Уравнения динамики упругих тел

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что по отдельности ни волна, идущая к границе, ни волна, идущая от нее, не удовлетворяют краевым условиям. Поэтому естественна и физически обоснована попытка искать решение задачи для полупространства в виде суммы отдельных волн различного типа, что законно в силу линейности уравнений динамики упругого тела. Отметим при этом, что начальные условия учтены выбором направления распространения волны. [c.434]

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ТЕЛ [c.137]

Вместе с тем отметим также следующее. Построению общих решений уравнений движения, как и в случае статических задач, уделяется очень большое внимание. Представление (1.15) и (1.16), конечно, является не единственно возможным [104, 186]. Работы по построению новых представлений несомненно важны с точки зрения исследования структуры уравнений динамики упругого тела. Од--нако если проанализировать полуторавековой исторический опыт, то окажется, что роль таких общих представлений при фактическом решении граничных задач теории упругости весьма мала. [c.21]

Динамические уравнения. Об основных задачах динамики упругого тела. Хотя в этой книге мы будем заниматься только вопросами равновесия, мы все же выведем уравнения динамики упругого тела, укажем постановку простейших основных задач относительно этих уравнений и докажем единственность решения этих задач. Попутно мы получим выражение для потенциальной энергии деформированного тела. [c.79]

Вывод уравнений динамики упругого тела никаких затруднений не-представляет. Эти уравнения могут быть сразу получены из уравнений статики на основании принципа Даламбера. Действительно, для этого-достаточно написать уравнения статики, присоединив к объемным силам еще силы инерции, [c.79]

Уравнения Ламе. Внося в дифференциальные уравнения равновесия [(12) гл. 11 компоненты напряжения согласно (11) гл. 1 и заменяя компоненты деформации по формулам Коши [(17) гл. 1], находим дифференциальные уравнения динамики упругого тела [c.26]

Таким образом, общее уравнение динамики упругого тела записывается в виде [c.124]

Из всего этого видно, что картина динамических деформаций упругих тел обычно весьма сложна и, соответственно этому, решение данных задач, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Не следует думать, однако, что проблема исследования уравнений динамики упругого тела целиком сводится к изучению возникновения и развития волновых процессов. С практической точки зрения отнюдь не меньшее значение имеет изучение установившихся свободных или вынужденных колебаний упругих тел. [c.203]

Рассмотрим уравнения динамики упругого тела, написанные для случая плоской деформации [c.226]

Задача о динамических деформациях тела, взаимодействующего с идеальной сжимаемой жидкостью, формулируется следующим образом. В уравнения динамики упругого тела в качестве поверхностной нормальной нагрузки добавляется давление в жидкости на поверх- [c.284]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Уравнения динамики линейных вязкоупругих систем. Уравнения движения вязкоупругого тела по форме аналогичны уравнениям движения упругого тела при условии, что вместо упругих констант в эти уравнения должны быть внесены операторы. Динамические уравнения Ламе примут вид [c.145]

Исходные уравнения пространственных задач теории упругости и основные методы их решения сформулированы в ряде учебников и монографий по теории упругости (см., например, [59, 63, 78, 130]). Ниже выводятся лишь некоторые соотношения статики в динамики упругого тела, необходимые в дальнейшем для исследования предельного равновесия квазихрупкого цилиндра, ослабленного внешней кольцевой трещиной. [c.18]

Так как операция проекционного преобразования не изменяет свойств исходных уравнений, уточненные уравнения динамики оболочки (1.84) сохранили гиперболичность исходных соотношений динамики упругого тела. Это свойство позволяет использовать их для исследования явлений образования, распространения и отражения бегущих изгибных волп в оболочке. [c.109]

Успехи динамики упругих тел в Советском Союзе были в известной мере подготовлены достижениями ученых дореволюционной России. Первые работы по общим методам интегрирования уравнений динамической теории упругости были выполнены еще в 1831 г. М. В. Остроградским, построившим (одновременно с С. Пуассоном) решения уравнений движения при произвольных начальных данных. Суммируя решения простого гармонического типа, М. В. Остроградский получил решение, соот-ветствующее распространению в неограниченной упругой среде волн двух типов волн расширения и волн искажения. При распространении волн первого типа в среде возникают сжатия, растяжения и сдвиги, но отсутствуют вращения волны второго типа вызывают сдвиги и вращения, не создавая объемного расширения. [c.292]

Поведение материалов при динамическом нагружении часто существенно отличается от их статического поведения. Это показывает, что адекватное описание динамического поведения материалов мон ет потребовать использования определяющих уравнений, зависящих от времени. Таким образом, к трудностям преимущественно математического характера, возникающим при решении задач динамики упругих тел, в динамике неупругих тел добавляются новые трудности, связанные с выбором надлежащей модели материала, т. е. с выбором определяющих уравнений. [c.302]

Из этого перечня видно, что книга не претендует на освещение всех вопросов теории упругости анизотропного тела, а излагает только некоторые, наиболее изученные, но еще не приведенные в систему. В ней не содержится исследований по изгибу и устойчивости анизотропных пластинок, так как эти вопросы достаточно полно разработаны в нашей книге <Анизотропные пластинки . Задача о плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии изложена сжато (в связи с более общей задачей), причем из частных случаев рассмотрены только наиболее важные. В книге не затронуты проблемы равновесия и устойчивости анизотропных оболочек, а также динамики упругого тела (за исключением общих уравнений движения) Во всех случаях предполагается, что деформации являются упругими и малыми, а материал следует обобщенному закону Гука. В конце имеется перечень литературы, куда, кроме работ, излагающих специальные вопросы, включены также некоторые основные курсы теории упругости. [c.12]

Уравнения (2.1) вместе с вторым уравнением (1.30), а именно Т = 611168 и уравнением (1.48) образуют систему пяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для определения пяти зависимых переменных , 7 и 5. Эти уравнения показывают, что механические и тепловые явления в динамике упругого тела связаны между собой. Получить решения полной системы уравнений весьма трудно (за исключением нескольких частных случаев). Один из этих частных случаев мы рассмотрим в гл. 5. [c.34]

Отметим аналогию между динамикой упругого тела при антиплоской деформации и динамикой идеальной сжимаемой жидкости. Линеаризованное уравнение относительно потенциала, определяющего безвихревое движение идеальной упругой жидкости, совпадает с первым из уравнений (1.4), в котором, однако, следует изменить значение постоянной, а именно в выражении = (1/р)(/С + 4ц/3) положить ц = О (жидкость идеальна - не сопротивляется сдвигу). Второе уравнение удовлетворяется тождественно, так как движение жидкости безвихревое. Обычно состояние жидкости описывают полями скоростей и давлений [c.177]

Нелинейная зависимость между X и U может быть проиллюстрирована на примере возникновения динамических нагрузок Рд при наличии зазоров в сопряжении в результате его износа (рис. 32, б). Сила соударения двух упругих тел нелинейно зависит от величины зазора и может быть получена из решения соответствующих дифференциальных уравнений динамики. [c.119]

К числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неоднородностях. Это объясняется тем обстоятельством, что практически во всех возникающих задачах наличие неоднородности (включения, полости, выреза, локального изменения свойств и т. д.) является почти непременным условием и информация о динамической напряженности возле этих неоднородностей необходима для различных целей. В то же время задачи дифракций упругих волн на неоднородностях входят в состав классических задач динамики деформируемых тел, а их решение требует привлечения сложного математического аппарата. Последнее обстоятельство наряду с другими не позволило на протяжении длительного времени исследовать широкие классы задач с оценкой динамической напряженности вблизи неоднородностей и основные достижения получены в основном в трех традиционных направлениях. Первое направление связано с построением точных аналитических решений отдельных весьма немногочисленных задач в большинстве случаев без анализа динамической напряженности вблизи неоднородностей. Второе направление состоит в сведении весьма широких классов задач дифракции упругих волн к системам многомерных сингулярных и регулярных интегральных уравнений с последующим доказательством существования и единственности решения. Третье направление связано с развитием асимптотических методов решения задач дифракции упругих волн, в большинстве случаев не позволяющих определить динамическую напряженность вблизи границ раздела свойств (вблизи неоднородностей). [c.5]

Совершенно так же обстоит дело с расчетом движений в упругих телах и в газах. Учет их особых механических свойств также приводит к усложнению кинематического описания движений в этих средах, заставляет вводить ряд новых кинематических величин, дает дополнительные уравнения, выражающие свойства этих сред, вынуждает писать законы динамики для каждой частицы в отдельности. Но смысл и содержание этих законов остаются неизменными. [c.284]

Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707— 1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку ( динамические уравнения Эйлера ), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении. [c.11]

В частях I, II, III, посвященных физической динамике, мы рассматривали материальные системы самого общего вида, не накладывая никаких ограничений на число степеней свободы (само это понятие было введено лишь в части IV) поэтому все полученные там результаты были справедливы в самом общем случае — в частности, для случая сплошной среды (упругого тела, жидкости, газа). Однако, рассматривая самый общий случай материальной системы, мы не смогли решить основной задачи динамики в случае несвободной системы (т. е. исключить неизвестные реакции связей и свести дальнейшее решение к чисто математической задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений). Это удалось нам сделать только в части IV, посвященной элементам аналитической механики,— [c.440]

Скорости деформаций аппроксимируются линейными функциями. Вклад в энергию моментных составляющих, характеризующих градиент скорости деформаций в элементе, регулируется весовыми коэффициентами, что позволяет в рамках единой схемы исследовать динамику массивных тел, стержней и оболочек. Напряжения определяются подстановкой скоростей деформаций в уравнения состояния (3). В силу малости весовых коэффициентов связь между градиентами напряжений и скоростей деформаций предполагается линейно упругой. Пластические свойства материала учитываются при вычислении напряжений в центре конечного элемента. Напряжения по толщине элемента аппроксимируются кусочно-постоянной функцией, определяемой из уравнений состояния (3) исходя из линейного распределения скоростей деформаций вдоль нормали к срединной поверхности. Численная схема определения контактного давления и статически [c.117]

Из фундаментального решения уравнения динамики изотропного упругого тела [c.84]

Книга содержит обзорные и оригинальные статьи ведущих российских ученых по основным разделам нелинейной механики. Излагаются вопросы составления и анализа уравнений движения механических систем с различными связями (в том числе и с односторонними с учетом ударных явлений), в различных силовых полях (в том числе при наличии сил сухого трения). Обсуждаются вопросы корректности тех или иных моделей механики, вопросы интегрируемости и детерминированного хаоса, вопросы устойчивости и теории возмущений. Исследуются разнообразные конкретные механические системы задача трех тел с учетом их несферичности или упругости, задачи динамики космических аппаратов, задачи динамики твердых тел в различных силовых полях (в том числе с учетом ударных взаимодействий и сил сухого трения), задача динамики твердого тела со струнным приводом, орбитальные тросовые системы и т. д. [c.3]

В динамике твердого тела, сопротивления материалов, теории упругости используют графическое представление симметричных тензоров в виде поверхностей второго порядка с уравнениями (предполагается суммирование по дважды повторяющемуся индексу) [c.53]

Существует аналогия между уравнениями Эйлера-Пуассона и уравнениями, описывающими равновесие бесконечно тонкого упругого цилиндра — нити, впервые обнаруженная Г. Кирхгофом [85]. Эта аналогия в некотором смысле позволяет пространственно интерпретировать динамику твердого тела, заменяя исследование эволюции системы во времени анализом формы упругой нити, точнее — положения связанного с кривой репера в абсолютном пространстве. [c.87]

Рассматриваются граничные интегральные уравнения динамических задач для упругих тел с трещинами в пространстве преобразований Лапласа. В связи с этим все излагаемые результаты относятся к дифференциальным и интегральным уравнениям, а также функциям в пространстве преобразований Лапласа. Поэтому в соответствующих местах во избежание повторений слова в пространстве преобразований Лапласа опускаются. Введенные выше поверхностные потенциалы (5-4) удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости везде в области V за исключением внешней границы дУ и поверхностей трещин й. Частные решения, соответствующие действию объемных сил и неоднородным начальным условиям, выражаются объемными потенциалами. В связи с этим решение той или иной задачи динамики упругих т л с трещинами можно представить в виде суммы граничных и объемных потенциалов. Граничные потенциалы должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничным условиям на внешней поверхности тела дУ и поверхностях трещин й. Для нахождения этих неизвестных строятся граничные интегральные уравнения. При этом используются интегральные соотношения (5.51) или (5.58), в которых учтены свойства граничных потенциалов на границе тела (5.39) и на поверхности трещии (5.43). Во избежание повторений ниже будем использовать соотношения (5.58). [c.124]

Замечая, что величину dpjdp можно принять за характеристику сжимаемости среды — роста плотности с давлением,—заключим, что чем больше сопротивляемость среды сжатию, тем больше скорость распространения звука в ней. Приведем округленные значения скорости распространения звука в разных средах в воздухе — 340 м/с, в воде—1500 м/с, в твердом теле — 5000 м/с (вопрос о распространении малых возмущений в твердых телах представляет особые трудности, так как требует рассмотрения уравнений динамики упругого тела с характерными для него двумя скоростями распространения возмущений). Очень малые скорости распространения звука наблюдаются в легко сжимаемых жидких пенах. [c.153]

В случае динамики упругого тела, как и в случае статики, для уравнений (5.4) также ставятся три основные задачи. В отличие от основных граничных задач статики упругого тела, в случае ди- амической нагрузки к граничным условиям следует присоединить еще и начальные условия, состоящие в задании проекции вектора перемещения Uk° и проекции вектора скорости Vk° точки тела в некоторый момент времени to, с которого начинается изучение задачи, т. е. [c.86]

Упругие волны в элементах конструкций — стержнях, пластинах оболочках — определяются уравнениями динамики упругой среды, приведенными в главе 1. Однако по истечении некоторого времени после приложения нагрузки волновая картина становится здесь достаточно сложной вследствие многократного отражения отдельных волн от границ тела. Для того чтобы дать удовлетворительное количественное описание процесса, необходимо отказаться от абсолютной точности (в рамках данной теории) в пользу простоты, по крайней мере, в тех районах, где число отраженных волн велико. Это, вообп е говоря, выполнимо с помощью асимптотических методов. [c.214]

К спорным вопросам методики изложения, принятой в настоящем курсе, мы относим, например, предлагаемый авторами способ вывода общего уравнения энергии на основе первого начала термодинамики ( 4-2). Нам представляется, что традиционный способ использования первого начала термодинамики при выводе уравнения энергии, принятый в лучших отечественных курсах газовой динамики, является более корректным и дает возможность яснее представить сущность делаемых при этом термодинамических допущений. Недостаточно ясна с математической точки зрения трактовка понятий материального метода и метода контрольного объема в 3-6. Оба метода опираются на эйлерово представление о движении жидкой среды. Их противопоставление, как нам кажется, носит иногда искусственный характер. При выводе общих уравнений движения вязкой жидкости — уравнений Навье — Стокса — авторы, видимо, следуя Г. Шлихтингу , опираются на аналогию с напряженным состоянием упругого тела. При этом предполагается знание читателем некоторых вопросов теории упругости. Вряд ли такой способ вывода фундаментальных гидродинамических уравнений будет удобен для любого читателя. Еще одним спорным в методическом отношении местом является то, что изложение теории турбулентного пограничного слоя опережает изложение представлений о турбулентном течении в трубах. Между тем, как известно, теория пограничного слоя использует некоторые зависимости, устанавливаемые при изучении течений в трубах. Поэтому, может быть, естественнее начинать изложение вопроса [c.7]

Подводя итоги, мы приходим к выводу, что развитие теории упругости к концу XVJII в. продолжало значительно отставать от уровня развития гидромеханики. Если в гидромеханике трудами Клеро, Даламбера, Эйлера и Лагранжа уже был создан единый аналитический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение идеальной жидкости, то в теории упругости в этот период решаются лишь отдельные частные задачи статики и динамики твердых тел, в которых учитываются упругие свойства материала. Однако до создания обобщающих теорий не дошли. Аналитический аппарат дифференциальных уравнений был применен только к рассмотрению одномерных задач теории упругости и не дал удовлетворительных результатов при рассмотрении двумерных задач, Б теории упругости важные результаты были получены при изучении внутренних сил. Было установлено, что внутренние силы могут действовать не только по нормали к сечению, по и под любьш углом к нему, в том числе и по касательной. Все это очень близко подводило к общему понятию напряжения (в работах Кулона), [c.189]

Разработку новых методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики мы находим главным образом в трудах Гамильтона, французского ученого Пуассона (1781—1840) и выдающегося немецкого математика Якоби (1804—1851). В связи с прогрессом машиностроения, железнодорожной и строительной техники, с необходимостью исследования -движения тел в сопротивляющейся среде в XIX в. и в особенности в текущем столетии весьма быстро и успешно развивается механика сплошной среды — гидро- и аэромеханика и теория упругости. Развитие этих разделов теоретической механики, представляющих собой в настоящее время обширные самостоятельные дисциплины, связано с именами таких крупнейших ученых, как Пуассон, Ляме, Навье, Коши, Сен-Венан (во Франции), Гельмгольц, Кирхгоф, Клебш, Мор, Прандтль (в Германии), Стокс, Грин, Томсон, Рэлей (в Англии) и многих других. [c.22]

Применяя уравнение (14.105) к пластической деформации упругого тела, которое мы рассматриваем как сплошную среду, мы получим уравнение (14.95). Следовательно, вариационное уравнение (14.98), вытекающ,ее из (14.95), является вариационным уравнением Журдена в динамике пластической среды. [c.390]

Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязкоупругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода. В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее уравнение зависит от времени. Начало этому направлению подолбили работы А. А. Ильюшина (1940, 1941), в которых в качестве определяющих уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом, деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления) и описан сконструированный автором первый пневматический копер, позволявший достигать скоростей деформаций порядка 10 Исек (с помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов). Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян, 1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического тела принадлежат к классу уравнений параболического типа. [c.303]

Разговор о статике в общей механике закончим принципом Да-ламбера уравнения динамики отличаются от статических лишь наличием дополнительных сил инерции — . Принцип Даламбера очевиден, но бездумное его применение может привести к ошибкам. Например, уравнения вязкой жидкости в статике и динамике отличаются не только инерционными членами. В данной же книге рассматриваются лишь упругие тела, и принцип Даламбера будет работать. [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...