Методы алгебраического приближения

Методы алгебраического приближения [c.219]

Развитие методов алгебраического приближения [c.219]

Большое распространение при выполнении расчетов радиационного теплообмена в различных областях науки и техники получили методы алгебраического приближения. Существует несколько разновидностей этих методов, о все они в математическом отношении основываются на той или ной алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена излучением. Получаемая при такой аппроксимации система линейных алгебраических уравнений, решаемая затем аналитически или численно, представляет собой алгебраическое приближение в описании процесса радиационного теплообмена. При этом, как правило, большая степень приближения достигается за счет прогрессивного усложнения разрешаюш ей системы алгебраических уравнений. [c.219]

Второй (резольвентный) подход в методах алгебраического приближения основан на резольвентном представлении решения исходного интегрального уравнения теплообмена излучением. На основании известного из математики итерационного метода решение интегрального уравнения можно представить в виде квадратуры, в которой под знак интеграла входят резольвента и известная по условию функция. При этом в свою очередь резольвента от ядра исходного интегрального уравнения удовлетворяет новому интегральному уравнению, в котором фигурируют только оптико-геометрические параметры излучающей системы. Излучающая система аналогично классическому подходу разбивается на зоны, в пределах каждой из которых радиационные характеристики и заданные плотности излучения принимаются постоянными. С учетом такого зонального деления интегральное уравнение для резольвенты аппроксимируется система ми линейных алгебраических уравнений, решаемых численно или аналитически. [c.222]

Детальный анализ первого и второго -подхода в методах алгебраического приближения показывает, что при одинаковых посылках и допущениях они дают тождественный результат в определении средних плотностей излучения по зонам. Нахождение же с помощью второго подхода локальных плотностей излучения эквивалентно нахождению средних плотностей излучения с помощью первого подхода и последующей подстановке средних по зонам значений в исходное интегральное уравнение с целью приближенного нахождения локальных плотностей. [c.223]

Как отмечалось в гл. 8, большое практическое применение получили зональные методы расчета радиационного теплообмена, основанные на алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена излучением. Естественно, что точность этих методов возрастает с увеличением числа зон, на которые разбивается излучающая система, но одновременно с этим усложняется и разрешающая система алгебраических уравнений, что существенно затрудняет ее решение. Поэтому дальнейший прогресс в использовании методов алгебраического приближения зависит от нахождения эффективных средств решения систем алгебраических уравнений. [c.281]

По формуле (1.1) записывают полную потенциальную энергию системы, после чего параметры ai определяют из системы алгебраических уравнений (1.6). Этот метод дает приближение к действительному значению величины w сверху. [c.13]

Итерационный способ (метод последовательных приближений), представляющий собой разновидность численного метода, является универсальным методом решения алгебраических и трансцендентных уравнений, а также их систем. Разумеется, не всегда этот способ является единственным и наиболее рациональным, однако на его примере удобно иллюстрировать общие принципы построения любого численного метода. [c.56]

При изложении методов, применяемых в задачах тепломассообмена, даются необходимые сведения о решении алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений изложены основы метода конечных разностей. В прикладном плане приведены некоторые классические методы, такие как метод конформных отображений, операторный, разделения переменных, метод характеристик. Даны понятие об асимптотических методах, методе последовательных приближений, интегральных методах, а также некоторые точные решения задач тепломассообмена. [c.3]

Эту систему алгебраических уравнений будем решать методом последовательных приближений. [c.123]

Значения температуры в узлах сетки являются искомыми, поэтому для получения приближенного решения задачи необходимо отрегулировать эти значения температуры таким образом, чтобы обеспечивался минимум функционала (23.26). Условием минимума функционала является равенство нулю первых производных от него по температурам во всех узлах сетки. В результате дифференцирования (23.26) по всем неизвестным температурам получается система линейных алгебраических уравнений. Последующее решение этой системы уравнений каким-либо известным методом дает приближенное решение исходной задачи. [c.247]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Таким образом, задача определения пяти перечисленных выше параметров механизма имеет алгебраическое решение в общем виде. Приемлемость решения может быть проверена, как и в предыдущем случае, по геометрическому и статическому условиям существования кривошипа. Конструктивно приемлемый вариант механизма может быть найден также и путем варьирования параметра а. Заметим, что вместо решения (4.66) следует предпочесть совместное решение двух квадратных уравнений (4.64) методом последовательных приближений или графическим методом путем построения кривых второго порядка. [c.101]

Записывая условия (8.22) для всех т точек контакта и заменяя входящие в них смещения соотношением (8.23), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных давлений, кинематических перемещений и размеров площадки контакта. Отметим, что размеры площадки контакта находятся с учетом краевых условий для контактных задач по методу последовательных приближений. В нулевом приближении можно [c.158]

Решение системы нелинейных алгебраических уравнений проводится чис-ленно на ЭВМ методом последовательных приближений. При решении применяются методы линеаризации и аналогового моделирования на гидравлических и электрических аналоговых машинах. [c.111]

Аппроксимируя и <72 частными суммами ряда, получим линейные интегральные уравнения с вырожденными ядрами. Решение таких уравнений сводится к решению линейных алгебраических уравнений и может быть осуществлено, например, методом наискорейшего спуска или методом последовательных приближений. Точность полученного решения можно оценить с помощью известных формул теории линейных интегральных уравнений. Аналогичные уравнения получим для области 11 после замены на—Q и пределов интегрирования по на [—оо О ]. [c.293]

Наиболее широко используются возможности первого подхода для определения средних плотностей излучения по дискретным участкам (зонам) излучающей системы. Эта наиболее распространенная разновидность алгебраического приближения получила название зонального метода, согласно которому вся излучающая система делится на определенное число зон и в пределах каждой зоны радиационные свойства и плотности излучения либо осредняются, либо с известным допущением принимаются постоянными. С учетом такого деления и принятых допущений исходное интегральное уравнение радиационного теплообмена может быть аи- [c.220]

К сожалению, при интегрировании системы (13) автором был сделан ряд упрощающих допущений и оценок, некоторые из которых некорректны. Кроме того, окончательные соотношения представляют собой громоздкую систему алгебраических уравнений, для решения которой предлагается использовать метод последовательных приближений. [c.90]

Однако опыт решения таких задач показал, что даже при расчете конструктивно наиболее простого теплообменного аппарата типа труба в трубе пришлось бы решать систему трех трансцендентных алгебраических уравнений одним из методов последовательного приближения. При расчете теплообменных аппаратов более сложных конструкций (при большем числе независимых переменных параметров) решение системы значительно сложнее. [c.206]

В рассматриваемом случае расчет производится без каких-либо последовательных приближений, т. е. кратчайшим путем. Однако при этом допускается справедливость уравнения (VI,10). В случае, когда необходимо пользоваться точным уравнением теплового баланса, расчет также можно выполнять без применения последовательных приближений, но он связан с громоздкими алгебраическими преобразованиями. Более простым в этом случае может явиться вычисление расхода пара, концентрации и температур раствора по аппаратам методом последовательных приближений. Однако при этом последовательное приближение используется в минимальном объеме, так как расчет коэффициентов теплопередачи и поверхности нагрева производится без применения метода последовательных приближений. [c.135]

При решении системы линейных алгебраических уравнений в рядах, входящих в матрицу коэффициентов и в свободные-члены, удерживалось от 250 до 4500 членов в зависимости от значения ё. Система решалась методом последовательных приближений вычислялось от 100 до 500 значений неизвестных. [c.23]

Метод 163] приводит к алгоритму в виде бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго рода, свойства матричного оператора которой обеспечивают быструю сходимость приближенных методов отыскания амплитуд дифракционных спектров (методы последовательных приближений и редукции). В длинноволновой части диапазона (и <с 1) метод последовательных приближений приводит к простым выражениям [c.39]

Таким образом, граничная задача дифракции нестационарных упругих волн сведена к решению интегральных уравнений I или II рода. Эти уравнения могут быть решены численно, путем сведения к системе алгебраических уравнений или же методом последовательных приближений. [c.73]

Таким образом, записывая уравнения (80) для всех к точек контакта и заменяя входящие в них смещения соотношениями (83), с учетом уравнений равновесия (82) получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных давлений, кинематических перемещений и размеров зоны контакта. Эта система с учетом граничных условий задачи решается по методу последовательных приближений (для определения размеров действительной площадки контакта). [c.585]

На основе такой общей постановки проведено обобщение и уточнение теоретических методов расчета радиационного теплообмена. Изложены дифференциальные методы расчета теплообмена излучением дифференциально-разностное и диффузионное приближения, приближение радиационной теплопроводности, тензорное приближение и приближение Милна — Эддингтона. Далее на этой же о снове рассмотрены интегральные уравнения теплообмена излучением и методы алгебраического приближения. Рассмотренные теоретические методы проиллюстрированы решением ряда задач, имеющих практическое значение. [c.89]

Первый, так называемый классический подход в методах алгебраического приближения характеризуется тем, что алгебраической аппрокснмании подвергается непосредственно исходное интегральное уравнение радиационного теплообмена, составленное для любого вида плотностей излучения. Для определения средних по дискретным участкам излучающей системы плотностей излучения подобная аппроксимация, по-видимому, впервые была применена О. Е. Власовым [Л, 100] при решении частной задачи переноса излучения в каналах с адиабатическими стенками. В дальнейшем эта идея была развита и обобщена для произвольного числа серых диффузных поверхностей, разделенных диатермической средой, и для систем с поглощающей средой в работах Г. Л. Поляка [Л. 19, 93, 130]. [c.220]

Разольвентные методы, представляющие собой второй подход в методах алгебраического приближения, были предложены в [Л. 121, 143—146]. Другие модификации резольвентных методов разработаны в [Л. 136, 314], а также в [Л. 129]. [c.253]

Следовательно, и классический и резольвентный зональные методы определения средяих плотностей излучения дают одинаковый результат, если в классическом методе положить все коэффициенты распределения равными единице. Таким образом,. преимуществом классического зонального метода но сравнению с резольвентным является возможность учета термических и оптических неоднородностей по зонам излучающей системы. Резольвентные методы алгебраического приближения были рассмотрены на примере фундаментальной постановки задачи. Однако не представляет труда провести аналогичное рассмотрение п для других постановок. [c.265]

Кольцевой разветвленный участок представляет собой в. простейшем случае две параллельные трубы между узлами Л и б с одной или несколькими перемычками, соединяющими промежуточные сечения этих труб (рис. X—13). По перемычкам некоторое количество жидкости перетекает из одной трубы в другую. Направление по- а тока в перемычке опреде- — ляется величинами напоров в соединяемых перемычкой сечениях. Жидкость может подаваться в кольцевой разветвленный участок или отбираться из него через узлы Л и В смыкания участка е подводящей и отводящей трубами или через узлы К н В на концах перемычек. При аналитическом расчете трубопровода с кольцевыми участками применяют метод последовательных приближений. Например, если при заданных размерах труб кольцевого участка известны величины притока и отбора жидкости в узлах и требуется ( иределнть расходы в трубах, то в качестве первого приближения эти расходы задают удовлетворяющими условиям баланса расходов в узлах. Затем выбирают первое замкнутое кольцо разветвленного участка, н д.т.я всех входящих в него труб вычисляют потери напора. Расходы считаются заданными правильно, если алгебраическая сум.ма потерь напора в кольце равна нулю. В про-тпином случае следует повторять выкладки при измененных расходах в трубах [c.277]

Совместное решение полученных уравнений дает возможность определить положения механизма по заданной функции движения ведущих звеньев, причем в системы уравнений входят уравнения 1 и 2-й степеней относительно искомых параметров. Порядок системы уравнений зависит от сложности связей между звеньями, входящими в кинематические пары. Решение таких систем уравнений может быть осуществлено методами последовательных приближений и лишь для отдельных простейших пространственных механизмов (кривошипно-нолзунного, кривошипно-коромыслового четырехзвенных и некоторых разновидностей пятизвенных) могут быть разрешены в алгебраической форме в конечном виде. [c.83]

Теперь вернемся к анализу уравнения (2-12). Как видим, коэффициент интенсивности теплообмена Ка, экспоненциально зависит от произведения атР, являющегося безразмерной характеристикой интенсивности теплообмена. Обозначим Ща = атРт == = —1п(А т/А/о) = —1п i(a. Коэффициенты Ка и Kta могут быть использованы при расчете теплообменников в качестве определяемых чисел подобия, так как они соответствуют перечисленным выше требованиям. Однако в коэффициенты Ка и Kta входят все четыре температуры (начальные и конечные температуры жидкости и газа), что создает неудобство при производстве расчетов, так как пришлось бы наперед задаваться неизвестными температурами, а потом определять их методом последовательных приближений. Поэтому преобразуем уравнение интенсивности теплообмена, подставив вместо А т выражение для среднелогарифмического температурного напора, вычисленного, как для противотока. После алгебраических преобразований уравнение примет следующий вид [c.56]

Каждое из этих уравнений в прямой задаче теории гидродинамических решеток можно рассматривать как уравнение типа Фредгольма 2-го рода относительно неизвестной функции У (s). Это уравнение решается численно путем сведёния к системе линейных алгебраических уравнений или методом последовательных приближений, причем в каждой точке контура целесообразно использовать то из уравнений, в котором больше величина os а или sin а. [c.56]

Ю. п. Кочанов [21] проанализировал задачу для пластины с двумя продольными ребрами, расположенными на некотором расстоянии от кромок и нагруженными на участке длины равномерно распределенными касательными усилиями в случае подкрепленных поперечных кромок. Решение ищется в виде суммы двух тригонометрических рядов, одного по продольной и второго по поперечной координате. В итоге получается. бесконечная система уравнений для коэффициентов рядов, которая решается методом последовательных приближений. Несколько упрощенный подход к решению аналогичной задачи дан Ю. Н. Раскиным [3 4]. На первом этапе решения подкрепления на кромках считаются абсолютно жесткими. Разыскиваются напряжения в ребрах. Затем накладывается добавка напряжения в силу конечной жесткости ребер при условии, что эта Добавка не меняет характер распределения напряжений в ребре. Такой подход позволил обойти бесконечную систему, заменив ее системами конечного числа алгебраических уравнений. Как видно из приведенного выше обзора, задачам включения для пластин посвящено большое число публикаций. В данной главе из-за ограниченности объема обсуждены только основные заДачи и способы решения. Специалисты, более глубоко заинтересованные данной проблемой, могут воспользоваться перечнем литературы, приведенным, в конце главы. [c.128]

Отметим также раннее использование идеи продолжения решения по параметру нагрузки в статьях [200,201] для решения нелинейных алгебраических уравнений, порохщенных применением вариационных методов к нелинейным уравнениям теории оболочек. В [200] последовательнью нагружения сочетаются с экстраполяцией по параметру нагрузки, что является одной из возможных явных схем интегрщ)ования задачи Коши, по параметру. В работе [201] предлагается на каждом шаге получать решение методом последовательных приближений, что соответствует одной из возможных неявных схем интегрирования начальной задачи. Эти подходы обобщены в монографии [199]. [c.184]

Если учитывать конечную проводимость элементов решетки с помощью граничных условий Леонтовича, то, как и в случае идеально проводящих элементов, методы, развитые в [235, 25], позволяют свести задачу к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, свойства которой обеспечивают экспоненциально малую погрешность метода редукции, а для редкой решетки — сходимость метода последовательных приближений. Последний в длинноволновой области позволяет получить (е — относительная диэлектрическая проницаемость элементов решетки) [c.65]

Свойства дифрагированных полей для металлических брусьев, обладающих идеальной проводимостью (см. рис. 28, в), или диэлектрических брусьев (см. рис. 28, г) изучаются с помощью бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, полученных методом переразложения [25, 29, 43, 58, 66, 223, 244—247]. Для случая, когда ширина щелей между брусьями или ширина одного из диэлектрических брусьев мала, решение соответствующих бесконечных систем получается методом последовательных приближений [25, 66, 244, 246]. Когда параметры задач произвольны, анализ производится по численным решениям систем, полученным методом редукции. [c.88]

Различные задачи расчета такого и более сложных кольцевых трубопроводов обычно решают аналитически методом последовательных приближений или на ЭВМ с применением электроаналогий. При этом основываются ыа двух обязательных условиях, аналогичных требованиям к расчету электрических сетей. Первое условие баланс расходов, т. е. равенство притока и оттока жидкости для каждой узловой точки, что соответствует первому закону Кирхгофа в электротехнике. Второе условие— баланс напоров, т. е. равенство нулю алгебраической суммы потерь напора для каждого кольца (контура) при подсчете по направлению движения часовой стрелки или против нее, что соответствует второму закону Кирхгофа. Потери напора считаются положительными, если направление подсчета совпадает с направлением движения жидкости, и отрицательными, если направление подсчета противоположно движению жидкости. " [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...