Классическая теория упругости уравнение колебаний

Предлагаемая книга — продукт второго направления. В ней, на современном уровне математической строгости, впервые с одинаковой в принципе полнотой, изложена общая теория трехмерных граничных задач статики, колебаний и общей динамики для линейных уравнений с постоянными и кусочно-постоянными коэффициентами классической теории упругости, термоупругости и моментной теории упругости. [c.10]

Формулы (1.52) и (1.54) остаются справедливыми для уравнений установившихся колебаний классической теории упругости, термоупругости и для моментной теории, если вместо Г (л — у) рассматривается соответствующая фундаментальная матрица. [c.210]

Формулы (9.29) и (9.30) остаются справедливыми и для уравнения установившихся колебаний классической теории упругости, если вместо Т (у — х) рассматривается матрица Купрадзе. [c.239]

Решить задачи 1, 2, 3 классической теории упругости для уравнения колебаний А (дх со) и= 0. [c.448]

Уравнения движения лопасти выводятся методами классической механики обсуждаются также другие возможные подходы к анализу. Определяются собственные частоты и формы изгибных колебаний лопасти. В анализе почти повсеместно используется инженерная теория упругой балки. Предполагается, что сечение лопасти абсолютно жестко таким образом, моделью лопасти является тонкая балка, упругая на изгиб и кручение. Это очень хорошая модель, хотя для решения некоторых задач, например для определения параметров комлевого сечения, может потребоваться более детальное рассмотрение конструкции. [c.351]

Рассмотрим ортотропную прямоугольную пластинку, по--казанную на рис. 1(a). Стороны пластинки предполагаются параллельными осям упругости материала пластинки. Толщина пластинки принята равной /12 для области, определенной координатами ai х й2 и bi у Ь2, и равной hi на всей оставшейся области. Предположим, что пластинка разрезана на две части с толщинами hi и /гг. Согласно классической теории малых перемещений, свободные колебания прямоугольной пластинки толщины hi i — 1, 2) описываются уравнением [c.158]

Сформулировать задачи, аналогичные задачам III и IV классической теории (см. I, 14 п. 1) для уравнения установившихся колебаний моментной упругости, и доказать для них теоремы единственности. [c.122]

Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются-, задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и энергии относительно неинерциальных систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей. [c.2]

Уточненными будем называть теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих в некотором смысле области применения классических теории. Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на гипотезах Кирхгофа—Лява. По существу, в этих теориях применяются простейшие — линейные по поперечной координате аппроксимации и не учитываются упругие поперечные взаимодействия. Классическая теория продольных колебании стержней и теория обобщенного плоского напряженного состояния пластин также являются простейшими аппроксимациями, основанными на предположениях о постоянстве характерных функций по сечению (толщине) и малости поперечных эффектов. Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям. Можно сказать, что это является следствием физического и математического несовершенства классических динамических теорий. Эти теории предсказывают, например, бесконечные скорости распространения фронтов возмущений и не улавливают элементарных упругих толщинных эффектов. [c.5]

В. И. Коваленко [1.33] (1968) исследовал свободные колебания основной частоты короткого стержня применительно к лопаткам турбин. Уравнения балки Тимошенко решаются при довольно сложных граничных условиях. На одном конце заданы граничные условия, соответствующие защемлению, но с учетом упругой податливости поворота. На свободном конце учитываются поперечная сила инерции сосредоточенной массы (бандажа) и изгибающий момент, обусловленный упругим креплением бандажа. Построены графики изменения относительной частоты il)=io/(i)o (здесь о и ыо — частоты, соответствующие уточненной и классической теориям) в зависимости о т относительной длины I. Одна из таких кривых [c.85]

Исследование колебаний неоднородных ограниченных упругих тел приводит к решению дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, что представляет очень большие трудности. Роль приближенных уточненных теорий в связи с этим еще больше возрастает, так как анализ соответствующих им уравнений значительно проще, чем трехмерных уравнений. Кроме того, деформация сдвига при наличии неоднородностей может оказывать существенное влияние на колебания и классическая теория Бернулли—Эйлера будет приводить к большим погрешностям. [c.91]

Большое развитие уточненные уравнения типа Тимошенко-получили в динамике анизотропных пластин. В первую очередь это относится к пьезоэлектрическим кристаллам, колебания которых на основе трехмерных уравнений теории упругости и пьезоэффекты исследовать трудно, в то же время уточненные уравнения позволяют решить ряд практически важных задач. Классические же уравнения пластин во многих случаях дают слишком элементарное описание. [c.124]

Трудности расчета переходных процессов в машинах, представляющих многомассовые разветвленные схемы, заключаются прежде всего в том, что теория колебаний систем с многими степенями свободы, а следовательно, и классические методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений все еще сложны для целей инженерного применения не столько с вычислительной стороны, сколько со стороны анализа упругих сил и синтеза параметров машин в целях получения наиболее благоприятного переходного процесса. При это.м необходимо отметить, что трудности инженерных расчетов переходного процесса растут гораздо в большей степени, чем сложность машины. Поэтому сделать полный и особенно наглядный анализ, например трехмассовой системы, так, чтобы он содержал конкретные ее параметры и в простой связи, в настоящее время трудно. [c.4]

Что же в итоге дала эпоха становления и утверждения классической механики, эпоха от Галилея до Ньютона, в учении о колебаниях и волнах Пользуясь современной нам терминологией, мы можем подытожить труды целого столетия следующим образом. Во-первых, была построена теория малых колебаний (около положения равновесия) системы с одной степенью свободы (маятник) как незатухающих, так и при наличии вязкого сопротивления. Теория была построена в геометрической форме, ее еще предстояло перевести на язык анализа и представить как результат интегрирования дифференциального уравнения. Во-вторых, была дана в основном оправдавшая себя схема распространения волн сжатия и разрежения в идеальной жидкости, выявлена зависимость скорости распространения этих волн от упругости (давления) и плотности среды. В-третьих, была дана (слишком) упрощенная физическая схема образования волн на поверхности тяжелой жидкости. В-четвертых, был найден плодотворный принцип для построения фронта распро- [c.261]

Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимосвязи возможно только на основе термодинамических соображений. Томсон (1855) впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела. Ряд исследователей [Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1953) и др.] с помощью методов классической термодинамики получили связанные уравнения термоупругости. Однако в рамках классической термодинамики строгий анализ справедлив лишь для изотермического и адиабатического обратимых процессов деформирования. Реальный процесс деформирования, неразрывно связанный с необратимым процессом теплопроводности, является в общем случае также необратимым. Термодинамика необратимых процессов, разработанная в последние годы, позволила более строго поставить задачу о необратимом процессе деформирования и дать единую трактовку механических и тепловых процессов, нашедшую отражение в работах Био (1956), Чедвика (1960), Боли и Уэйнера (1960) и др. В связи с этим более четко определилась теория термоупругости, обобщающая классическую теорию упругости и теорию теплопроводности. Она охватывает следующие явления перенос тепла теплопроводностью в теле при стационарном и нестационарном теплообмене между ним и внешней средой термоупругие напряжения, вызванные градиентами температуры динамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и, в частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом ударе термомеханические эффекты, обусловленные взаимодействием полей де( юрмации и температуры. [c.6]

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8]. [c.226]

Классические уравнения продольных и изгибных колебаний стержней, по существу, являются одномодовыми аппроксимациями краевых задач трехмерной динамической теории упругости . Уточнения классических теорий, которые не приводят к увеличению числа мод, сравнительно мало улучшают эти теории. К таким уточнениям относятся поправка Лява >, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Релея >, которая-учитывает инерцию вращения элемента балки при ее изгибных колебаниях. [c.12]

Колебания однородной балки Тимошенко на упругом вин-клеровом основании при действии внезапно приложенной сосредоточенной силы рассматривались А. И. Цейтлиным [1.83] (1961). Четвертая производная по времени в дифференциальном уравнении Тимошенко (2.7) не учитывается, и это дает возможность, применяя преобразование Фурье по пространственной координате, получить решение в квадратурах. Рассмотрен пример действия импульса конечной продолжительности, и показано, что отличие от классической теории существенно лишь в начальные моменты времени. [c.69]

Л. Б. Именитов [2.12, 2.13] (1969) исследовал собственные колебания прямоугольной шарнирно опертой пластины, исходя из трехмерных уравнений динамической теории упругости, к которым применяется асимптотический метод интегрирования. Напряженное состояние пластины представлено в виде суммы основного медленно затухающего напряженного состояния и вспомогательных быстро затухающих от краев напряженных состояний. Для их определения применяются итерационные процессы. При этом первое приближение соответствует классической теории, вычислены также второе и третье, уточняющие приближения. Показано, что при отношении ширины квадратной пластины к толщине alh=25 асимптотические поправки к частоте по классической теории пластин малы. Из сравнения с точным решением показана также малость погрешности асимптотического решения даже при alh=6. [c.147]

В работе J. R. Ыоус1 а и J. М11<1о у112 а [2.132] (1962) рассматриваются колебания пластины на упругом основании. Анализируется дисперсионное уравнение, соответствующее трехмерным уравнениям теории упругости, и дано сравнение с результатами приближенных теорий классической и Тимощенко. Упругое основание характеризуется коэффициентом постели Ке, толщина пластины равна Н. Для трех низших мод при различных Ке изображены зависимости частоты О от комплексного волнового числа г. При абсолютно жестком основании такая задача оказывается эквивалентной [c.151]

В. Н. Москаленко [2.31] (1962) для опертой трехслойной пластины на основе трехмер-ных уравнений теории упругости получил систему частотных уравнений, из которой можно выделить корни, соответствующие уточненным уравнениям колебаний пластины. Исследуются свободные колебания опертой по краям прямоугольной пластины на основе трехмерных уравнений. Частотное уравнение распадается на два трансцендентных уравнения. Обнаружено, что первый корень второго уравнения соответствует классической теории изгиба,а один корень первого уравнения и два корня второго соответствуют рассматриваемым уточненным уравнениям. Показано, что эти уравнения дают удовлетворительное приближение для трех серий частот. Необходимо отметить также работы [2.30, 2.32—2.34]. [c.162]

J С. Т. Wu и J. R. Vinson [2.218] (1969) исследовали колебания ортотропных пластин с учетом инерции вращения и сдвига, причем отношение. модуля уп.руго.сти в плоскости к модулю упругости поперечного сдвига очень велико (до 50) по сра внению с изотропной пла.стинои (до 3). Это характерно для композитных материало.в. Исходя из вариационного принципа получена система восьми уравнений, которые сводятся к т рем уравнениям относительно прогиба и двух углов поворота. В случае свободного опирания четырех краев прямоугольной пластины получено частотное бикубическое уравнение. Для типичного композитного материала исследуется отиошение ювадрато частот поперечных колебаний на основе построенных уточненных уравнений, но без учета инерции вращения, и по классической теории. Показано, что учет поперечного сдвига приводит к существенному уменьшению час-ТОТЫ даже. при малых относительных толщинах пластин. [c.163]

В статьях Л. Е. Огеепзроп а [3.95—3.98] (1958) в постановке трехмерной теории упругости исследуются изгибные неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки конечной длины при следующих граничных условиях на торцах О22 = иг=ие=0 и на внешней и внутренней поверхностях Ог0=аг0=0г2 = Р. Такие условия соответствуют случаю, когда края свободны для продольных перемещений и шарнирно закреплены относительно изгибных перемещений. Решения по 0 и 2 выбираются в виде произведения тригонометрических функций так, чтобы граничные условия на торцах удовлетворялись. Условия же на поверхностях приводят к частотному уравнению. Показано, что с увеличением относительной толщины область применимости классической теории смещается все дальше и дальше в сторону длинных волн. Теория типа Тимошенко редуцируется к точным решениям по частотам соответствующим выбором коэффициента сдвига. Необходимо отметить, что наличие коэффициента сдвига является недостатком теории, так как лишает возможности сделать какие-либо оценки. Кроме того, по фазовым скоростям нельзя судить об аппроксимации деформированного и напряженного состояния. Например, в работе [3.96] для толстой оболочки /г// =0.7 построено распределение перемещений и напряжений по толщине. Видно сильное отклонение от предположений теории оболочек о линейном распределении перемещений и напряжений и сггг=0- [c.203]

А. Kalnins [3.1171 (1961) уточнил соотношения, полученные в своей предыдущей работе, применительно к исследованию неосесимметричных колебаний упругих сферических пологих оболочек введением продольной и поперечной инерции, а также поперечного сдвига, с целью расширения пределов применимости теории по частотам и толщинам по сравнению с классической теорией оболочек. Задача приведена к трем независимым дифференциальным уравнениям относительно прогиба и двух функций, определяющих перемещения вдоль линий кривизны. Приведено решение этой системы и рассмотрены свободные колебания оболочки, защемленной по краю. Частотный спектр пологой оболочки подразделяется на три части, которые соответствуют трем доминирующим формам колебаний сдвиговая по толщине, продольная, поперечная. [c.208]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

Динамические задачи оптимального управления системами математически корректно были, вероятно, впервые сформулированы в работах A.A. Фельдбаума. Основы математической теории оптимальных процессов были заложены коллективом математиков под руководством академика Л.С. Понтрягина. Эти работы послужили источником многочисленных исследований. Одно из направлений исследований связано с решением задач об оптимальном управлении систем с распределенными параметрами (см. [11-13, 26, 27, 31-41, 79, 86, 101]). Те же задачи исследовались методами классического вариационного исчисления [79, 81, 85, 106, 110, 111]. Работам этого типа посвящены многочисленные обзоры (см., например, [12, 91, 127]). В задачах управления упругими колебаниями процесс зачастую можно описать уравнениями с отклоняющимися аргументами. Поэтому в теории управления системы с запаздыванием рассматривались многими авторами (см., например, [73]). Это направление в исследованиях по управлению колебаниями здесь не обсуждается и является темой специального анализа. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...