Пример. Уравнение Ван дер Поля

Пример. Уравнение Ван дер Поля. Простейшим примером системы, совершающей релаксационные колебания, является система Ван дер Поля [c.166]

Пример. Уравнение ван дер Поля с малым периодическим возбуждением и малым трением можно записать в виде [13 [c.415]

Важно отметить, что условия периодичности можно удовлетворить иным способом. Разъясним это на примере уравнения Ван-дер-Поля. Вместо вычисления интегралов (7.16) заново рассмотрим уравнение для Х,(х). Имеем [c.171]

Поясним обозначения на примере уравнения Ван-дер-Поля [c.235]

Значительно более важный пример доставляет уравнение Ван-дер-Поля [c.394]

Пример. Рассмотрим обобщенное уравнение Ван дер Поля [c.77]

Пример. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля [c.87]

Пример. Рассмотрим решение уравнения Ван-дер-Поля методом фазовой плоскости. Уравнение Ван-дер-Поля имеет вид [c.26]

Простейшим математическим примером автоколебательной системы является уравнение Ван-дер-Поля [c.201]

Пример 19.3. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля [c.170]

Пример 30.7. Найдем приближенное решение уравнения Ван-дер-Поля [c.342]

Мы не можем рассчитывать получить элементарные выражения для решений или интегралов в случае произвольной динамической систе-мы. Вследствие этого даже очень простые по виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специальных приемов. Примером этому может служить уравнение Ван-дер-Поля [c.35]

Пример 4. Уравнением. Ван-дер-Поля называется уравнение [c.163]

Уравнения такого вида будут выведены в разд. 3.3 и 3.4 здесь же в качестве примера приведем уравнение Ван дер Поля [c.113]

В разд. 3.2 в качестве характерного примера уравнения автоколебательной системы неоднократно упоминалось уравнение Ван дер Поля (3.3). Теперь мы покажем, какой физический процесс описывается этим уравнением, и в качестве примера рассмотрим схему лампового генератора (рис. 97). В этом генераторе имеется кон- [c.129]

В качестве классического примера дифференциального уравнения автоколебательной системы в разд. 3.3.2 было приведено уравнение Ван дер Поля, которое описывало поведение лампового генератора. Теперь рассмотрим, какие явления следует ожидать, если на генератор дополнительно воздействует внешнее периодическое возмущение. Для этого дополним уравнение Ван дер Поля (3.55) членом, соответствующим гармоническому возмущению [c.249]

Пример 1.2. При исследовании уравнения Ван-дер-Поля возникает вспомогательная нелинейная система [113, с. 345] [c.15]

В качестве примера рассмотрим уравнение Ван дер Поля (13.30) [c.225]

Для примера можно привести построение изоклин и фазовой траектории по уравнению Ван дер Поля [25] [c.149]

В качестве второго примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля [1922] [c.11]

Пример 6. Уравнение Ван-дер-Поля [c.440]

Большей частью автоколебания возникают в системах с нелинейным сопротивлением, изменения которого, в зависимости от положения и скорости колеблющейся системы, происходят по особому характерному именно для автоколебаний закону. Примером такого рода изменений сопротивления может служить система, описываемая уравнением Ван-дер-Поля [c.499]

Пример б. Составить уравнения установления и выяснить устойчивость предельных циклов уравнения Ван-дер-Поля [c.515]

Рассмотрим два примера динамических систем, фазовые портреты которых содержат устойчивые предельные циклы, и, стало быть, эти системы являются автоколебательными. В первом примере рассматривается уравнение Ван-дер-Поля, которым отображается (при соответствующих идеализациях) динамика лампового генератора и рада других автоколебательных систем [3], во втором - динамическая система, к которой приводится задача о синхронизации лампового генератора при ее решении методом Ван-дер-Поля [8]. [c.91]

Пример 1. Уравнение Ван-дер-Поля. Ранее, в 2.11, для уравнения Ван-дер-Поля было доказано существование устойчивого предельного цикла при любом положительном значении ц. Здесь мы рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля [c.171]

Пример решение уравнения Ван-дер-Поля [c.218]

Пример. Уравнение медленного движения системы Ван-дер Поля [c.169]

Примерами хаотизации движений осциллятора внешними периодическими возмущениями могут быть хаотические движения в уравнении Дуффинга и осцилляторе Ван-дер-Поля. Пример хаотизации периодическим параметрическим воздействием был указан выше (уравнение (1.23)). Был приведен и пример хаотизации при инерционном изменении параметра (уравнения Лоренца). Более подробное рассмотрение этих примеров и многих других будет дано позднее — в гл. 7 и 9. [c.22]

Рассмотрим для примера уравнение типа Ван дер Поля 3-го порядка [c.258]

Пример 20.1. Осциллятор Ван-дер-Поля. Вернемся к уравнению [c.187]

Пример 30.5. Осциллятор Ван-дер-Поля описывается уравнением (30.8 а) с правой частью /(ж, х) = 7(1 — х /с )х (см. примеры 19.3, 20.1). В этом случае коэффициенты разложения (30.15) [c.336]

Типичным примером, иллюстрирующим применение метода изоклин, может служить произведенное Ван-дер-Полем [188, 189] исследование фазовой плоскости уравнения [c.385]

Замечание. В системах, где нелинейности - полиномы относительно X и X, можно определять параметры периодического решения непосредственной подстановкой х = Лд + y4sin o/ в исходное уравнение. Покажем это на примере уравнения Ван-дер-Поля. Подставив (12.4) в (12.2), получим [c.241]

Рассмотрим в качестве примера применение метода Льенара при изучении автоколебаний в системе, описываемой уравнением Ван-дер-Поля [c.50]

В заключение заметим, что уравнения Ван-дер-Поля, Дюф- финга и Матье с самых различных сторон изучались многими другими математиками [63—69]. Мы нге на этих конкретных примерах лишь продемонстрировали достаточно хорошую эффективность преобразования Крылова — Боголюбова. [c.76]

Пример 1. Доказательство существования устойяивого предельного цикла для уравнения Ван-дер-Поля [28]. Это уравнение имеет ввд [c.91]

Рождение предельного цикла из замкнутой неизолированной трае тории консервативной системы. Математическая теория бифуркаций тако типа изложена в 33 монографии [5]. Здесь мы ограничимся толь указанием на уравнение Ван-дер-Поля как на характерный пример систем в которой эта бифуркация происходит. Действительно, при ц = 0 э уравнение имеет вид X + л = О фазовый портрет - континуум замкнут неизолированных траекторий-окружностей, охватывающих начало коор нат плоскости X, X. При переходе от 1 = 0 к неизолирован траектории исчезают, но рождается, как это было показано в 2.1 изолированная замкнутая траектория - предельный цикл (устойчивый и неустойчивый в зависимости от знака параметра ц). [c.110]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Метод Ван-дер-Поля позволяет не тЪлько находить периодические движения, но и определять процесс установления колебаний. Рассмотрим этот вопрос на примере маятника оуда. Укороченные уравнения имеют вид [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...