Линейная теория, плоские волны

Как известно, гамильтониан свободного электромагнитного поля может быть записан в виде суммы членов, каждый из которых имеет форму гамильтониана гармонического осциллятора с некоторой собственной частотой. Это соответствует возможности рассматривать поле излучения как линейную суперпозицию плоских волн различных частот. В квантовой теории каждый гармонический осциллятор с частотой <л может иметь только следующие значения энергии (л + Уг) . где п = 0. 1, 2, . . Это приводит к представлению о фотонах как квантах электромагнитного поля. Состояние свободного электромагнитного поля характеризуется числами п для каждого из осцилляторов поля. Другими словами, оно характеризуется числом присутствующих фотонов каждой частоты. [c.278]

При обсуждении волнового уравнения было выявлено большинство основных идей линейной теории гиперболических волн в пространствах двух и трех измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам. Для плоских волн в однородной среде оказалось возможным разработать законченную нелинейную теорию. Однако в противоположность линейной теории, которая была почти тривиальной, здесь потребовались глубокие идеи и изощренные методы. Значительные трудности ожидаются в задачах с большим числом измерений или в случае неоднородной среды, где даже линейная теория становится сложной. Цилиндрические и сферические волны все еще описываются двумя независимыми переменными, но возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для них содержат переменные коэффициенты. Аналогичная ситуация имеет место для плоских волн в неоднородной среде. [c.254]

Вертгейма, но и многих других исследователей озадачивал вопрос о том, как связаны скорости продольных и поперечных волн в стержнях со скоростями волн расширения и сдвиговых волн, которые получаются из линейной теории упругости. Была сделана попытка использовать аналогию путем сравнения измеренных скоростей волн в жидкости в трубах и в больших массах воды, а также проведены экспериментальные исследования скоростей продольных и поперечных волн в больших плитах, в которых было введено ошибочное предположение о том, что волны Ламба (плоские волны расширения в плоскости тонких плит) распространяются со скоростью волн расширения линейной теории. [c.303]

В линейной теории вычисления могут быть проведены относительно простыми аналитическими средствами, так как линеаризированные уравнения потока в основном совпадают с уравнениями волнового движения малой амплитуды. Следовательно, многие хорошо известные методы теории волн могут быть применены в такой упрощенной сверхзвуковой аэродинамике это особенно справедливо для случая тонких тел вращения (например, для фюзеляжа самолета, корпуса снаряда и для плоских тел, подобных крылу самолета). В этих случаях может быть сделано дальнейшее упрощение, которое касается граничных условий задачи, а именно, требования плавного обтекания. Это условие определяет, в случае осесимметричного потока, направление вектора скорости на поверхности, а в случае плоского тела — направление составляющей вектора скорости, лежащей в плоскости нормальной к средней поверхности тела. Линеаризированные дифференциальные уравнения при указанных граничных условиях можно решить точно, но, обычно, приходится применять численные и графические методы. Поэтому желательно дальнейшее упрощение задачи, которое достигается с помощью предельного перехода от точных граничных условий к условиям, относящимся к оси тела вращения или к плоскости плана крыла вместо действительной поверхности. Приводимые ниже результаты основаны на этом приближении. Строго говоря, только это приближение согласуется с допущениями линейной теории, потому что если удовлетворить граничным условиям на действительной поверхности, то, в рассмотрение, вообще, войдут члены высшего порядка, которые были отброшены в дифференциальных уравнениях. [c.13]

Дальнейшее приближение, выходящее из рамок линейной теории, можно получить по меньшей мере для плоского и осесимметричного потока, если вместо линеаризированных воспользоваться точными уравнениями движения, пренебрегая отражением линий Маха от ударной волны. Этот метод применялся многими авторами для вычисления распределения давления на профиле. [c.57]

Для простоты рассмотрим сначала ламинарный пограничный слой на плоской пластине. Пусть на расстоянии О (1) от передней кромки возникает область с возмущением давления Ар <С 1. Такое возмущение может быть вызвано, например, поворотом контура тела на малый угол или падением слабой ударной волны (рис. 1.1). Поскольку в пограничном слое всегда существует дозвуковая область течения, то это возмущение распространится вверх (и вниз) по течению на некоторое расстояние Ах Л и вызовет изменение толщины вытеснения пограничного слоя А<5. Согласно линейной теории сверхзвуковых течений [c.22]

Возможно аналитическое решение проблемы, когда течение в возмущенной области описывается линейной теорией звука. Таким способом может быть решена задача отражения и дифракции плоской звуковой волны от угла, образованного двумя пересекающимися твердыми пло- [c.306]

Подчеркнем, что в случае нестационарных движений с плоскими волнами согласно линейной теории по однородному состоянию могут распространяться волны конечной ширины, в которых во всей области волны возмущения давление, как и скорость частиц, имеет [c.233]

В соответствии с нелинейной теорией в бегущих непрерывных волнах при их распространении могут возникнуть разрывы с меняющейся во времени интенсивностью. По линейной теории разрывы могут образоваться лишь вследствие их наличия в начально-краевых условиях, причем в случае плоских волн их интенсивность в процессе распространения не изменяется. [c.239]

При действии на поверхность тела импульса давления или энергии возникает волна сжимающих напряжений, распространяющаяся в глубь материала. Волна сжатия чаще всего приводит к разрушению при выходе на свободную поверхность или границы слоев, где она может трансформироваться в волну растяжения. Если нагрузка достаточно кратковременна, то вслед за волной сжатия возникает волна растяжения, которая представляет существенную опасность и может привести к так называемому наружному отколу [130]. В данном параграфе излагаются результаты исследований разрушения материалов в плоских волнах напряжений, вызванных тепловой нагрузкой, недостаточной для начала фазовых переходов первого рода. Рассматриваются случаи весьма кратковременных (10 —10 с) и более длительных процессов. В первом случае временем нагрева тела излучением не пренебрегаем, но используем линейный подход к расчету прочности, во втором случае поглощение излучения полагаем мгновенным процессом и используем развитую выше нелинейную теорию расчета прочности. [c.184]

В линейной теории учитывается только поток количества движения, обусловленный напряжениями так как ри П) включает произведение малых величин. Для плоских волн, распространяющихся, например, в направлении Х1, на которых мы остановимся в силу соображений, приведенных выше, единственной важной составляющей р оказывается рц. [c.101]

Таким образом, если свойства жидкости и трубы (или канала) однородны в продольном направлении, то линейная теория приводит к тому же самому одномерному волновому уравнению, которое описывает плоские звуковые волны, с тем отличием, что значение скорости волны с оказывается измененным вследствие растяжимости трубы (или канала). Действительно, уравнение (9) можно записать в виде [c.121]

Однако подобное расширение области исследований с целью охвата дополнительных сложностей нелинейных явлений должно с самого начала сопровождаться жесткими ограничениями в других отношениях. В разделах 2.8—2.11 мы сосредоточим внимание на плоских звуковых волнах, хотя укажем в нескольких местах, что соответствуюш ие результаты применимы также к продольным волнам обш его вида в однородных трубах или каналах (если пренебречь трением), и в разд. 2.12 непосредственно возвратимся к случаю длинных волн в однородном открытом канале. Отбрасывая во всех этих пяти разделах любые усложнения, вызванные неоднородностью физических характеристик жидкости или поперечного сечения, ослаблением волны или влиянием эффектов трехмерности, мы сможем сфокусировать внимание непосредственно на характерных особенностях, привносимых нелинейными членами уравнений движения даже в те очень простые свойства плоских звуковых волн, которые уже полностью изучены с помош ью линейной теории в разд. 1.1. [c.173]

Теперь линейная теория звука дает для малого возмущения давления р — р , а также для скорости жидкости и — щ в системе отсчета, в которой пространственной координатой является х—и- р, общее решение в виде плоской волны (разд. 1.1) [c.175]

Выражение простая волна достаточно удачно обозначает весьма непосредственное обобщение понятия плоской бегущей волны (разд. 1.1), заимствованное из линейной теории, на возмущения с произвольной амплитудой. В разд. 2.9 исследуются механизмы генерирования простых волн, а также анализируются законы их распространения. Весьма интересно узнать, насколько просто рассчитать распространение этих нелинейных волн, но возникает и более глубокая проблема. Эта загадка, намек на которую, возможно, содержится на рис. 27 (а именно что произойдет, если две кривые С+ пересекутся), шаг за шагом формулируется в настоящем разделе, хотя ответы на этот важный вопрос отложены до последующих разделов. [c.180]

Простые волны отличаются от плоских бегущих волн линейной теории только тем, что, во-первых, теперь проводимость на единицу поперечного сечения (рс) является, как показывает (168), дифференциальной проводимостью, зависящей от избыточного давления р и представляющей собой увеличение скорости жидкости и на единицу увеличения ре, и, во-вторых, различные избыточные давления распространяются с различными волновыми скоростями с, свойственными каждому из них, относительно собственной скорости жидкости, так что абсолютная скорость их распространения равна и + с. [c.181]

Мы рассмотрим поверхностные гравитационные волны на плоской границе между водой и воздухом (хотя та же теория применима и для поверхностей раздела между другими жидкостями и газами). Волны на плоской поверхности воды, изученные в гл. 2, являются исключительно длинными волнами глубина воды составляет малую долю длины волны. В случае таких волн возмущения могут распространяться по всей глубине, и это не нарушает запрета на проникновение волн на глубину более одной длины волны. Действительно, в разд. 2.2 установлено, что избыточное давление приблизительно постоянно по всему поперечному сечению. Для малых возмущений поверхности воды эффективная инерция жидкости не зависит тогда от длины волны, и волны являются недиспергирующими. В разд. 3.3 мы снова получим это распространение без дисперсии как один предельный случай линейной теории поверхностных гравитационных волн, предсказывающей дисперсию во всех остальных случаях. [c.256]

Так же как в начале гл. 1, в этом уравнении опущен нелинейный инерционный член и-уи. Взяв ротор , мы заключаем, что в рамках линейной теории поле вихрей не зависит от времени Завихренность остается фиксированной, однако при этом многие другие величины могут распространяться . Вращательная часть поля скоростей, порожденная этим стационарным полем вихрей, не зависит от времени ей соответствует избыточное давление Ре == О (как следует из уравнения (4)), и она, таким образом, не возмущает плоскую поверхность воды. Оставшаяся часть поля скоростей является безвихревой и поэтому может быть записана в виде градиента Уф потенциала скорости Ф только эта часть возмущает поверхность воды или проявляет себя в колебаниях, связанных с распространением волн. [c.257]

Существует также альтернативный подход, который был недавно разработан и должен быть, по-видимому, применим как к изоляторам, так и к валентным кристаллам. Этот подход, естественно, вытекает из теории псевдопотеициалов для переходных металлов, о которой мы уже говорили раньше. Мы строили волновые функции зоны проводимости с помощью теории возмущений в одноволновом OPW приближении. Однако, суммируя OPW и проходя через резонанс, мы для каждого из присутствующих резонансов опускали по одному члену. Затем мы возвращались к этим неучтенным состояниям, выражая их в нулевом приближении через линейную комбинацию атомных орбиталей (сильно связанных состояний) и затем подмешивая к ним по теории возмущений плоские волны. В точности тот же подход, которым мы пользовались для определения состояний d-типа, может быть, по-видимому, непосредственно применим и к валентным состояниям в изоляторах и полупроводниках. На самом деле в последнем случае задача существенно упрощается, так как плоские волны, которые мы должны добавить, отвечают энергиям в нулевом порядке, значительно отличающимся [c.501]

В результате мы получили эффективное уравнение Шредингера (11.33), которому удовлетворяет плавная составляющая ф блоховской функции. Опыт применения метода ОПВ подсказывает, что функцию можно приближенно представить в виде линейной комбинации малого числа плоских волн. Естественно предположить поэтому, что для нахождения уровней валентных электронов для гамильтониана Я + применима теория почти свободных электронов, изложенная в гл. 9. В этом заключается исходный пункт исследований и расчетов по методу псевдопотенциала. [c.212]

Основываясь на интуиции, можно сказать, что трудности в этих задачах обусловлены сочетанием двух эффектов ударная волна приспосабливается к изменению геометрии (или среды) и в то же время вовлекается в сложное нелинейное взаимодействие с течением позади нее. Нелинейные плоские волны свободны от первого, линейные неплоские волны свободны от второго. Если в более общем случае сравнительно просто учесть один из эффектов, так что можно сосредоточить внимание на втором эффекте, то можно надеяться, что удастся развить приближенную теорию. [c.255]

Описывается характер распространения плоских гармонических волн в неограниченной среде. На примере неоднородного упругого стержня демонстрируется техника осреднения в динамических задачах. Далее эта техника применяется к пространственной динамической задаче теории упругости и линейной вязкоупругости. Описывается явление волнового фильтра. Обсуждаются некоторые вопросы разрушения композитов. [c.290]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

Рассмотрим предельные переходы к взаимодействию плоских волн (Pir.p - °°) и преобразованию в схеме касательного синхронизма (а->0). Вычисления показывают, что при взаимодействии плоских волн в синхронизме Фг О и формула (4.35) с фазой Ф = Ф1-ЬФз приводит к известному в теории плоских волн (см. гл. 1) выражению для поля суммарной частоты. Если условия синхронизма не выполнены, то расстояние Ар . от центра кристалла до поверхности синхронизма при pir.p °° возрастает до бесконечности с той же скоростью, что и /i. В результате Фг не равно нулю, но становится линейной функцией координат Аргг точек внутри кристалла [c.103]

Рейд и Ноулз [550] по записи самописца уровня моря около острова определили характеристики цунами на глубокой воде при предположении, что цунами на глубокой воде может быть представлено плоской волной и расстояние между эпицентром и островом намного превосходит размеры острова. Процессы типа рассеяния, дифракции, рефракции и резонанса не учитывались и использовалась линейная теория длинных волн. [c.77]

Если рассматривать, как в линейной теории, мнимый источник, то эта задача представляет собой задачу о пересечении под прямым углом двух волн конечной амплитуды. При таком пересечении (см, 7 этой главы) в жидкостях и газах вне области взаимодействия волны комбинационных частот отсутствуют рассеяния звука на звуке нет. Возникновение цилиндрической волны в [21] не противоречит, однако, этому условию, так как здесь мы имеем дело с неограниченными плоскими волнами и цилиндрическая волна существует в области взаимодейсгвия . [c.85]

Изучив основные закономерности распространения плоских волн, можно приступить к рассмотрению волн с более сложной пространственной структурой. Прежде всего мы рассмотрим обширный класс волн, направление распространения которых меняется произвольным образом, но эти изменения происходят достаточно плавно - на масштабах, много больших характерной длины волны. В линейной теории это приближеше соответствует геометрической акустике, когда геометрия волны описьшается системой лучей, причем распространение происходит независимо вдоль каждой лучевой трубки. Волны конечной амплитуды могут обладать аналогичными геометрическими свойствами, и тогда говорят о нелинейной геометрической акустике (НГА). Здесь приходится анализировать подчас весьма сложную игру нелинейных эффектов, с одной стороны, и эффектов расходимости волн, фокусировки, рефракции и т.д. — с другой. Отметим еще следующее обстоятельство. Методы линейной геометрической акустики и линейной геометрической оптики (изучающей распространение коротких электромагнитных волн) в общем аналогичны — ош основаны чаще всего на рассмотрении гармонических или квазигармонических во времени процессов или, реже, коротких импульсов волновых пакетов. Нелинейная же геометрическая оптика и акустика развивались различными путями если первая по-прежнему оперирует в основном с квазигармоническими волнами, то вторая имеет дело с непрерывными искажениями профиля волны, которые и в одномерном случае, как видно из предыдущей главы, не всегда просто описать. [c.75]

Книга содержит полезные сведения о различных преобразованиях, выполняемых в линейных системах свертках, преобразованиях Фурье и Ханкеля. Много внимания уделено применению теории преобразований в оптике. Рассмотрены дифракционные поля в приближении физической оптики на отверстиях, освещенных сферической и плоской волной при различной степени когерентности излучения. Описаи дифракционный процесс формирования оптического изображения конечной линзой. Многочисленные примеры помогают освоить аппарат. Изложены принципы, на которых основано объяснение процес сов когерентной оптики голографии, оптической фильтрации, аподизации и г. д. [c.271]

В качестве простого примера рассмотрим плоскую волну, бегущую в направлении оси х. В линейной теории распространение такой волны описывается функциями вида f х — С( ), так что волна перемещается как целое на расстояние, пропорциональное времени не изменяя своей формы. Более точное исследование задачи о распространении плоской волны, основанное на нелинейной теории, приводит, однако, к качественна другим результатам. В той области движения, где происходит сжатие газа, возникает ударная волна, а область расширения газа постепенно растягивается, утрачивая с течением времени свою первоначальную форму. На достаточно большом расстоянии волна приобретает характерную форму треугольника, независимо от ее первоначальной формы, а амплитуда фарной волны убывает обратно пропорционально Y [c.281]

НИИ (13) происходит по освещенной стороне плоского дефекта. В низшем приближении теории дифракции волн, длина которых значительно меньше линейных размеров акустически мягкого препятствия, полагают, что величина нормальной производной отраженной волны па освещенной стороне дефекта равна нормальной производной падающей волны, взятой в той же точке [5]. Поле излучения искателя ультразвукового эхо-дефектоскопа в дальней зоне близко по своим свойствам к полю плоской волны, если рассматривать его в телесном угле, малом по сравнению с углом раскрытия основного лепестка диаграммы направленности. Поэтому на основании фазовых соотношений при выполнении указанных условий из выражения (13) следует, что максимальное отражение р А) в направлении искателя получается в том случае, если ось диаграммы направленности искателя проходит через дефект перпендикулярно его плоскости, при этом в дальней зоне по отношению к дефекту имеется монотонная зависимость между величиной площади дефекта и амплитудо сигнала [2]. [c.134]

Мы закончим эту главу изучением механизмов, которыми до сих пор пренебрегали и которые способствуют диссипации акустической энергии в тепло, а также остановимся па тех модификациях линейной теории, к которым приводит учет этих механизмов. Рассмотрим прежде всего плоские бегущие волны. Для обычных жидкостей мы найдем, что, хотя в случае таких волн, соответствующих слыптимым или даже ультразвуковым частотам, достигающим нескольких мегагерц, потери энергии на каждой длине волны за счет диссипации очень малы на расстояниях, много больших длины волны, они приводят к экспоненциальному уменьшению амплитуды, называемому затуханием. [c.100]

Кривые на фиг. 64 весьма напоминают энергетические зоны меди (фиг. 30), хотя в меди возникает гибридизация со всеми пятью -состояниями, отвечающими различным значениям компонент момента количества движения. Чтйбы получить истинную зонную структуру меди, необходимо сделать задачу более конкретной заметим, во-первых, что в рассмотрении, проведенном выше, атомные -функции можно было бы заменить их линейными комбинациями, типа фигурирующих в теории сильной связи. Плоская волна I к) тогда перемешивается только с состоянием сильной связи, отвечающим и соответствующим тому же волновому вектору в результате получаются те же решения. Во-вторых, мы в дальнейшем включим состояния в приближении сильной связи, отвечающие каждому квантовому числу проекции момента количества движения. В-третьих, мы учтем эффект перекрытия соседних атомных -состоя- [c.230]

В случае плоскопараллельных течений, неустойчивых при V = О, уравнение Ландау (2.39), разумеется, может иметь смысл и в применении к слегка неустойчивым возмущениям в идеальной жидкости. Естественно, что пренебрежение вязкостью приводит здесь к упрощению всех вычислений. Поэтому неудивительно, что для течения идеальной жидкости в безграничном пространстве с профилем скорости U z) = i/oth (z/Я) Шаде (1964), предположив, что форма возмущения близка к форме однозначно определяемой в этом случае нейтральной волны , сумел аналитически определить значение коэффициента б (оказавшегося положительным). Приняв затем для значение, отвечающее наиболее неустойчивому возмущению, он смог приближенно оценить также порядок амплитуды возмущения в плоской зоне смешения , начиная с которой становится неприменимой линейная теория возмущений. [c.152]

S. Отражение плоской волны от полупространства с линейным законом для квадрата показателя преломления. Среди профилей волнового числа, допускающих явные решения задачи об определении коэффициента отражения от полупространства в терминах вырожденных гипергеометрических функций, в п. 3.2 была указана линейная зависимость от z. Здесь мы рассмотрим этот случай подробнее. Предварительно дадим сводку основИых свойств того специального вида вырожденных гипергеометрических функций — функций Эйри, через которые выражаются решения волнового уравнения в рассматриваемом случае. Функции Эйри нашли широкое применение в теории дифракции и ртспространения волн и неоднократно используются в этой книге. [c.70]

О количественной стороне нелинейного искажения можно судить по такому примеру. Для того чтобы нелинейное искажение плоской волны частоты 1000 гц составило по амплитуде 1 % от амплитуды волны, рассчитанной по линейной теории, расстояние, которое должна пробежать волна, составит на псфоге слышимости 3000 км на уровне звука, соответствующем громкой речи с расстояния 1м, — 1 км на уровне звука, соответствующем болевому порогу, — 1 м (цифры даны без учета затухания). Для расходящихся волн расстояния получились бы во много раз ббльшими. При обычной интенсивности звуков речи или музыки нелинейные искажения еще очень малы нелинейные искажения восприятия, вносимые слуховым органом человека, значительна больше, чем искажения при распространении. Но при звуках [c.407]

Когельнику и Шэнку [80], мы рассмотрим распространение плоской волны в периодической структуре, а применение развитой теории к гетероструктурам отложим до конца параграфа. Эта линейная теория для модели связанных волн применима только вблизи порога. Волновое уравнение в среде, которая может обладать потерями или усилением, записывалось нами в виде (2.2.42) [c.113]

Обычное X.— 3. у. L = 0 в линейном случае (е = 0) для гармонических сигналов переходит в параболич. ур-иие теории дифракции (Леоитовича параболическое уравнение). Для возмущений с плоскими фронтами X.— 3. у. переходит в ур-ние простых волн Римана волн), описывающее укручение профиля бегущей волны вплоть до образования разрывов — ударных фронтов. Обычное X,—3. у. также справедливо в той области пространства, где разрывов нет. [c.415]

В остальной части работы Проуз обсуждает наблюдаемые различия между закаленными и мягкими поверхностями удара. Он сделал вывод, что разность между измеренным значением продолжительности двойного прохождения фронта волны и значением, предсказанным Сен-Венаном и равным /=2//со, где a = VEjp — скорость звука в стержне, а I — длина стержня, есть функция радиуса торца, скорости удара и длины стержня. Данные были получены по значениям продолжительности удара, представленным в табл. 97. Они в самом деле показали заметное возрастание этой разности ДГ с уменьшением радиуса торца, уменьшением скорости удара и увеличением длины стержня. Проуз рассматривал экстраполяцию на плоские торцы, для которых происходит более быстрый рост давления. Он ожидал, основываясь на теории Сен-Венана, что для стержней длиной более 30 см должно соблюдаться линейное соотношение между продолжительностью удара и длиной стержня, что, конечно, не вполне соответствовало всем результатам экспериментов предыдущих пятидесяти лет. [c.428]

Решение волнового уравнения, даваемое теорией Максвелла, для плоской, линейно-поляризованиой волны можно записать в виде [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...