Число нормальных колебаний

Полное число нормальных колебаний равно ЗЛ/ , где N — число атомов в кристалле. Индекс а принимает в случае [c.132]

Спектр частот нормальных колебаний. Обозначим этот спектр через (Й). Величина dQ есть число нормальных колебаний с частотами от Q до Q+dQ. В случае электромагнитного поля соответствующий спектр частот имел универсальный вид, описываемый выражением (2.4.5). Теперь же спектр зависит от выбора кристалла и, кроме того, полный интервал частот простирается от нуля до некоторой характерной для данного кристалла частоты Q [c.134]

Для четырех масс мы получим четыре нормальных колебания, соответствующих четырем типам начальных смещений, и т. д. При беспредельном увеличении числа масс будет беспредельно возрастать и число нормальных колебаний системы. Увеличивая беспредельно [c.651]

От системы с п степенями свободы мы могли бы совершить переход в направлении увеличения числа степенен свободы, например к системе с 2п степенями свободы, перенося малые доли грузов в точки пружин, лежащие посередине между соседними грузами (когда мы перенесем первый раз малые доли грузов в эти точки, сразу появятся и новых нормальных колебаний с очень высокими частотами). Повторив эту операцию достаточно большое число раз, мы получили бы систему с 2п одинаковыми грузами, каждый массы т/2, расположенными на расстоянии а/2 друг от друга. При этом из бесконечности приходят частоты п новых нормальных колебаний и общее число нормальных колебаний становится равным 2п. Таким же способом от системы с 2п степенями свободы можно перейти к системе с Ап степенями свободы и т. д., т. е. как угодно приблизиться к сплошной системе, обладающей бесконечно большим числом нормальных колебаний. Частоты всех этих новых нормальных колебаний (кроме тех п нормальных колебаний, которые были свойственны исходной системе с п степенями свободы) пришли из бесконечности. [c.700]

Наложение граничных условий на решение уравнения (1.21) вызывает появление дискретных значений частот (Оп (обертонов). Если цепочка состоит из N+1 атомов, то длина цепочки равна Ыа. Если концевые атомы закреплены, т. е. XI = О и Хлг+ 1 = 0, то в цепочке могут существовать лишь такие продольные и поперечные колебания, для которых 1, 2, 3,. .. N полуволн укладываются на расстоянии На. Волновой вектор для этих разрешенных колебаний к = я/(На, 2я/Ма, Зя/На,. .. или я/а. Для достаточно больших N разница между двумя соседними значениями волнового вектора будет мала. При этом число состояний (число нормальных колебаний), приходящихся на интервал значений волнового векто- [c.30]

Число нормальных колебаний Z с длиной волны, равной или большей равно, очевидно, п [c.129]

Формула (4.9) выражает число нормальных колебаний, заключенное в интервале частот от м до и + Функция [c.129]

В теоретической механике показано, что число нормальных колебаний и соответствующих им собственных частот равно числу степеней свободы в системе материальных точек. Упругое тело можно рассматривать как систему бесчисленного множества материальных точек с упругими связями, число степеней свободы которой бесконечно. Поэтому во всяком упругом теле имеется бесчисленное множество нормальных колебаний и соответствующих им собственных частот. [c.292]

Таким образом, для любой молекулы можно легко подсчитать число нормальных колебаний, которые дают серии колебательных состояний и =0, 1, 2, 3,. .. [c.87]

Число нормальных колебаний [c.158]

На основании предыдущего рассмотрения мы можем определить для данной молекулы число настоящих нормальных колебаний каждого типа симметрии. Пусть / /з,. .. обозначают число нормальных колебаний первого, второго... типа симметрии. Введем, далее, вместо ЗМ прямоугольных составляющих смещения ЗМ—6 (или ЗМ — 5) новых, внутренних, координат (координат симметрии), из которых / относятся к первому типу симметрии, — ко второму типу симметрии и т. д. Иначе говоря, данному значению одной из этих [c.165]

Число перед символом обозначает здесь число нормальных колебаний данного частного типа симметрии. Так как модели I и II имеют центр симметрии, то должен быть спра ведлив альтернативный запрет. В действительности, имеются два очень близких совпа дения (комбинационные линии 1114 и 2200 и инфракрасные полосы 1126 и 2190 см ] Весьма сомнительно, лежат ли разности частот вне пределов точности эксперимента Во всяком случае мы не можем применить правило альтернативного запрета и исклю чить модель III. [c.327]

Число Авогадро 569 Число ненастоящих колебаний 82, 150 Число нормальных колебаний данного типа симметрии 149 (глава II, 4а) [c.626]

Прогрессии. На фиг. 49 приведены колебательные уровни двух электронных состояний в предположении, что в каждом состоянии имеются только по два нормальных колебания. Хотя такое предположение не соответствует действительности (наименьшее число нормальных колебаний в несимметричной молекуле равно трем), оно позволяет более ясно изложить основные факты. [c.143]

При наличии локальных колебаний [133, 134] в кристалле с изолированным изотопическим дефектом мы имеем дело с пространственно локализованными смещениями, привязанными в основном к примеси эти колебания сосуществуют с зонными колебаниями, представляющими собой слегка возмущенные колебания идеального кристалла. Полное число нормальных колебаний, разумеется, сохраняется равным ЗгЫ. Локализация возмущенных колебаний около примеси означает, что мы можем рассматривать подмножество у возмущенных нормальных колебаний отдельно от остальных (ЗгЛ — у) слабо возмущенных зонных колебаний. Если дефект представляет собой изотопическую примесь без изменения силовых постоянных, мы можем проанализировать ситуацию, рассматривая молекулу, состоящую только из примеси и ее ближайшего окружения. В данном параграфе мы изучим симметрию таких локальных колебаний. [c.230]

Подсчет числа нормальных колебаний. При тепловом равновесии энергия Е набора осцилляторов с различными частотами А- равна сумме их энергий [c.215]

Здесь ы)—спектральная плотность колебаний решетки, т. е. число нормальных колебаний, отнесенное к [c.69]

В акустике могут существовать две ситуации. Если ПВВ в обеих средах всюду выпукла, то все отраженные и преломленные волны принадлежат разным ветвям. Иная картина возникает в том случае, когда ПВВ имеют вогнутости. Тогда при опр-еде-ленной ориентации границы раздела относительно ПВВ ее сечение плоскостью падения волны также пмеет вогнутые участки и среди отраженных или преломленных волн могут появиться две волны, бегущие под разными углами, но относящиеся к одной и той же ветви. Разумеется, полное число отраженных или преломленных волн равно числу нормальных колебаний в среде. [c.53]

Из линейности волнового уравнения и граничных условий следует, таким образом, что суперпозиция произвольного числа нормальных колебаний упругого тела удовлетворяет волновому уравнению и условиям на границах и является одним из возможных его движений. [c.219]

При малых амплитудах колебания многоатомной молекулы, как и двухатомной, гармонические. Поскольку колебания отдельных атомов в молекуле связаны друг с другом, то многоатомную молекулу можно представить как совокупность набора осцилляторов, движения которых связаны между собой. Энергия, попадающая на один из осцилляторов, например на отдельную связь в молекуле, перераспределяется через некоторое время по другим связям, и все атомы и связи вовлекаются в колебание. Из механики известно, что движение связанной системы как целого может быть представлено наложением ее нормальных колебаний, т. е. таких колебаний, в которых все элементы системы движутся с одинаковой частотой и фазой в тех или иных направлениях. Именно нормальные колебания проявляются в спектрах и число их равно числу степеней свободы. В общем случае Л -атомпой нелинейной молекулы число степеней свободы и число нормальных колебаний равны ЗА —6. Это означает, что, например, в спектре трехатомной молекулы воды Н2О должны быть представлены три частоты и три нормальных колебания. Может оказаться, что некоторые из ЗМ—6 колебаний имеют одинаковые частоты и поэтому разным нормальным колебаниям соответствует одна и та же спектральная линия (полоса). [c.241]

В общих чертах такая же картина, как в ст[)уие, будет наблюдаться н при колебаниях упругих пластинок или пленок. Если упругую пленку, например тонкий лист металла, натянуть на рамку, то такая NK M6pana будет обладать также бесконечным числом нормальных колебаний. Частоты этих колебаний зависят от размеров и массы мембраны и ее натяжения. Но каждому нормальному колебанию соответствуют уже не отдельные узловые точки, а целые узловые линии, которые при данном колебании остаются в покое. Такие же узловые лннии существуют и при колебаниях упругой пластинки. Обнаружить узловые линии колеблющейся пластинки можно следующим образом. Если на металлическу]о пластинку насыпать слой мелкого песка и затем возбуждагь в ней колебания, проводя но краю пластинки смычкам, то песок [c.656]

Если неск. нормальным колебаниям соответствует одна и та же частота то её ваа. кратной ч а-стотой.При наличии кратных частот в выражении для уровней энергии (2) появляются члены вида gft/2+ гдб ffk число нормальных колебаний, имеющих частоту т. е. кратность частоты. В этом случае положение колебат. уровней энергии молекулы определяется квантовым числом может иметь [c.405]

Рис. 1.8. Схематическое представление уровней энергии органической молекулы и релаксационных переходов между этими уровнями. Слева показаны три низших синглетных уровня, а справа — два низших триплетных уровня. На электронные уровни накладываются колебательные З ровни. С целью упрощения для каждого электронного уровня показаны колебательные уровни только одного нормального колебания. В действительности большая молекула обладает очень большим числом нормальных колебаний (при Jf атомах их число равно 3 X—6), которые образуют множество колебательных уровней. В колебательную релаксацию вносят вклад также переходы между уровнями, относящимися к различным нормальным колебаниям. Переходы внутри син-глетной системы и внутри трнплетной системы называются внутренней конверсией (ВК), а переходы между этими двумя системами — интеркомбинационной конверсией. (ИК). Скорости релаксации для показанных процессов имеют следующие типичные значения

Интегрирование нужно проводить от ю = 0 до некоторой максимальной частоты max, которзя В теории Дебая определяется из условия равенства полного числа нормальных колебаний В единице объема ниже этой частоты числу степеней свободы, т. е. в данном случае 3iV. Легко показать, что [c.330]

Типы симметрии, характеры, число нормальных колебаний и правила отбора для плоских десяти- и двенадцатиатомных молекул соответственно симметрии 1)5/, и 1>и , (плоские колебания) [c.158]

Таким образом, уже эти обстоятельства позволяют усмотреть аналогии между электрическими и акустическими системами и продолжить их для колебательных систем. Более того, их можно распространить на случай любой колебательной систелты, включая механическую, и говорить об электро-механико-акустических аналогиях. Мы будем употреблять выражения электроакустические или электромеханические аналогии, имея в виду пока все три колебательные системы акустическую, механическую и электрическую. При этом под акустической системой будем понимать колеблющукх я пластину (хотя в общем случае это может быть любая система, характеризующаяся собственными колебаниями), под механической — массу на пружине, под электрической — колебательный контур. Последние две системы в идеале можно представлять как системы с сосредоточенными постоянными, т. е. каждая характеристика системы сосредоточена в своем элементе, например жесткость (упру/гость) — в пружине, масса — в материальной точке, емкость — в конденсаторе, и т. д. Акустическая же колебательная система является системой с распределенными постоянными в ней нельзя одному элементу приписать, скажем, массу, а другому — упругость, все эти характеристики распределены по объему системы Од нако любая колебательная система характеризуется набором нормальных колебаний. В системе из N материальных точек число нормальных колебаний равно 3N, например в кристалле Л равно полному числу атомов (узлов) решетки. Одной материальной точке соответствует одно нормальное колебание. Это нормальное колебание мы будем сопоставлять с одним из нормальных колебаний пластинки на одной из ее собственных частот, скажем, на основной частоте. [c.184]

Теория колебаний многоатомных М., опираясь на теорию химич. строения и классич. механику связанных колебаний, вводит в качестве периодически изме-няюгцихся переменных естественные координаты — длины валентных связей и значения валентных углов. Сложное колебательное движение М. как целого разлагают на простые (линейные) движения — нормальные колебания молекулы, координаты к-рых в гармонич. приближении выражаются как линейные функции естественных координат. Строгое решение задачи о нормальных колебаниях М. позволяет провести расшифровку спектра и сделать ряд выводов о строении М., в частности определить се динамич. коэффициенты. Общее число нормальных колебаний А -атомной М. равно ЗN — 6 (или ЗА —5, если М. линейна). Колебательные спектры позволяют определять энергии диссоциации М., нопосредствснно изучать явления изомерии, таутомерии, поворотной изомерии, а такжо межмолекулярное взаимодействие и водородную связь. [c.283]

РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ колоба тельные (сплошные колебательные систем ы) — физ. системы, в к-рых свойствами, делающими их колебательными (напр., масса и упру-гость в механич. системах, индуктивность и емкость в электрич.), в той или иной степени обладают все элементы системы, т. е. эти свойства распределение но всей системе. Все реальные колебат. системы — Р. с., если пренебречь их атомной структурой (что допустимо, когда объем, имеющий размеры самой короткой волны, к-рая И1 рает роль в рассматриваемой задаче о кои еба-нинх системы, содержит еще достаточно большое число атомов), Р. с. обладают бесконечно большим числом степеней свободы, вследствие чего им свойственно бесконечно большое число нормальных колебании. [c.336]

Определение числа нормальных колебаний заданного типа симметрии значительно упрощается и делается более наглядным, если исходить не из прямоугольных координат, а из естественных координат (изменений равнопесных расстояний и углов между связями) [1102]. При этом вместо эквивалентных атомов рассматриваются эквивалентные расстояния и углы [1099] и отпадает необходимость в учете ненастоящих колебании. (Прим. ред.) [c.149]

Степени свободы, соогиетствующпе совокупно- Число нормальных колебании [c.150]

Можно ввести плотность состояний в -пространстве (т. е. число нормальных колебаний на единицу значв ний к). Она равна [c.34]

Значения этих частот зависят от свойств решетки, В эйнштейновской модели решетки принимается, что все частоты равны между собой. Усовершенствованием этой модели является модель Дебая, который принял, что для определения частот (12.24), и только для этой цели, можно приближенно рассматривать твердое тело как упругий континуум объемом V. Частоты (12.24) являются в этом случае ЗЛ нижними нормальными частотами такой системы. Поскольку упругий континуум имеет непрерывное распределение нормальных частот, нас интересует число нормальных колебаний, частоты которых лежат между (й и (й- - (й. Чтобы найти это число, надо знать граничные условия для звуковой волны в упругой среде. Вбтбирая граничные условия периодичности, находим, как обычно, что к = (2я/ )п, где а вектор п имеет компоненты О, 1, 2,. .. Интересующее нас число нормальных колебаний с частотами между (о и равно [c.284]

Минимально возможную частоту полагают равной 1 шю, так как тела имеют большие размеры I (см. 3.2). Тогда из условия, гго общее число нормальных колебаний, возникаюищх в кристалличестай решетке, [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...