Сеточные аппроксимации

Метод неопределенных ког)ффициентов. Общим способом построения сеточных аппроксимаций является метод неопределенных коэффициентов. Изложим основную идею этого метода для линейного уравнения [c.82]

Сеточные аппроксимации уравнений одномерного нестационарного движения газа [c.95]

Общая идея метода дробных шагов, проиллюстрированная на приведенном выше примере, заключается в том, чтобы оператор перехода от п к 4-1 приближенно представить как произведение более простых операторов, реализуемых на вспомогательных промежуточных переходах. Эта идея позволяет создавать экономичные сеточные аппроксимации. Вместе с тем необходимо отметить, что фактическая проверка близости сеточной схемы и дифференциального уравнения может вызывать [c.136]

Определив решение при t=r в соответствии с уравнением (6.5), подвергнем его сглаживанию, примем полученную таким образом функцию за начальную, сделаем в соответствии с уравнением (6.5) еще один шаг по времени, снова произведем сглаживание и т. д. Управляя сглаживанием с помощью параметра е, можно получить приблизительное равновесие между увеличением крутизны профиля в силу внутренних свойств уравнения (6.5) и сглаживанием, действующим в противоположном направлении. При этом ударная волна заменится непрерывной размытой волной, что даст возможность использовать сеточные аппроксимации. [c.156]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Для наиболее строгой обработки данных СП используют вариант лучевого метода, основанный на сеточной аппроксимации среды [14]-причем интерпретацию ведут на основе решения прямой задачи в двУ мерном варианте. Поле скоростей задается в узлах прямоугольной сетки, покрывающей изучаемый разрез. При достаточно малом размера элементарной ячейки можно аппроксимировать среду с любым распре делением скоростей и включениями произвольной формы. [c.106]

Поскольку трудоемкость математического моделирования существенно зависит от количества расчетных узлов сеточной схемы, то важна оптимальная разбивка сеточной схемы, определяемая топологией сетки и размерами шагов сетки. Приведем некоторые рекомендации по этому вопросу. Размеры шага сетки определяются главным образом расстояниями между внутренними границами потока (водотоками, зонами с различной проводимостью) и аппроксимацией внешних границ потока. Обычно принимается, что между внутренними границами потока следует располагать не менее двух-трех узлов (блоков), а соотношение шагов, по различным направлениям (Ах/Дг/ или Ау/Ах) не должно быть более чем 54-7. Дробность разбивки в значительной мере обусловливается также сеточной аппроксимацией внешних границ области потока, на которых задаются граничные условия первого, второго и третьего родов [7, 12, [c.152]

При создании электрических моделей применяют два способа. В первом из них электрическая модель в определенном масщтабе воспроизводит геометрию исследуемой системы и изготавливается из материала с непрерывной проводимостью (электропроводная бумага, фольга, электролит и т. д.) — это модели с непрерывными параметрами процесса. Во втором способе исследуемые системы заменяют моделирующими электрическими цепями [сетками омических сопротивлений ( -сетки) и сетками омических сопротивлений и емкостей ( С-сетки) ] — это модели с сосредоточенными параметрами. Принцип действия сеточных моделей основан на воспроизведении с помощью электрических схем конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс. [c.75]

В правой части равенства (7.26) указан порядок аппроксимации исходного уравнения членами порядка и выше, естественно, можно пренебречь. В соотношении (7.26) участвуют значения функции из трех временных слоев (соответствующий элемент расчетной сетки или сеточный шаблон показан на рис. 7.2, а). Из соотношения (7.26) можно получить [c.237]

Прежде чем сформулировать соответствующее определение, введем ряд обозначений. Пусть R(u)=0 — вся совокупность уравнений, входящих в краевую задачу, т. е. основное дифференциальное уравнение и краевые условия. Уравнения сеточной краевой задачи запишем в аналогичном в иде Rh(Uh)=0. Погрешностью аппроксимации схемы на точном решении называется сеточная функция ah = Rh u), возникающая при подстановке точного решения краевой задачи в уравнение схемы. [c.76]

Понятие устойчивости. Разностная схема называется сходящейся, если при /г- -О сеточное решение стремится к точному Uh- u. Если U—Uh=0(hp), то порядок сходимости равен р. Схемы, обладающие свойством аппроксимации, могут быть ие-сходящимися. Приведем пример такой схемы. Для уравнения [c.83]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Таким образом, аппроксимация имеет здесь место (по меньшей мере) в следующем смысле при переходе от к п+1 решение специального вида для сеточных уравнений изменяется с точностью до малых более высокого порядка, чем т, так же как и соответствующее решение дифференциального уравнения [c.136]

Таким образом, с точностью до членов высших порядков сеточное уравнение (6.24) можно рассматривать как аппроксимацию уравнения второго порядка [c.160]

Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Основным требованием к разностной схеме является стремление сеточной функции разностного решения к сеточной функции точного решения Т/ при стремлении к нулю шагов по пространственной и временной координатам. Погрешность различна в разных узлах пространственно-временной сетки. Для того чтобы охарактеризовать погрешность во всей области вводят одно число, которое называют нормой по- [c.74]

Аппроксимация центральной разностью имеет более высокий порядок, ее мы и будем использовать ниже. Вводя сеточные функции Un и Х = X (л ), заданные на равномерной сетке х - (п — 1) h, получим [c.85]

Мы рассмотрели построение разностной схемы методом баланса для стационарного уравнения. Его целесообразно применять и для нестационарного уравнения. В принципе вопрос о том, на каком временном слое брать аппроксимацию пространственного оператора, мы уже обсудили в 3.2. Поэтому для перехода к нестационарной задаче достаточно в приведенных выше аппроксимациях пространственного оператора поставить у сеточных функций индекс настоящего / или предыдущего (/ — 1) момента времени. Однако для уравнений, содержащих коэффициенты, зависящие от времени, целесообразно использовать метод баланса в нестационарном варианте. Кроме того, на основе такого подхода проще получать аппроксимации для граничных условий и пояснять их физический смысл. [c.91]

Из формулы (5.9) и рис. 5.2 следует, что при больших сеточных числах Пекле, которые соответствуют большим скоростям течения V, целесообразно считать, что через левую границу элементарного объема протекает жидкость с температурой предшествующего объема У ], а через правую — жидкость с температурой и данного элементарного объема. Сформулированному требованию как раз и удовлетворяет третья аппроксимация вида (5.8). Из приведенных соображений следует, что эта аппроксимация должна хорошо работать при больших скоростях течения. [c.159]

Для построения разностной схемы введем равномерную пространственную сетку (п — i) h, п N, h = I N — 1) (рис. 5.8). В узлах сетки будем искать две сеточные функции / и и , соответствующие приближенным значениям температур стенки Т х-(х,,) и жидкости Ту (л ,,). Разностная аппроксимация для уравнения вида (5.36) и граничных условий (5.38) подробно рассматривалась в 3.3. При аппроксимации уравнения (5.37) заменим производную разностью против потока . В результате получим следующую разностную схему [c.170]

Поскольку ошибки, возникающие в результате конечно-разностной аппроксимации, зачастую достигают того же порядка, а задание граничных условий тоже происходит с невысокой точностью (из-за отсутствия достоверных о них сведений), можно считать, что даже погрешность моделей — сплошных сред, не говоря уже о погрешности сеточных моделей, оказывается вполне допустимой для большинства инженерных расчетов. [c.35]

Итак, создание математических моделей процессов пластической деформации металлов и сплавов, включение их в соответствующие пакеты прикладных программ предусматривают глубокое изучение и практическое использование математического аппарата линейной алгебры, теории отображений, проекционно-сеточных методов, теории аппроксимаций. Необходимо также уметь записывать основные зависимости механики деформируемого твердого тела, в матричной форме, наиболее удобной для постановки и решения краевых задач с применением ЭВМ. [c.14]

Высокие градиенты скорости (сеточная аппроксимация резко контрастных границ) могут породить головные, рефрагированные и рассеянные волны. Эти волны моделируются имитацией обратного распространения в сторону источника с использованием в точности той же схемы, что и для прямого распространения (удаления от истинного источника). После каждого очередного шага такого прямого и обратного распространения определяются времена в целевых точках. Для 2D случая нужно сделать выбор из 16 потенциальных кандидатов , рис. 2.7 четырех времен для граничных точек (точки а на рис. 2.7), четырех времен локальных дифрагированных вступлений (точки Ь), и восьми интерполированных времен (точки с). Очевидно, что время Ферма определяется условием [c.27]

Рис. 50. Решение прямой задачи сейсмического просвечивания для слоя повышенной скорости методом сеточной аппроксимации среды [14] а - интерполяция скорости между узлами сетки, б-лучи и изохроны для шага по углу выхода из источника 10° 7-лучи (шифр кривых-время пробега волны вдоль луча, с), 2-изохроны. 5-узлы сетки для слоя с v = 4 км/с, -то же, для вмещаюшей среды с v = 2 км/с, 5-кривая, интерполирующая слой высокой скорости

Подбор наиболее подходящей модели межскважинного массива, исходя из решения прямой задачи на ЭВМ методом сеточной аппроксимации среды [14]. В этом случае лучи имеют произвольную траекторию, но используются только первые вступления проходящих (рефрагированных) волн. [c.126]

Чем большее количество узлов сетки берется при решении конкретной задачи, тем на лучшую аппроксимацию непрерывного решения сеточными функциями можно надеяться. Но количество узлов сетки органичивается быстродействием и памятью ЭВМ что заставляет использовать сетки с относительно небольшим числом узлов. [c.269]

Рассмотрим теперь неявную аппроксимацию (5.30), (5.31), построенную по методу дробных шагов. Выражение (5.32) для модуля перехода показывает, что скорость затухания возмущений во всем спектре частот o)i, 0)2 может быть сколь угодно большой при достаточно большом т. Однако с увеличением т возрастают и погрешности аппроксимации, связанные с представлением оператора перехода от п к п+ в виде произведения операторов, соответствующих полушагам . В предельном случае (t= 00) получаем два слоя ( целый и полуцелый ), не имеющие ничего общего с искомым решением и не похожие друг на друга. Возникает естественная идея варьирования t сначала, когда преобладают возмущения, связанные с ошибками начального слоя, гасить эти возмущения быстрее, а затем, когда начинают все бо Еьшую роль играть погрешности аппроксимации, постепенно уменьшать г. На основе идей такого рода построены эффективные алгоритмы для решения стационарных сеточных краевых задач. [c.137]

Одним из рещавщихся методических вопросов был выбор расчетной схемы. По-видимому, для учебных задач еще в большей степени, чем для научных расчетов, справедливо высказывание Цель расчетов — не числа, а понимание . Поэтому основным требованием к расчетной схеме было получение разумных, качественно правильных, результатов при счете на грубых сетках и с большими шагами по времени, что связано с ограниченным объемом памяти и небольшим быстродействием микро-ЭВМ. Следует отметить две особенности разработанной программы приведение граничных условий 1-го и 2-го рода к эквивалентным условиям 3-го рода, что обеспечило определенную универсальность программы, и модификацию конечно-разностной аппроксимации граничных условий, позволившую избежать осложнений при счете с большими сеточными числами Био. [c.203]

Невязка il /, которая возникает при подстановке сеточной функции точного решения в уравнение для разностного решения, называется погреимостью аппроксимации исходного диф ренциального [c.75]

В сложных контурах моделируемой области возникает погрешность аиироксимации за счет замены плавного контура ступенчатым. Для уменьшения погрешности аппроксимации в этом случае применяют уменьшенный шаг по координатам с тем, чтобы сеточный контур наиболее точно отражал действительный контур области. Увеличение числа электрических ячеек на границах контура уменьшает погрешность аппроксимации. [c.359]

Држложение. Опишем методику аппроксимации с повышенной точностью уравнений типа (I.I). Будем пользоваться обозначениями 9 У. На сеточном шаблоне (х,+ h, построим для урявнения [c.174]

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студен тов, специализирующихся по обработке металлов давлением. В его основу положены лекции и практикум по курсу Механика" сплошных сред , входящие в учебный цикл, организованный автором в Московском институте стали и сплавов в 1965 г. В отличие от учебника Г. Я. Гуна Теоретические основы обработки металлов давлением ( Металлургия , 1980) в учебном пособии принята ориентация на изложение методов практической реализации алгоритмов на ЭВМ. Это привело к необходимости использования матричной формы изложения механики сплошных сред, подробного изучения матриц и систем линейных алгебраических уравнений. В качестве основного вычислительного метода принят проёкционно еточный метод. В сочетании с локальными и глобальными отображениями и аппроксимациями пррекционно-сеточные методы составляют основу математического моделирования неизотермического пластического течения металлов. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...