Сеточное уравнение

Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и краевые условия заменяют (аппроксимируют) сеточными уравнениями, связывающими значения искомой функции в узлах сетки. Сеточные уравнения, так же как и сама сетка, зависят от шага h как от параметра. Эту совокупность сеточных задач называют разностной схемой. [c.75]

Совокупность узлов, используемых в сеточном уравнении, называют шаблоном. Шаблон для уравнения (3.3) изображен на рис. 3.2, а. [c.76]

Исследование устойчивости. Метод гармоник (метод Фурье). Дать строгое обоснование корректности сеточных краевых задач удается не часто. Исследования такого рода составляют скорее исключение, чем правило. Объясняется это рядом причин. В условиях практической расчетной работы задачу приходится упрощать. Если исходная сеточная задача нелинейная, то прежде всего производят линеаризацию, т. е. рассматривают малые возмущения решения и, отбрасывая малые величины высших порядков, получают линейную краевую задачу для малых возмущений. После линеаризации получают линейную краевую задачу (сеточную), обычно с переменными коэффициентами. На этом уровне иногда удается исследовать ее корректность, но, как правило, переходят к уравнениям с постоянными коэффициентами, используя при этом принцип замораживания коэффициентов. Согласно этому принципу, коэффициенты сеточных уравнений заменяют значениями, которые они принимают в произвольной, но фиксированной точке Ро, принадлежащей расчетной области. При этом, вообще говоря, требуется рассматривать всю совокупность уравнений, возникающую при произвольном выборе точки Ро- [c.85]

Решение сеточных уравнений [c.92]

Таким образом, аппроксимация имеет здесь место (по меньшей мере) в следующем смысле при переходе от к п+1 решение специального вида для сеточных уравнений изменяется с точностью до малых более высокого порядка, чем т, так же как и соответствующее решение дифференциального уравнения [c.136]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Для построения дивергентных схем можно использовать интегральные соотношения (законы сохранения). Интегральные соотношения записываются по контуру, составляемому из отрезков, которые соединяют узлы сетки. Аппроксимируя интегралы но отрезкам с помощью тех или иных квадратурных формул, получаем сеточные уравнения. Подбирая соответствующим образом схемы и параметры, управляющие диссипацией, удается сократить ширину переходной зоны до 3—5 расчетных интервалов при достаточно высокой точности расчета (погрешность порядка 1%). [c.159]

Таким образом, с точностью до членов высших порядков сеточное уравнение (6.24) можно рассматривать как аппроксимацию уравнения второго порядка [c.160]

Уравнение (2.224) называется сеточным уравнением. Оно устанавливает связь между искомой температурой в точке п и температурами в предыдущий расчетному интервал времени к в соседних узлах сетки (и — 1) и (п -Ь 1). При этом предполагается, что распределение температур между точками (п - 1), п н (п + 1) является линейным. Чтобы решение было устойчивым, выбор значений Ат и Ах не может быть независимым, а должен подчиняться условию [c.166]

Уравнение (2-3) является простейшим из всех известных сеточных уравнений, соответствующих уравнению теплопроводности (2-1). В более общем случае сеточного уравнения имеем [c.37]

Расчетные зависимости (2-130) и (2-131) являются неявными сеточными уравнениями. [c.103]

Таким образом, неявные сеточные уравнения имеют менее сильное ограничение в отношении устойчивости, чем соответствующие уравнения в явном методе расчета. [c.105]

Докажем указанное положение. С этой целью сеточное уравнение в общем случае представим в виде [c.107]

Шаблоны сеточных уравнений 190 [c.287]

В некотором смысле аналогом преобразования Лапласа для сеточных уравнений может служить Z-преобразование, рассмотренное в приложении III (или -преобразование [75]). [c.320]

Заменяя дифференциальные операторы их разностными аналогами, переходим от системы дифференциальных уравнений к системе сеточных уравнений вида [c.213]

Результирующая совместная система сеточных уравнений имеет [c.214]

При постоянном шаге интегрирования по л и постоянных коэффициентах уравнения (8.1) уравнение (8.6) превращается в известное сеточное уравнение с коэффициентом а к производной d Tfdx , В более сложных случаях, в том числе для нелинейных задач теплопроводности, уравнение (8.6) отличается тем преимуществом по сравнению с известными сеточными уравнениями, что оно применимо к сопряженным задачам (многослойным системам) без каких-либо преобразований. [c.194]

Программа дисциплины Гидравлика (техническая механика жидкости и газа) предусматривает изучение численных методов и ик реализацию на ЭВМ применительно к решению уравнений Навье-Стокеа в конечно-разностной форме. Для учебных, а в ряде случаев и для научных целей наиболее целесообразно использование декартовой системы координат и физических неременных компонент скоростей и давления. В исследуемой области изменения независимых переменных вводятся сетка - дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки Дифференциальные уравнения с соответствующими краевыми условиями заменяются приближенными сеточными уравнениями, связывающими значения искомых функций в узлах сетки При этом формируется система алгебраических уравнений, которую можно решать тем или иным способом на ЭВМ. [c.92]

Рис. 5.15. Шаблоны сеточных уравнений вариацнонно-разностного метода расчета оболочек с ребрами, параллельными контуру,

Рис. 5.16. Шаблоны сеточных уравнений вариационно-разностного метода расчета неоднородных анизотропных оболочек (в том числе ребристых). а) дЭ/дищ = 0 б) ddjdwii — 0.

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...