Весовые функции

Рассмотрим теперь интеграл с весом от тензорной функции J по некоторому промежутку времени от некоторого фиксированного нижнего предела (зачастую в качестве будет выбираться —оо) до момента наблюдения t. Если / (т) — скалярная весовая функция, то [c.105]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Поскольку как С , так и (С )" появляются в подынтегральном выражении уравнения (6-3.25), ясно (см. обсуждение, следующее за уравнением (6-3.5)), что при помощи уравнений такого типа возможно при подходящем выборе весовых функций предсказать все возможные отношения разностей первых и вторых нормальных напряжений в вискозиметрическом течении. Пример уравнения такого типа был приведен в работе [И]. [c.224]

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

Весовая функция. Наиболее простой вид представления (2.2.33) и (2.2.34) имеют в том случае, когда в качестве P t,x) выбирается система б-функций. Формально б( ) можно определить как функцию обладающую следующими свойствами [c.58]

Таким образом, для определения правила действия оператора А на любую функцию (/) (т. е. для определения реакции объекта на любое входное возмущение) достаточно знать действие этого оператора на 8 t — т). Функция G t,x), характеризующая оператор Л (соответственно, и технологический объект, описываемый оператором Л), называется весовой, или импульсной переходной, функцией. Для любого линейного объекта выходная функция v t) определяется по входной функции u t) и весовой функции по формуле (2.2.43). Физический смысл весовой функции состоит в том, что G(t,x) определяет, какой вклад в значение выходной функции V в момент времени i дает значение входной [c.60]

С помощью весовой функции 0( ,т) линейный оператор А представлен в виде интегрального оператора. Соотношение (2.2.47) [или более общее соотношение (2.2.43)] можно рассматривать как доказательство утверждения о том, что любой линейный оператор представим в виде интегрального оператора общего вида. Это утверждение играет большую роль в теории линейных операторов оно позволяет свести исследование линейного оператора А к исследованию импульсной переходной функции G t,x). [c.61]

Таким образом, введены уже две разновидности общего интегрального представления (2.2.34) для правила действия оператора линейного объекта. Одно из них [(2.2.43) или (2.2.46)] основывается на представлении (2.2.42) входной функции с помощью параметрического семейства 6 t — т), а второе [(2.2.51) или (2.2.56)] —на представлении (2.2.49), (2.2.50) с помощью параметрического семейства экспонент (разложение в интеграл Фурье). Существенным отличием представления (2.2.51) от разложения с использованием весовой функции состоит в том, что для определения с помощью (2.2.51) результата действия оператора А на входную функцию u t) необходимо предварительно получить разложение u t) в интеграл Фурье. Поэтому представление оператора с помощью частотной характеристики удобно лишь в тех случаях, когда входная функция достаточно просто разлагается в интеграл Фурье. [c.64]

Получим соотношения связывающие между собой различные характеристики оператора — весовую и параметрическую передаточную функции. Чтобы выразить характеристику объекта F t,p) достаточно записать интегральное представление (2.2.43) с весовой функцией G(t,x) для входного показательного воздействия [c.64]

При чисто мнимые значениях р, т. е. р = 1а, получаем выражение частотной характеристики через весовую функцию [c.65]

Можно вывести аналогичную формулу для выражения весовой функции G( , т) через частотную характеристику F t,m. Для этого представим б-функцию в виде интеграла Фурье. Используем тот факт, что б(Л =1 lim бд( ). Функцию бд( ) легко представить [c.65]

Интегральные представления (2.2.46), (2.2.56) и (2.2.67) для правила действия линейного оператора А являются частными случаями (2.2.34). В принципе можно построить множество других представлений, которые будут частными случаями (2.2.34) и получающихся при выборе более сложного вида параметрической системы функций Р(/, т) в (2.2.33). Однако все такие представления будут слишком сложны из-за трудности отыскания функции s(t), необходимой для построения исходного представления (2.2.33). Поэтому при исследовании динамики технологических процессов применяют только интегральные представления с использованием весовой функции G t, т), частотной характеристики F t, ш) [или параметрической передаточной функции F t,p)] и переходной функции Эти функции в дальнейшем будем называть ха- [c.67]

Чтобы закончить рассмотрение функций G t,r), F(t,p) и характеризующих линейный объект и его оператор, выведем соотношения, связывающие переходную функцию H t,%) с частотной характеристикой и весовой функцией. Сначала выразим весовую функцию G t, т) через переходную. Для этого представим b t — т) в виде предела последовательности функций бю, д]( — т) b t—т) == [c.67]

Пусть на вход стационарного линейного объекта подается в момент времени t = х входное воздействие в виде S-функции (единичный импульс) Ut( =S( — т) Выходная функция объекта Vx(i) определяется весовой функцией Vx(t) =Aur t) =G t,x). Поскольку оператор А является однородным, временной сдвиг — т не изменяет правила действия оператора. Согласно (2.2.25), должно быть G t,x) =Vx i) =v t — т), где v t) соответствует несмещенной входной функции u t) =8(t), т.е. v t) = [c.68]

A6(t). Это означает, что весовая функция однородного оператора зависит только от разности t — x, а не от каждой переменной t и т отдельно. В этом случае весовую функцию как функцию одной переменной t = t — т будем обозначать g(t ) [c.68]

Для доказательства соотношения (2.2.77) воспользуемся представлением (2.2.43) для выходной функции v(t) с помощью весовой функции. Для стационарного объекта G(t, %) = g(t — т). Кроме того, u t)= О при t < О, поэтому получим [c.70]

Внутренний интеграл представляет собой преобразование Лапласа от весовой функции g t) и, согласно (2.2.74), равен передаточной функции W p). Окончательно имеем [c.71]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

В соответствии с формулой (2.2.74), зная передаточную функцию W(р) оператора, можно найти выражение для весовой функции оператора. Оригинал функции (2.2.85) определим из таблицы преобразования Лапласа, он равен [c.74]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

Для того чтобы получить весовую функцию G t, т) необходимо решить уравнение (3.1.3) с начальным условием (3.1.4) при u(t) = b(i — т), т. е. для получения G(t, т) достаточно подставить такое u(t) в правую часть (3.1.5) [c.83]

Тогда из (3.1.7) определим весовую функцию [c.84]

Для операторов, задаваемых уравнением (3.1.1) при п>1, получить явные выражения для G t, т) и Н t, т), аналогичные формулам (3.1.7) и (3.1.8), уже не удается. Все, что можно сделать,— это получить линейное однородное уравнение для весовой функции G t,x). [c.84]

Весовая функция для объектов с сосредоточенными параметрами. При выводе уравнения для G t,r) в интересах простоты изложения поступим следующим образом сначала рассмотрим частный случай, когда /и = I и bo t) = = 1, т. е. когда уравнение (3.1.1) имеет вид [c.84]

Весовая функция оператора (объекта) по определению является результатом действия оператора, задаваемого уравнением (3.1.11) с начальными условиями (3.1.2), на параметрическую систему б-функций, т. е. G 1,7) является решением уравнения [c.85]

Таким образом, весовая функция G(t,%) является [c.86]

Итак, весовые функции операторов Л], Л2 известны. Осталось установить правило, по которому из весовых функций сомножителей можно определить весовую функцию произведения операторов. [c.87]

При q t) = G t,x) выходная функция v t) будет весовой функцией оператора А, т. е. из (3.1.21) получим [c.88]

Используя соотношение (3.1.23), легко можно получить выражение для весовой функции G(t,r) оператора А, задаваемого уравнением (3.1.1). Подставляя в (3.1.23) выражение (3.1.20) для весовой функции оператора Ai и используя свойства б-функции и ее производных [см. (2.2.41) и (2.2.42)], получим г [c.88]

Формула (3.1.24) дает решение задачи о нахождении весовой функции оператора, задаваемого с помощью уравнения (3.1.1) с нулевыми начальными условиями. Проиллюстрируем изложенную схему определения весовой функции произведения операторов на простом примере. [c.88]

В последнее время для расчета КИН часто применяется метод весовых функций, т. е. функций Грина. В широком смысле функции Грина — это оператор, который по решению задачи, соответствующему одним граничным условиям, позволяет строить решение при других граничных условиях. В узком Смысле в качестве функций Грина часто используются функции точечного источника. Основные направления метода весовых функций намечены в работах X. Ф. Бюкнера [290] и Дж. Райса [398]. Указанный метод позволяет рассчитать КИН в двумерных и трехмерных телах со сквозными, эллиптическими и полу-эллиптическими трещинами [17—19, 210, 411], но его применение затруднено в случае криволинейных трещин, а также при нагружении элемента конструкции, отвечающем смешанным — кинематическим и силовым — граничным условиям. [c.196]

Таким образом, выяснено, как определяется весовая функция оператора, задаваемого уравнением (3.1.11). Рассмотрим теперь процедуру, с помощью которой можно найти весовую функцию для оператора А, задаваемого с помощью общего уравнения (3.1.1). Оператор А можно представить как произведение двух операторов А =AiA2 (см. раздел 2.1). Оператор Ai действует на входную функцию u[t) по правилу [c.87]

Весовая функция оператора A=AiAs по определению есть выходная функция этого оператора, которая получается при действии А на входную функцию u t)=8(t — х). Входная функция оператора А является одновременно входной для оператора Ау. Поэтому при u t)=6 t — т) выходной функцией оператора Ai будет весовая функция этого оператора, т. е. q t) = Gi(t,x). Выходная функция q t) оператора Л] является входной для второго оператора Л2. Для определения выходной функции оператора Л осталось определить, как действует оператор Лз на функцию q t) = G2 t,x). Результат действия оператора на произвольную [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...