Собственные Колебания упругих тел

В книге описываются закономерности волновых движений в няе- ально упругом теле. Основным отличием такой среды от идеальной сжимаемой жидкости в акустике и от эфира в электродинамике является существование в ней, а в случае наличия границ и постоянное превращение друг в друга, двух различных по свойствам типов волн — волн расширения и сдвига. Можно сказать, что все вопросы, рассмотренные в данной книге, должны раскрыть специфику волновых процессов в упругих телах, обусловленную взаимодействием этих двух типов волн при наличии граничных поверхностей. Таким взаимодействием обусловлен чрезвычайно широкий круг особых явлений в процессах колебаний упругих тел и распространения волн в них. В качестве примеров здесь достаточно упомянуть известное явление существования поверхностной волны в упругом полупространстве и менее изученные вопросы, относящиеся к специфике собственных колебаний упругих тел конечных размеров. [c.7]

Из системы (Д.56) определяем амплитуды перемещений, вызванных действием массовых сил и неизвестные амплитуды перемещений и поверхностных сил на границе. Система однородных уравнений (Д.57) имеет нетривиальные решения только для таких значений (о , которые соответствуют частоте собственных колебаний упругого тела и (л = 1, 2,. .., оо). Заметим, что для Я. = уравнения (Д.56) не имеют решения. В этом случае имеет место резонанс упругой системы. [c.205]

В результате поглощения среда постепенно греется при распространении в ней акустической волны. Это монотонное нагревание не надо смешивать с поочередным нагреванием и охлаждением, которое сопровождает всякое упругое колебание и о котором говорилось в 4. Учитывая поглощение, мы должны сказать, что изменение температуры при прохождении звука состоит из двух слагаемых рассмотренного ранее колебательного процесса и монотонного нарастания. Поглощение бегущей акустической волны вызывается теми же причинами, что затухание собственных колебаний упругих тел [стоячих волн) вязкостью (внутренним трением) вещества, а также другими причинами, о которых мы дадим некоторое представление в пп. 2 и 4. [c.224]

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ [c.247]

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях упругого тела с частично или полностью закрепленной фаницей. После замены переменных и = Но(г) + у(г, /) уравнение (6.1) представим в виде [c.248]

Таким образом, собственные колебания упругого тела представляются в виде суперпозиции гармонических колебаний [c.249]

Если р = сОт, т. е. частота возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот упругого тела, соответствующий коэффициент обращается в бесконечность, т. е. наступает резонанс. Доказательство того, что непрерывные и дважды дифференцируемые функции Ui, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям, могут быть представлены абсолютно и равномерно сходящимися рядами фундаментальных функций или собственных форм колебаний выходит за рамки этой книги. [c.436]

Н. А. Кильчевский [24], применив преобразование Лапласа, получил приближенные выражения для закона изменения контактной силы во времени Р (t) при ударе и оценил условия, при которых применима статическая зависимость силы от перемещения с учетом собственных колебаний соударяющихся тел. Для определения контактных деформаций он применил теорию Герца, а для решения задачи о колебании соударяющихся тел — теорию Тимошенко. Методом последовательных приближений он рассмотрел единичный удар и повторное соударение при поперечных ударах шара по балке. Справедливо обосновав положение, что на первом этапе (до достижения максимальной контактной силы) основное влияние на процесс удара оказывают местные деформации сжатия, а на втором (при упругом восстановлении) — колебания балки и шара, Н. А. Кильчевский предложил расчетные формулы для вычисления наибольшей силы взаимодействия между шаром и балкой, а также продолжительности контакта. Полученные громоздкие зависимости им упрощены и распространены на широкую группу контактных задач. В работе [24] при применении интегрального преобразования проведена аналогия между зависимостью контактной деформации и силой удара (предложенной Герцем) в пространстве изображений и оригиналом, т. е. [c.10]

Для того чтобы точно оценить величину расслоения частот и степень искажения собственных форм, требуется решить задачу о свободных колебаниях упругого тела той или иной конкретной и весьма сложной структуры, определяемой не только номинальными параметрами тела, являющимися поворотно-симметричными, но и асимметрией, которая может быть произвольной. Получение точного решения такой задачи в достаточно общей постановке представляется весьма сложным. [c.123]

Болотин В. В. Теория распределения собственных частот упругих тел н ее применение к задачам случайных колебаний. — Прикладная механика , т. 8, 1972, вып, 4, с. 3—29. [c.335]

Колебания ограниченных тел. Наряду с задачами о распространении волн в упругой среде немалый интерес представлял анализ гармонических колебаний ограниченных тел. Особое внимание уделялось аналитическому исследованию собственных частот и форм колебаний упругих тел канонического вида —сферы, кругового цилиндра, прямоугольной призмы. [c.12]

В поведении остальных ветвей третьего семейства (пронумерованных цифрами 2—7) обнаруживается ряд особенностей, на которые следует обратить внимание. Видно, что каждая из них образована последовательно чередующимися участками, соответствующими убыванию собственных частот с ростом R, и участками, характеризующимися возрастанием собственных частот с ростом R. Само по себе наличие вторых участков является в определенной степени примечательным, поскольку указывает на существование таких типов движения в высокочастотной области, которые трудно было предсказать на основе представлений о колебаниях упругих тел, выработанных в рамках теорий стержней и пластин. [c.217]

Видно, что при таком специальном начальном распределении возмущений стержень совершает продольные свободные колебания, отличающиеся указанными выше свойствами. Такое свободное колебание упругого тела (или системы материальных точек), при котором каждая точка совершает гармоническое колебание и все точки колеблются синхронно и синфазно, причем соблюдаются условия сплошности упругого тела, принято называть нормальным колебанием (или собственным колебанием), а частоту колебаний — собственной частотой. Иначе говоря, при нормальном колебании картина перемещений в теле изме- [c.291]

На основе уравнений динамической теории упругости анизотропного тела в статье [4] выведены характеристические уравнения для определения частот собственных колебаний двухслойной полосы. Найдена связь между частотами собственных колебаний, упругими характеристиками и толщинами слоев. Доказано, что в двухслойной полосе могут возникнуть два типа собственных колебаний — сдвиговые и продольные. [c.20]

В резонансном случае, когда частота возмущающей силы близка к одной из собственных частот колебаний упругого тела, в (3.35) принимается [c.133]

Соответствуюш ие значения параметра и) — собственные частоты упругого тела, а функции определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (12.7) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню uJk будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку, корень — uj . Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме решения всегда присутствует и второе решение щ . Это заме- [c.272]

Прежде всего это относится к вопросу о существовании частот собственных колебаний ограниченного тела. С точки зрения уравнений теории упругости, для таких тел существует дискретное (счетное) множество собственных частот (см. гл. VII, теоремы 1.3 и 1.4). С точки зрения уравнений термоупругости, вообще говоря, вопрос остается открытым во всяком случае, можно указать класс задач, когда собственные частоты отсутствуют. [c.418]

Как простейший пример колебаний упругого тела конечных размеров мы рассмотрим собственные радиальные колебания упругого шара. В этом случае каждая частица совершает радиальные перемещения. Поэтому мы можем принять следующие выражения для компонентов упругого перемещения [c.433]

Методом граничных интегральных уравнений решались различные динамические задачи. В частности, двумерные задачи динамической теории упругости рассматривались в работах [5—7, 117, 439, 568], трехмерные — в [373, 374, 439, 463, 464, 477, 546]. Задачи о колебаниях упругих тел и пластин, а также задачи на собственные значения изучались в работах (87, 441, 503, 531, 544 и др.]. Существует несколько под содов к решению нестационарных задач методом граничных -интегральных уравнений. Можно использовать шаговую по времени схему, когда решение ищется последовательно в различные моменты времени. При этом используются фундаментальные решения динамических дифференциальных уравнений, которые называются запаздывающими потенциалами. Такой подход к решению динамических задач теории упругости использован в работах [374, 484, 494—496, 556]. Другой подход заключается в применении преобразования Лапласа по времени. В этом случае интегральные уравнения записываются для функций ч пространстве преобразований Лапласа и они решаются при различных значениях параметра преобразования [373]. Затем выполняется численное обратное преобразование Лапласа [196, 440, 465, 466, 536]. В работах [517, 556] рассматривались оба эти подхода и сравнивалась их эффективность с точки зрения точности и затрат машинного времени. Более эффективным оказался метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Этот метод применялся к решению динамических задач в работах [5—7, 117, 140, 373, 463, 464, 472, 518, 568]. Метод решения динамических задач с использованием функций Грина соответствующих статических задач разработан в [448]. Более полный обзор применения метода граничных интегральных уравнений и граничных элементов в динамических задачах сделан в работах [44, 442, 462]. [c.105]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.127]

Здесь Ui X, dV), Wi x, dV), Ki [p x, dV), Fi u x, dV), Ui (m", X, V) и Ki (m", X, V), как и в (5.34),— граничные и объемные потенциалы статической теории упругости, ядра которых определяются формулами (5.24), (5.27), (5.35) и (5.36) и" х) и а — собственные формы и собственные частоты колебаний упругого тела с трещинами, занимающего область V с границей dV а М2У х dV и а = 1 [c.128]

Таким образом, получены два граничных интегральных равенства (5.74) и (5.76), которые можно использовать для определения собственных форм и частот колебаний упругих тел с трещинами, учитывающие условия закрепления их границ. Граничные интегралы (5.75) и (5.77) содержат известные выражения и их можно вычислить аналитически либо численно. [c.129]

Из обширной области. механических колебаний упругих тел в книге выделены вопросы собственных и вынужденных колебаний пластин и. колебаний круг с лых мембран. Распространение звуковых волн рас-сматривается главным образом с позиций эффектив- ности передачи энергии. При этом кратко излагаются отдельные вопросы, связанные с распространением в слоистой среде, с акустическими волноводами и др. [c.6]

Род колебаний. Материальная точка, связанная с некоторым средним поло жением с помощью направленной силы (силы упругости), имеет только. одну степень свободы" и вследствие этого обладает только одной частотой собственных колебаний. Упругие тела конечной величины (струны, трубки, стержни и т. д.) обладают бесконечным числом степеней свободы и соответственно бесконечным числом частот собственных колебаний. Под основном частотой понимают собственную частоту с наименьшим числом колебани . ) частоты обертонов в" случае струн и трубок является кратными частоты основного тона. [c.491]

Для Проверки законности применения статической зависимости (2.2.81) к решению задачи о соударении упругих тел сравним продолжительность контакта т с периодом медленных собственных колебаний соударяемых тел Тшах. используя для этого шары радиуса Д, [c.132]

Соответствующие значения параметра называются собственными частотами упругого тела, а функции определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (13.2.1) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню (о будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку корень — (Ofe. Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме решения Ui ехр iat всегда присутствует и второе решение И ехр(—ioji). Это замечание позволяет образовывать из них действительные комбинации, которые одни только имеют механический смысл. [c.433]

Роль границы в формировании структуры волнового поля, а также таких важных характеристик упругих колебательных систем, как спектр собственных частот и собственные формы, раскрывается в ряде задач, последовательно возрастающих по трудности. При этом рассматриваются как задачи, юзникшие на начальных этапах формирования теории упругости и решаемые с помощью сравнительно простых формул, так и задачи, для решения которых требуется современная вычислительная техника. Во всех случаях авторы стремились представить результаты так, чтобы сложность выкладок и вычислений не мешала раскрытию особенностей колебаний упругих тел. [c.5]

Перейдем к анализу тех форм колебаний прямоугольника, которые соответствуют плато в спектре на рис. 63. При этом мы еще остаемся в области частот, где имеется только одна распространяющаяся мода. Такие особенности в спектре собственных частот упругого тела впервые обнаружил экспериментально Шоу [264]. Эксперименты проводились на пьезокерамических круглых дисках. Измерение перемещений в ooтвeт Jвyющиx формах колебаний показало наличие сильной локализации области интенсивных движений вблизи края диска. В связи с этим явление возбуждения таких форм получило название краевого резонанса. [c.185]

В работе [14] рассмотрена динамика импульсной газореактивной системы ориентации жесткого КА. Однако большие размеры и конструкция современного КА не всегда позволяет считать его твердым телом. Взаимодействие импульсной системы с упругой конструкцией КА может привести к потере устойчивости. В работе [57] получены условия, которые необходимо наложить на параметры импульсной системы ориентации, чтобы она была пригодна для управления угловым движением упругого КА 1) для уменьшения влияния последовательности импульсов управляющего момента на упругие колебания КА необходимо длительность импульсов делать равной периоду собственных колебаний упругого КА 2) для уменьшения амплитуды вынужденных колебаний КА (как первой, так и второй нормальных форм) рекомендуется вводить определенные ограничения на порядок следования и форму импульсов управляющего момента. [c.80]

В случае непериодического воздействия внешних сил для описания вынужденных колебаний упругого тела поверхностнг1я нагрузка и искомое решение представляются в виде разложений в ряд по системе собственных фундаментальных функций [161. Подстановка этих рядов в уравнения движения позволяет получить уравнения для определения неизвестных функций времени. Рассмотренный метод будет продемонстрирован на примере круговой трехслойной пластины далее (см. гл. 7). [c.125]

Уравнение (13.12) совпадает с задачей о собственных колебаниях упругого слоистого тела, в которой — ортопормиро-ваппая собственная функция. [c.339]

Теория колебаний развилась из исследований Галилея о малых колебаниях маятника. Однако опыты Галилея, в сущности, лишь наметили путь для дальнейшей работы в этой области. Возникновение учения о колебаниях упругих тел в механике связано с именами академиков Петербургской Академии наук — Д. Бернулли, Эрмана и Л. Эйлера. В 1716 г. Эрман нашёл решение некоторых сложных задач о колебаниях маятника в 1740 г. Эйлер обобщил принцип Эрл)ана и применил его к исследованию колебаний струн и тонких брусьев. В 1751 г, Эйлер и Бернулли впервые получили дифференциальные уравнения поперечных колебаний. Хотя общая теория колебаний систем с конечным числом степеней свободы была дана в 1762—1765 гг. в работах Лагранжа, но по его же собственному признанию эти работы представляли собой возврат к методу Эрмана и Эйлера . [c.769]

Б у р чу л а д 3 е Т. В. а) К TeopiiH граничных задач колебания упругого тела (Тр. Тбилисского ун-та, т. 64, 1957) б) О некоторых плоских граничных задачах для анизотропных упругих тел (Тр. Матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 27, 1960) в) О фундаментальных решениях одной системы дифференциальных уравнений (Сообщ. АН Груз. ССР, т. 20, № 4, 1958) г) О некоторых обобщенных потенциалах для анизотропных тел (там же, т. 23, № 2, 1959) д) Асимптотические формулы собственных функций некоторых граничных задач колебания анизотропного упругого тела (там же, т. 23, № 4, 1959) е) Об асимптотическом распределении собственных функций колебания упругого тела (там же, т. 15, № 4, 1954). [c.467]

После всего сказанного остается решить вопрос о том, каковы будут колебания упругого тела, когда его собственный период колебания не совпадает ни с четным ни с нечетным числом периодов внешних сил, действующих на данное тело и изменяющихся гармонически. В этом случае мы имеем дело с т. н. комбинированным колебанием с постоянно изменяющейся амплитудой, то увеличивающейся то уменьшающейся. Как его амплитуда Р, так и сдвиг фазы 0 являются величинами переменными, зависящими от времени t. Подобные колебательные движения известны в физике под названием биений. Амплитуда Р определится из уравнения Р2 BIn2 0 -Ь Р2 0S2 0 = Р2 = f sin2 Ду + [c.94]

Третья глава относится к теории собственных колебаний упругих сильно неоднородных тел. Эти вопросы до сих пор мало-освещены в монографической литературе. В начале третьей главы даны теоремы общего характера о поведении спектра семейства абстрактных операторов, зависящих от параметра и действующих в различных пространствах, также зависящих от параметра. На основе этих общих теорем исследуется поведение собственных значений и собственных функций краевых задач, асимптотический анализ которых представлен в гл. II, а также некоторых других родственных задач. Даны оценки отклонения собственных значений и собственных функций задачи с параметром и усредненной задачи. Все задачи исследованы единым, предложенным в 1 гл. III, методом. Этот метод может найти дальнейшие широкие применения, так же как и теоремы, изложенные в 8 этой главы о несамосопряженных операторах. Общий метод исследования спектров операторов, зависящих от параметра, применяется также для исследования спектральных задач в областях с осциллирующей границей, задач для эллиптических уравнений в перфорированной области, вырождающихся на границе полостей, а также для изучения свободных колебаний тел с концентрированными массами. [c.7]

Задачи на собственные значения, которые мы будем записывать в виде Ьи = Ки или, более общо, Ьи = ХВи, очень часто встречаются в приложениях. Назовем здесь лишь задачи о продольном изгибе стержней и выпучивании оболочек, колебании упругих тел и о многогрупповой диффузии в ядерных реакторах. К счастью, как и для стационарных уравнений Ьи = Д для этих задач также полезна идея Рэлея — Ритца. В самом деле, эта идея исходит из описания Рэлея основной частоты как наименьшего значения отношения Рэлея. Поэтому шаг, который был предпринят в последние 15 лет, вполне евтествен и неизбежен применить новые идеи метода конечных элементов к этой давно установленной вариационной форме задачи на собственные значения. [c.251]

Важной с точки зрения практики является задача о собственных колебаниях упругих конструкций зцаний, мостов, башен, больших космических конструкций, различных машин и т.д. В рамках простейшей модели их можно рассматривать как упругие тела и, учитывая малость деформаций и отклонений точек той или иной конструкции, использовать линейную классическую теорию упругости. [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...