Колебания шаров

Задача 309. Шар веса Р и радиуса г совершает крутильные колебания на двух последовательно соединенных упругих проволоках (см. рисунок) j — коэффициент упругости верхней проволоки, — нижней проволоки. К шару приложена пара сил с вращающим моментом =/Ид sin ш7, где /Ид и ш постоянны. Момент силы сопротивления движению пропорционален угловой скорости шара т% = — 3вынужденных колебаний шара. Ось 2 направлена вдоль упругих проволок. [c.236]

Уравнение (1) — дифференциальное уравнение вынужденных крутильных колебаний шара на проволоке при наличии момента силы сопротивления движению, пропорционального угловой скорости. [c.237]

Так как требуется определить только вынужденные крутильные колебания шара, то решение задачи сводится к отысканию частного решения уравнения (1). Ищем частное решение в виде [c.237]

Итак, вынужденные крутильные колебания шара происходят по гармоническому закону [c.238]

В случае резонанса, т. е. при (о = й, угловая амплитуда вынужденных крутильных колебаний шара равна -д—- [c.238]

Задача 903. При равновесии шара радиусом R в жидкости высота погруженного шарового сегмента равна h. Определить период малых вертикальных собственных колебаний шара, пренебрегая сопротивлением жидкости. [c.326]

Пользуясь при решении этой задачи полученными в тексте статическими формулами, мы тем самым пренебрегаем упругими колебаниями шара, возникающими при столкновении. Возможность такого пренебрежения требует, чтобы скорость V была достаточно мала по сравнению со скоростью звука. Фактически, однако, применимость этой теории ограничивается еще раньше благодаря тому, что возникающие при столкновении деформации переходят за предел упругости вещества. [c.50]

Легко убедиться, что найденные нами скорости движения шаров гантели удовлетворяют закону сохранения импульса так как скорости колебаний шаров относительно центра тяжести гантели противоположны по направлению, то общий импульс колеблющихся шаров равен пулю. Но, кроме того, центр тяжести шаров движется поступательно с постоянной скоростью Di/2. Постоянный импульс, связанный с этим поступательным движением, как легко видеть, равен тому импульсу, который приобрела гантель в начальный момент в результате удара отдельного шара. [c.646]

Пример 53. Определить частоту и форму первого главного колебания шар- [c.173]

Трение несжимаемой жидкости. Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий. Течение жидкости по длинной цилиндрической трубе. Введение допущений, что жидкость прилипает к твердому телу, с которым соприкасается, и что скорости бесконечно малы. Равномерное вращение в жидкости шара относительно диаметра, или эллипсоида вращения относительно оси симметрии в случае, когда снаружи жидкость не ограничена, или ограничена концентрической шаровой поверхностью, или соответственно поверхностью софокусного эллипсоида. Вычисление момента сил, действующих на шар или эллипсоид. Сопротивление шара, равномерно поступательно движущегося в жидкости. Вращательные колебания шара. Колебания шара при которых центр движется вперед и назад [c.306]

Обозначим через продолжительность колебания шара в случае, когда жидкость не производит на него никакого действия, т. е. положим [c.317]

Следующее исследование приведет нас к колебаниям шара, находящегося в жидкости с трением, центр которого движется вперед и назад по прямой линии. Одно частное решение уравнения (8) есть [c.318]

Центрально-симметричная задача. Если = Яд = Яд = — ty то рассмотренное выше решение значительно упро-ш.ается и представляет колебания шара, радиус которого линейно изменяется во времени. В этом случае целесообразно ввести сферические координаты — г, О, ф). Систему уравнений для этого случая можно получить из уравнений 11, дополняя их инерционными выражениями и учитывая, что параметры — функции времени. [c.189]

Многочисленные исследования были посвящены в XIX в. вопросу колебаний упругих тел, в том числе струн, стержней, пластинок и оболочек. Интегралы уравнений колебания упругого пространства для любых начальных условий были даны в конце 20-х годов Д. Пуассоном и М. В. Остроградским. Тогда же Пуассон обнаружил существование двух волн, распространяющихся но изотропному упругому телу с различными скоростями, относящимися как У"Ъ 1. Стокс показал впоследствии что более быстрая волна является продольной волной объемного сжатия материала, а более медленная— поперечной волной вихря смещений, не вызывающей изменения плотности. В упомянутом выше мемуаре Пуассона (1829) рассмотрена и первая конкретная пространственная задача о колебаниях шара. Следует отметить исследо [c.58]

Найти собственные частоты звуковых колебаний шара радиуса Я (объемный трехмерный резонатор ). [c.100]

Случай п = 1 предыдущего параграфа в особенности интересен с точки зрения теории маятника, так как он соответствует прямолинейному колебательному движению шара, рассматриваемого как твердое тело. Следует, однако, заметить, что отбрасывание членов второго порядка в уравнениях движения равносильно предположению, что амплитуда колебаний шара мала по сравнению с радиусом. [c.637]

Коэфициент трения в каждом случае имеет высокий порядок относительно ка, так что колебания шара, окружность которого сравнительно мала по отношению к длине волны, лишь в малой степени будут подвержены влиянию этого трения . Чтобы вычислить энергию, которая должна быть израсходована в единицу времени для возбуждения волн в окружающей среде, мы должны в формуле (22), которая должна теперь рассматриваться как уравнение между действительными величинами, умножить отвечающий тре-мию член на I/ и взять среднее значение таким способом мы находим для энергии выражение [c.638]

В качестве иллюстрации теории резонанса мы можем рассмотреть случай, когда шар притягивается к неподвижной точке силой, пропорциональной расстоянию. Обозначая через период свободных колебаний шара [c.643]

Амплитуда колебаний частицы воздуха в первоначальной волне в тех же единицах масштаба будет равна —. Амплитуда же колебаний шара бу- [c.645]

Вращательные колебания шара, окруженного неограниченной жидкой массой, содержатся в решениях первого класса при п=1. Полагая Xi= z, как в п. 2 354, находим [c.807]

РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ШАРА 433 [c.433]

Радиальные колебания шара. [c.433]

Колебания шара радиальные 433 Компоненты конечной деформации 18 [c.462]

В выражении потенциальной энергии (3) отброшены члены порядка малости R и выше (считается, что отношение b/R имеет нулевой порядок малости),а также члены, содержаш,ие и . К потенциальной энергии следует добавить потенциальную энергию деформаций упругого шара Е[и], соответствуюш,ую классической теории упругости малых деформаций [1]. Будем предполагать, что наинизшая частота собственных колебаний шара много больше угловых скоростей [c.387]

Если колебания шара прекращаются, например, в момент времени ==0 (г е. и(т) = О при т> 0), то на расстоянии г от центра, начиная с момента времени t= (r — R)l , потенциал как функция времени будет иметь вид ф = = onst т. е движение будет затухать экспоненциально. [c.402]

Но, как было показано в 29, представление об абсолютно твердом теле включает в себя предположение о то.м, что энергией упругой деформации этого тела можно пренебречь. Поэтому, рассматривая стержень, соединяющий шары в гантели, как абсолютно твердый, можно 1 римеия1ь закон сохранения энергии только к энергии поступательного и вращательного движения гантелей (не учитывая энергии колебаний шаров гантели). По аналогии с удгфом шаров, удар гаителей, при котором сохраняется кинетическая энергия движения гантелей, рассматриваемых как твердое [c.425]

ИСКЛЮЧИТЬ эти более сложные диижения, достаточно, просверлив но диаметрам шаров каналы, соединить их жестким стержнем, вдоль которого шары могут скользить без трения (рис. 421). Такая система о 1личается от рассмотренных в 96 гантелей только тем, что расстояние между шарами гантели может уменьшаться и увеличиваться. Так как ири этом между шарами возникают упругие силы, то эту систему можно назвать упругой гантелью. В упругой гантели возможен только один тип движений, при котором соблюдаются законы сохранения как имиульса, так и момента импульса, — это колебания шаров вдоль стержня с равными по величине и иротивоиоложными по направлению скоростями, при которых центр тяжести О двух шаров остается в покое, или, иначе говоря, противофазные колебания. Поскольку оба шара колеблются так, что остаются на одинаковом расстоянии от точки О, то положение шаров однозначно определяется заданием только одной величины — расстояния обоих шаров от точки О. Таким образом, упругая гантель, до тех нор пока она является замкнутой системой, ведет себя как колебательная система с одной степенью свободы в том смысле, что в упругой гантели может происходить только одно гармоническое колебание —противофазное (в системе с двумя степенями свободы, как мы видели в 145, могут происходить два тина гармонических колебаний —синфазные и противофазные). [c.644]

В рассмотренном случае, когда соударение свободного шара и шара упругой гантели происходит вдоль оси гантели, помимо колебаний шаров гантели может возникнуть только поступательное движение гантели вдоль направления ее оси. Но в обш,ем случае соударения шаров, пронсходяш,его не вдоль оси гантели, а под углом к ней, в результате удара (так как после удара гантель становится замкнутой системой) может возникнуть вращение гантели вокруг одной из свободных осей. Как было показано ( 99), у гантели, как у всякого твердого тела, могут существовать три свободные оси две оси, проходящие через центр тяжести перпендикулярно к оси гантели и перпендикулярно друг к другу, и третья ось, совпадающая с осью гантели. Однако если мы, так же как при рассмотрении удара твердых молекул, будем считать, что поверхности шаров абсолютно гладкие и, значит, ни при каком направлении удара не могут возникнуть тангенциальные силы (т. е. силы трения), то мы должны, как и в 96, прийти к выводу, что при соударении гантели с шаром вращение гантели вокруг ее оси возникнуть не может. Поскольку возможно вращение упругой гантели вокруг только двух взаимно перпендикулярных осей, упругая гантель обладает двумя вращательными степенями свободы. Помимо того, как и всякое тело, упругая гантель обладает тремя поступательными степенями свободы. Как было показано ( 96), жесткая гантель обладает также тремя поступательными и двумя вращательными, т. е. всего пятью, степенями свободы. Что же касается упругой гантели, то, как мы убедились, упругой гантели свойственно еще одно движение — противофазные колебания шаров, положение которых однозначно задается расстоянием одного из шаров до центра тяжести гантели. Это значит, что помимо пяти указанных выше степеней свободы упругая гантель обладает еще одной, шестой, степенью свободы. [c.647]

По сравнению с поступательными и вращательными степенями свободы колебательная степень свободы обладает еще одной особенностью. В то время как поступательное и вращательное движения не связаны между собой в том смысле, что при изменении скорости поступательного движения гантели угловая скорость вращательного движения гантели может остаться неизменной, скорости колебательного и вращательного движения связаны между собой, так как при всяких движениях упругой гантели должны соблюдаться закон сохранения импульса н закон сохранения момента имиульса. Но так как при колебаниях шаров гантели момент инерции гантели изменяется, то при вращении гантели угловая скорость этого вращения должна изменяться таким образом, чтобы момент импульса оставался неиз-менн1.1м, т. е. когда шары удаляются друг от друга и от центра тяжести, угловая скорость вращения должна уменьшаться, а когда шары приближаются к иентру тяжести — угловая скорость должна возрастать. [c.648]

К тонкой упругой проволоке подвешен однородный шар массы т II радиуса г. Поворачивая шар вокруг оси, совпадающей с проволокой и вертикальным диаметром шара, ппоБОЛоку закручивают на небольшой угол фо, а затем предоставляют ей свободно раскручиваться. Определить амплитуду н период колебаний шара, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая, что возвращающий момент М, создаваемый упругими силами ироволоки, пропорционален углу закручивания ф М — 0(р, [c.174]

Для шаров, у которых размеры и свойства различаются не слишком сильно, продолжительность соударения, т. с. время, в течение которого шары сохраняют по сравнению с периодом низшей формы колебании шаров ). Следовательно, можно пренебречь колебаниями и считать, что уравнение (229), которое было выведено для статических услсвип, сохраняет силу и при соударении. Используя обозначения [c.422]

Движение воздуха или другой сжимаемой жидкости, на частицы которой не действуют никакие си.. ы. Случай, ко да существует потенциал скоростей, и скорость есть величина бесконечно малая. Вывод условий, определяющих потенциал скоростей. Плоские волны отраок ение последних. Шаровые волны. Вычисление потенциала скоростей из начальных данных для случая, когда воздушная область безгранична. Движение неизменяе.чого шара в воздухе. Колебания шара. Интенсивность производимых тонов. Колебание двух малых шаров) [c.257]

Примем уравнения (8) еще для двух случаев, а именно для неустановив-шегося движения и для случая колебаний шара в неограниченной извне жидкости, находящегося под действием некоторых сил. [c.315]

Период этого миниатюрного маятника был подобран так, чтобы он по возможности был равен периоду колебаний шара и проволоки. Тогда влияние жесткости проволоки на период колебаний последней системы незна штельн i, и геззие можно считать за точку подвеса. [c.146]

Рассмотрим теперь осесимметричную задачу о колебаниях шара с эксцентрической полостью под действием равномерного внешнего давления P os Для получения количественных резу 1ьтатов система (8.28) заменялась конечной системой, содержащей тринадцать уравнений. Все линейные размеры отнесены к радиусу полости Параметры задачи изменялись в следующих пределах 0,3<.a/ j<. <3,0 AaRi = 0,U Ro = 2,ORi, 6 = 0,l/ j и 0,3/ i. На рис. 8.8 и 8.9 показано распределение напряжений и Обб=Офф на перемычках АВ и D для различных aR . [c.198]

ДЛЯ рассеивания энергии необходимо относительное перемещение отдельных частей тела в этом случае прецессия вызывает периодически ускоренное движение всех частиц космического аппарата, за исключением центра масс. Устанавливая маятниковый механизм,систему с демпфирующей пружиной и массой-наконечником или диск, имеющие отличные от космического аппарата прецессионные характеристики (рис. 27), можно получить в результате две раз- личные динамические системы, перемещающиеся относительно друг друга на демпфирование относительного движения расходуется нежелательный избыток энергии. Наиболее распространенным демпфирующим устройством маятникого типа является расположенная по внешней стороне спутника изогнутая труба с движущимся внутри шаром собственная частота колебаний шара в трубе будет пропорциональна угловой скорости спутника, а вся система будет настроена на условия оптимального рассеивания энергии в широком диапазоне угловых скоростей спутника. Рассеивание энергии происходит за счет ударов, трения или гистерезиса. Иногда в подобном устройстве вместо шара используют ртуть—элемент с упругими и инерционными свойствами. Аналогичного эффекта можно добиться с помощью маятника, если подвеску его инерционной массы выполнить из упругого материала или поместить массу в вязкую среду [4, 9]. Маятник иногда располагают вдоль оси вращения на некотором расстоянии от центра масс с тем, чтобы усилить относительные перемещения, создаваемые прецессионными колебаниями (по сравнению с вариантом, когда тот же самый маятник располагается радиально от центра масс). Для демпфирования можно использовать также диск, помещенный в вязкую среду, поскольку отношения моментов инерции относительно соответствующих осей диска и космического аппарата различны. Аналогичную задачу мог бы выполнить элемент, установленный внутри спутника и вращающийся во много раз быстрее, чем сам спутник (такой элемент можно отнести к гироскопам). В принципе этот метод не отличается от предыдущих в том смысле, что он так-же основан на различии динамических характеристик указанного устройства и космического аппарата и на различии в частотах прецессии. Возникающее при этом относительное перемещение можно ограничить с помощью вязкой среды. [c.224]

ВреГМя полного колебания шара и заключенной в нем жидкости будет [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...