Пример решение уравнения Ван-дер-Поля

С другой стороны, непосредственное рассмотрение гейзенберговских уравнений, базирующихся на лагранжиане (3), с такого рода трудностями не сталкивается. Соответствующие примеры, относящиеся к классической теории, хорошо известны ). В квантовой теории решение по теории возмущений оказывается всегда возможным, причем никаких нарушений релятивистской инвариантности при этом не происходит [4. В отдельных случаях можно найти и точные решения уравнений поля, которые также оказываются свободными от трудностей ). [c.112]

Аргументация этого утверждения станет очевидной ниже, когда мы займемся решениями уравнений поля, пока же можно только сослаться на пример 7.4, в котором мы видели, что групповая скорость обращается в с для Х = О, т. е. если само поле ф не входит в лагранжиан. [c.208]

Пример решение уравнения Ван-дер-Поля [c.218]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

При рассмотрении винтовой дислокации ( 9.2) мы встречались с примером сингулярного решения уравнений теории упругости, соответствующего особенности во всех зонах прямой — оси Хз. Аналогичным образом можно построить сингулярное решение уравнений теории упругости для плоского деформированного состояния, которому соответствует неоднозначное поле перемещений. Будем называть краевой дислокацией такую дислокацию, для которой вектор Бюргерса перпендикулярен оси дислокации. Это значит, что если принять ось Хз за линию дислокации, перемещение при обходе контура, окружающего ось Хз, получает приращение, равное Ь. [c.331]

Это обстоятельство хорошо иллюстрировать на примере задачи о движении тела в несжимаемой жидкости. Легко видеть, что подробно изученные раньше поля скоростей и давлений, возникающие при решениях задач о потенциальном обтекании тел несжимаемой жидкостью, являются также точными решениями уравнений Навье — Стокса. Это очевидно непосредственно, так как для потенциальных движений несжимаемой жидкости верны равенства [c.253]

Напомним, что в гл. 6 были приведены некоторые примеры использования уравнений движения Навье — Стокса при решении задач в случае параллельноструйного течения. Рассмотренные там установившиеся равномерные течения также обладают основными признаками ползущего движения, а именно в них отсутствуют ускорения и силы инерции, а действие вязкости проявляется во всем поле течения. Однако эти течения отличаются от ползущего движения, так как в рассмотренных случаях было вовсе не обязательно требовать, чтобы движение было очень медленным. Единственным требованием являлось то, чтобы поток оставался ламинарным. [c.174]

В качестве примера, в котором получается простое решение, рассмотрим полу-ограниченное твердое тело г>0, предположив, что в любой точке температура его поверхности равна температуре жидкости (например, случай очень большой величины Н в уравнении (3.1)). [c.390]

При больших значениях независимых переменных неизвестное поле можно представить в форме уходящей волны и получить решение в виде разности между полным полем волны и этим полем на бесконечности, амплитуда которого определяется в процессе решения. Для таких задач зависимая переменная и ее производные достаточно быстро убывают на бесконечности, в силу чего могут использоваться обычные фундаментальные решения уравнения Лапласа, т. е. In г в двумерном и i/r в трехмерном случаях. При другом подходе можно было бы использовать другие функции Грина, которые сами достаточно быстро убывают на бесконечности, что позволило бы положить равным нулю интеграл по замкнутой поверхности (см. [2], разд. 6.9). В качестве примера последнего подхода рассмотрим распространение двумерных периодических волн малой амплитуды в бесконечно глубоком океане. В этой линейной задаче выберем [c.26]

Пример. Рассмотрим решение уравнения Ван-дер-Поля методом фазовой плоскости. Уравнение Ван-дер-Поля имеет вид [c.26]

Плоские волны. Проиллюстрируем применение комплексных амплитуд для описания физических свойств поля на примере простейшего решения уравнений Максвелла — плоской волны в однородной безграничной среде. Поле [c.17]

Прежде чем приступать к общему исследованию конвективных возмущений проводящей жидкости в магнитном поле, мы рассмотрим простой пример — задачу о конвективной устойчивости жидкости в плоском Вертикальном слое при наличии поперечного магнитного поля П (магнитогидродинамическое обобщение задачи, рассмотренной в 12). Благодаря предельно простой геометрии в этом случае находится элементарное точное решение уравнений возмущений. Анализ этого решения позволяет отчетливо увидеть те новые черты явления, которые связаны с действием магнитного поля. [c.174]

В главе б будет рассмотрено уравнение Эрнста. Мы опишем его алгебру продолженных структур и порождаемые ею ПБ. Это будег сделано несколько более подробно, чем в случае других уравнений, о следующим причинам. Во-первых, уравнение Эрнста является достаточно важным уравнением математической физики, связанным с другими уравнениями теории поля, которое в то же время не часто встречается в общих контекстах, где рассматриваются одновременно различные примеры интегрируемых уравнений. Во-вторых, в последующем мы намереваемся рассмотреть связь между ПБ и другими методами генерации решений и, в первую очередь, с методом одевания, причем это рассмотрение предполагаем сделать именно на примере уравнения Эрнста, для которого эти методы хорошо разработаны. [c.9]

Приведем несколько простых примеров решения двумерных задач термоупругости. Начнем с наиболее простого примера, а именно нагревания полого цилиндра осесимметричным образом ). Для определения перемещения иг применим формулу Майзеля (42). Обозначим через V радиальное перемещение, вызванное действием единичной радиальной нагрузки, приложенной к цилиндрической поверхности р = г. Для определения этого перемещения нужно решить уравнение в перемещениях [c.507]

В качестве примера на решение уравнения (1) рассмотрим задачу Циолковского. Пусть ракета движется в отсутствие внешнего поля, скорость и отделяющихся частиц сгорающего топлива постоянна и направлена противоположно Уо — скорости тела в начальный момент времени. Найти скорость, которую приобретает тело за счет конечного изменения своей массы. [c.102]

Пример 5.2. Электрон движется в постоянном однородном магнитном поле В = (О, В, 0) и электрическом поле квадрупольного конденсатора, потенциал которого ср = — у ). Найти решение уравнений движения г(0) = (О, уо, 0), г(0) = (О, О, г о). [c.38]

Пример 14.4. Две частицы масс гп и Ш2 закреплены на концах стержня длины I массы т <С т, т . Эта система движется в однородном поле тяжести. Найдем решение уравнений движения и силы реакций. [c.113]

Пример 24.5 Неферромагнитный проводящий шар радиусом а движется по горизонтальной плоскости в постоянном однородном магнитном поле с индукцией В. Найдем решение уравнений движения в случае <5 > а, где (5 — глубина скин-слоя. [c.247]

Пример 30.7. Найдем приближенное решение уравнения Ван-дер-Поля [c.342]

Возникает следующая общая задача найти решение уравнения (1.32-1) для E.(t,r,) при определенных граничных условиях. Граничные условия задаются физическими предпосылками поставленной пробле мы, и им может быть дана математическая формулировка. В качестве примера разберем часто встречающийся случай. Пусть некоторая граничная поверхность диэлектрика заданным образом облучается снаружи. Тогда можно считать заданной зависимость напряженности электрического поля от времени. Если в результате решения уравнения (1.32-1) напряженность поля найдена как функция t и г., то Р. и У.Х( / ОР также определяются как функции / иг. по уравнению (1.3-4). Выражение V. X X (д д1)Р. следует рассматривать как неоднородный член в уравнении (1.32-2), тогда как остальные члены линейны по Н,. Определение решения Я. (/, г.) этого дифференциального уравнения приводит вместе с решением первого дифференциального уравнения к нахождению . X Я и вектора Пойнтинга 5 как функции координат и времени. Из изложенного следует, что определение E. t,r.) из уравнения (1.32-1) занимает центральное место во всей поставленной задаче. Ниже мы разъясним связанные с этим вопросы. , [c.91]

Постановкам универсальных решений уравнений движения ( 15—16) уделено значительное место в [11] и [13]. Приведены примеры радиальных колебаний цилиндрической трубки ( 18) и радиально-симметрических колебаний полой сферы ( 19). См. работы [c.504]

Конкретным примером может служить классическая задача Сен-Венана о кручении призматических стержней. Кинематические краевые условия в этой задаче состоят в том, что проекция поля скоростей в торцах на поперечное сечение стержня является полем вращения твердого тела, а на боковой поверхности поле скоростей может быть произвольным. При локальной постановке задачи указанных краевых условий па торцах совместно с условием отсутствия нагрузок на боковой поверхности стержня недостаточно для выделения единственного решения уравнений движения. К ним должно быть еще добавлено краевое условие на напряжения в торцах стержня. При формулировке этой же задачи с использованием принципа виртуальных мощностей не возникает необходимости в нахождении соответствующего условия на напряжения. [c.13]

Это означает, что изобарическое движение возможно только при некотором специальном начальном распределении скоростей. Уравнения (14) интегрируются их общее решение зависит от трех произвольных функций двух независимых переменных. Выделение класса изобарических решений уравнений газовой динамики полезно, такие решения часто встречаются при изучении других классов подмоделей. Примером служат решения с линейным полем скоростей и = с постоянной матрицей А. [c.88]

Обратно, в некоторых случаях (а именно, когда решения уравнения (1) продолжаются на всю ось времени) можно построить по данному векторному полю V фазовый поток, для которого V является полем фазовой скорости. Однако это не всегда так (пример — уравнение х=х ). В этом случае, как легко сосчитать, единственно возможный поток дается формулой g x=xf l—tx). Хотя g =g ° g , эта формула не задает фазового потока на аффинной прямой, а лишь на проективной, получаемой из оси х добавлением точки оо. [c.15]

В случае электромагнитной задачи [2, 55] из решений уравнений для Е, Н, соответствующих уравнениям переноса (2.5), следует, что в пулевом приближении поля Ео, Но удовлетворяют постулатам геометрической оптики, сформулированным в 1.1 (ф-лы 1.4), и являются поперечными полями (ортогональными лучу). Однако последующие приближения Е , Н), Ег, На 1г т. д. содержат и продольные компоненты (см. ниже пример лучевого разложения для сферической электромагнитной волны). [c.36]

Таким образом, задачи анализа электродинамических систем с потерями требуют решения уравнений Максвелла с комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями сред и граничными условиями (0.16) на металлических поверхностях. Однако, уравнения Максвелла и указанные граничные условия не всегда дают полную постановку задачи. Если рассматриваемое поле имеет так называемый контакт с бесконечностью (т. е. ставится задача для неограниченного объема), то необходимо сформулировать условия на бесконечности, позволяющие выделить единственное решение, соответствующее физическому смыслу исследуемой задачи. Простейший пример таких условий — широко известные условия излучения Зоммерфельда. Они относятся к среде без потерь, и часто их аналитическая форма неудобна для использования прямых численных методов. Поэтому мы используем другие (но в принципе эквивалентные) формулировки условий на бесконечности, в частности, парциальные условия излучения [35]. [c.26]

В качестве примера рассмотрим решение уравнении поля, лайденное Керром [125, 126], которое описывает метрику пространства — времени вне враи аюш,епся массы. В определенной асимптотически лоренцевой системе координат [c.344]

На макроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных—уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрадии частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве операторов F и У в уравнениях (4.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (4.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на микроуровне. Анализ таких моделей сводится к решению краевых задач математической физики. [c.146]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

В результате решения первой задачи определяют расположение и параметры вибровозбудителей, а также, если возбудителей несколько, — значения начальных фаз J,. .., а/ вынуждающих сил, развиваемых возбудителями и обеспечивающих требуемое поле колебаний упругой системы k — число вибровозбудителей). Примеры решения этой задачи в двух практически важных частных случаях приводятся в параграфах 2 и 3 настоящей главы. Задача о синтезе систем с синхронно работающими вибровозбудителями состоит в таком выборе свободных параметров системы, при котором определенные решением первой задачи начальные фазы j,. .., удовлетворяют основным уравнениям и соответствующим условиям устойчивости. Решение второй задачи в случае систем с механическими дебалансными возбудителями рассматривается в гл. XXXIX. [c.146]

Пример. Найтн приближенное поли гармоническое решение уравнения [c.164]

Следовательно, полученное распределение будет собственным решением уравнения (4.81а). Этот способ позволяет рассчитать также собственные значения и, следовательно, как было показано выше, дифракционные потери и резонансную частоту данной моды. Если первоначальное распределение поля представляет собой четную функцию величины I, то в конечном итоге мы получим четную моду, в то время как для нечетных мод первоначальное распределение поля должно быть нечетной функцией величины . В качестве примера на рис. 4.21 Приведены результаты, полученные для амплитуды поля U = U x/a,N) в случае, когда начальное распределение поля Ui выбрано однородным и симметричным (т. е. Ui = onst). При N = 6,25, чтобы достичь стационарного решения, необходимо приблизительно 200 проходов, как показано на рис. 4.22. Аналогично антисимметричная мода низшего порядка получается в том случае, когда первоначальное распределение выбирается однородным и антисимметричным (т. е. = 1 при 0[c.194]

Рассмотренные в предыдущих двух главах движения вязкой жидкости относились к числу ламинарных движений. Траектории частиц, линии тока, поля скоростей и давлений в этих движениях имели совершенно определенный, регулярный характер. Выражением этой регулярности ламинарного движения служил тот факт, что общая картина наблюдающихся в действительности ламинарных движений и многие их детали достаточно хорошо описывались решениями уравнений Стокса при соответствующих, также регулярных , начальных и граничных условиях. Можно, например, вспомнить пуазейлево движение вязкой жидкости по круглой трубе, соответствие теоретически рассчитанных характеристик которого (парабола скоростей, формулы расхода и сопротивления) опытным данным уже давно блестяще подтверждено. То же относится к многочисленным другим примерам ламинарных движений вязкой жидкости движению смазки в узких зазорах между валом и цапфой подшипника, вполне удовлетворительно описываемому гидродинамической теорией смазки подшипников, движениям в ламинарных пограничных слоях, с достаточной точностью рассчитываемым по теории, изложенной в предыдущей главе, и др. [c.522]

Рассмотрим влияние поверхностного эффекта на примере протекания переменного тока по шине прямоугольного сечения. При достаточно больших размерах шины ее можно рассматривать как полуограниченное металлическое тело с плоской поверхностью (полубесконечность), на которую падает плоская электромагнитная волна. Падающая волна частью отражается от поверхности проводящей среды, частью проникает в эту среду и поглощается в ней. Примем дополнительно, что магнитная проницаемость и удельное электрическое сопротивление р проводящей среды постоянны во всем исследуемом объеме. Значения комплексных амплитуд напряженности магнитного Н,п и электрического Ет полей для волны, прошедшей через плоскую поверхность полубесконечной среды, получены на основании решения уравнений Максвелла (3) и (4) при условии, что Н я Е — синусоидальные функции времени [22, 351 [c.6]

Если система не находится во внешнем поле, то все моменты времени для такой системы равноправны так же, как и все направления пространства. В классической и квантовой механике из этого обстоятельства вытекает закон сохранения энергии. Кроме того, в классической механике уравнения движения инвариантны по отношению к замене t— 1. Пусть, например, мы имеем решение уравнений Ньютона, описывающих движение системы материальных точек. В момент времени Ь — Ьу радиусы-векторы точек и их скорости равны ( ), 1 ) и по истечении некоторого промежутка времени = а — в момент эти величины принимают значения ( 2), Vi (t . Инвариантность уравнений по отношению к замене t— I означает, что существует также решение, характеризующееся тем, что радиусы-векторы и скорости материальных точек, равные r lt2), — переходят за тот же произвольно выбранный промежуток времени в Такой симметрией обладают не все системы. Примером может Jfyжить система заряженных частиц в магнитном поле. В этом случае, как известно (см., например, [И]), в операцию обращения времени необходимо включить изменение направления магнитного поля на противоположное. Если же этого не сделать, то для системы обратимости во времени не существует. Поскольку классическая механика является предельным случаем квантовой механики, то следует ожидать, что обратимость во времени найдет свое [c.118]

Отметим, что любое решение системы уравнений (1 14) (1-17) обязательно удовлетворяет волновым уравнениям (1.20), (1,21), но обратное утверждение неверно, т. е, не всякое решение волноных уравнений дает электромагнитное поле, которое может существовать. Поясним ато на простом примере. Волновое уравнение всегда имеет тривиальное нулевое решение, поэтому волновые уравнения допускают, например, решение в виде бегущей волны электрического поля без магнитного поля. Уравнения Максвелла такого решения не допускают. [c.15]

Известны решения задачи прокатки полосы методом характеристик при максимальном трении на границе контакта валка с полосой, которые моделируют стационарный процесс горячей прокатки. Неизвестная форма жесткопластических границ и криволинейность контактной поверхности врагцаюгцегося валка приводят к значительным математическим трудностям. Первый пример решения был получен весьма трудоемким методом проб и ошибок графическим построением полей характеристик и годографа [7]. Позднее задача горячей прокатки полосы решалась в плоскости характеристик методом линейных интегральных уравнений [4, 5, 8, 9] и приближенным линейным матричным операторным методом [10, 11] с последуюгцим определением условий прокатки, соответствуюш их параметрам принятого поля характеристик. [c.250]

Пример 30.6. Применим изложенный метод к решению уравнения (30.18), полагая в (30.20), (30.21) = с = 1 ех = у — х, у = ж. Исключая t, запишем уравнение интегральной кривой (ж — y) dy/dx) = ех. При -С 1 для всех точек (ж, у), исключая точки, близкие к кривой у = = ж, поле направлений горизонтально. Следовательно, интегральная кривая, идущая из произвольной точки, удаленной от кргаой у = х, должна представлять почти горизонтальную линию, которая по мере приближения к этой кривой изгибается и совпадает с ней (рис. 30.1 б). [c.339]

Количество устанавливаемых термопар зависит от конструкции детали и возможности соединения термопар с регистрирующими приборами, последнее особенно важно для термопар, устанавливаемых в подвижные детали двигателя, такие как поршень и клапаны. Очень часто размеры токопередающего устройства ограничивают число термопар и получить температурное поле детали бывает трудно. Поэтому экспериментально определяют температуру только в характерных точках детали, а затем аналитическим путем, основываясь на решении уравнений теплопроводности и экспериментальных значениях температур, рассчитывают температуры в других точках детали. Могут быть случаи, когда из-за сложной конструкции детали получить температурное поле не удается не только экспериментальным путем, но и расчетным, тогда ограничиваются распределением температур по отдельны.м сторонам илп сечениям детали. Примером может быть головка цилиндра тракторного дизеля с воздушным охлаждением. [c.270]

Так же, как в этом простейшем примере, правые части уравнений Гамильтона задают векторное поле в каждой точке р, q) фазового пространства приложен 2п-мерный вектор (—dHIdq, дН1др). Предположим, что каждое решение уравнений Гамильтона можно продолжить на всю ось времени ). [c.65]

Вообще говоря, решение уравнения е((о, )=0 является комплексным, т. е (o = Re(0+1 Imto. Если lni(o<0, то поле (3.51) затухает со временем (выше мы рассматривали затухание Ландау как один из таких примеров). Если же lmto>>0, то напряженность электрического поля (3.51) возрастает со временем, т. е. плазма неустойчива по отношению к такому процессу. В этом случае величину Imto называют коэффициентом неустойчивости. Конечно, рост поля Е в действительности ограничивается нелинейными эффектами. [c.59]

Хотя решения с локальными рециркуляционными зонами построены численно для целого ряда задач трехпалубной асимптотической теории свободного взаимодействия [85, 86, 91], существование стационарных решений при увеличении параметра подобия, характеризующего интенсивность вызывающего отрыв внешнего возмущения, подвергается сомнению [85, 262]. Отличительное свойство приводимого ниже асимптотического решения уравнений Навье-Стокса с замкнутой срывной областью состоит в том, что оно распадается на стационарную часть внизу по потоку (в окрестности присоединения) и на нестационарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку. Структура возмущенного поля течения дает содержательный пример, когда известные ранее решения локальных задач с эффектом взаимодействия [255, 209, 256] непрерывно переходят друг в друга, являясь составными элементами полного решения. [c.39]

Этот метод с успехом используется также для асимптотического решения обыкновенных дифференциальных уравнений [420, 443]. Рассмотрим в качестве примера звуковое поле волны с гармонической зависимостью exp(if oiJt) от горизонтальных координат в окрестности точки поворота в слоистой среде. Эта задача с других позиций рассматривалась в п. 9.2. Решение будем искать в виде (17.20). Заметим только, что, если отказаться от требования ограниченностир во всем пространстве, функцию и в (17.20) можно заменить на обшее решение уравнения Эйри a v + а и (см. п. 3.5). Эта замена не сказьшается на справедливости соотношений (17.25)- [c.373]

Решение уравнений (2.5.2) с условиями (2.5.3) приводит к характеристическому уравнению для резонансной частоты и позволяет определить собственные поля. Мы не будем, однако, проводить этот громоздкий анализ в общем виде, а проиллюстрируем физическую сущность имеющихся здесь эффектов на частном примере. Рассмотрим колебания типа Нопр при условии й = а. Пред-. положим, что [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...