотреть методы численного решения тех функциональных уравнений, к которым сводятся наиболее распространенные обратные задачи оптики атмосферы. Подобные аналогии указываются в тексте монографии и сопровождаются соответствующими ссылками на литературу. [c.12]

Учитывая нерегулярный ход высотного распределения аэрозолей в атмосфере, всем интегральным уравнениям теории зондирования придана форма интегралов Стилтьеса. В главе подробно излагаются численные методы для одночастотного варианта касательного зондирования в силу близости обращаемого интегрального уравнения обратным задачам рефракции и атмосферной топографии. Решение систем функциональных уравнений метода многочастотного касательного зондирования по аналогии с методом лазерного зондирования строится на основе итерационных вычислительных схем, содержащих матричные аналоги оптических операторов перехода. В целях раздельного определения характеристик рассеяния молекулярной и аэрозольной компонент [c.148]

Метод конечных элементов, по крайней мере его основы, известен уже более полувека, но настоящий взлет он получил лишь с развитием современных средств информатики. Интегральные представления известны достаточно давно благодаря работам Галеркина, Ритца, Куранта и Гильберта [1-4] (здесь отмечены только эти работы, как внесшие наиболее существенный вклад). Однако применение интегральных представлений расширялось по мере того, как разрабатывались методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей. Действительно, громадная работа по решению линейной системы с несколькими десятками уравнений и таким же количеством неизвестных отталкивала большинство инженеров, и такими вычислениями занимались лишь немногие специалисты, которые, впрочем, разрабатывали всевозможные ухищренные методы, применявшиеся в течение ряда лет, некоторые из которых используются еще и сегодня (Сутвел, Якоби, Гаусс). [c.7]

Это уравнение, а также (5.27) представляют собой систему интегральных уравнений для р х) и q x). Она решалась Бафле-ром [43] с использованием метода 2.7 для граничных условий класса III. Мы упростим проблему, пренебрегая влиянием тангенциальных напряжений на контактные давления, которые будут определяться по Герцу. Уравнение (8.12)—единственное интегральное уравнение для q(x). Следуя методу решения статической задачи 5.4, разбиваем q x) на две составляющие д (х) и q" x). Напряжение q (х) необходимо, чтобы уничтожить разницу в деформациях, получаемую от нормального давления они определяются из уравнения (5.32) 7 (х) — напряжения, необходимые для реализации постоянной разности деформаций Эта составляющая определяется интегральным уравнением, совпадающим по форме с (2.39) и (2.44), где п = 0 и А = n gx/2, причем решение записывается в виде [c.284]

Проблема исследования систем, когда к ним не применим критерий слабой неидеальности, требовала новых подходов. Одним из них стал метод получения интегральных уравнений для младших функций распределения, полученных на основе расцепления цепочки уравнений с использованием физических допущений. В 1935 г. Кирквуд предлагает суперпозиционное приближение [26], которое приводит к уравнению, наиболее широко используемому в настоящее время в форме Боголюбова [11]. В 1958 г. Перкус и йевик опубликовали полученное ими уравнение [27], которое обладает тем замечательным свойством, чта допускает точное решение для системы твердых сфер. Для описания систем при больших плотностях был развит метод суммирования диаграмм и перенормировок, на основе которого выведено ГПЦ уравнение [28]. [c.213]

Интегральные уравнения задачи. Если рассматривать систему с не периодическими внешними силами, то решение задачи интегральными методами позволяет в принципе устранить определение частот собственных колебаний и постоянных интегрирования [3, 4]. Полагая, что в точках 4происходит разрыв решения, определим реакции системы на единичные возмущения, заданные начальными условиями (17) и (18). Для этого рассмотрим решение однородного уравнения (15) [c.60]

В случае необходимости полученное решение может быть уточнено различными способами, например методом малого параметра, на базе интегрального уравнения Вольтерра II рода, методом квазилинеаризации и др. [5, 8, 40, 61 ]. Следует, однако, заметить, что поиск последующих приближений нередко оказывается неоправданным из-за погрешностей, возникающих при идеализации реальных систем, неточностей при определении параметров динамических моделей и т. п. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...