Осциллятор Ван-дер-Поля

АВТОНОМНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 6 [c.63]

АВТОНОМНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ВАН-ДЕР-ПОЛЯ [c.65]

АВТОНОМНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 67 [c.67]

Неавтономный осциллятор Ван-дер-Поля [c.68]

НЕАВТОНОМНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 09 [c.69]

Ее частным случаем являются автономные и неавтономные осцилляторы Ван-дер-Поля, рассмотренные в гл. И. Будем называть систему (25) системой Ван-дер-Поля. [c.104]

Осциллятор Ван-дер-Поля. Дифференциальные уравнения [c.13]

Примерами хаотизации движений осциллятора внешними периодическими возмущениями могут быть хаотические движения в уравнении Дуффинга и осцилляторе Ван-дер-Поля. Пример хаотизации периодическим параметрическим воздействием был указан выше (уравнение (1.23)). Был приведен и пример хаотизации при инерционном изменении параметра (уравнения Лоренца). Более подробное рассмотрение этих примеров и многих других будет дано позднее — в гл. 7 и 9. [c.22]

Приведенные примеры иллюстрируют преобразования случайности в динамических системах линейном осцилляторе осцилляторе Ван-дер-Поля. При этом внешняя случайность преобразуется в случайные изменения а и i или Л и ф. До самого последнего времени случайность в динамических системах тольк в таком плане и рассматривалась. Случайность в динамическую [c.60]

Поскольку, в силу системы (/), правая часть (19.15) равна нулю, то div f — знакопеременная функция. Заметим, что в случае осциллятора Ван-дер-Поля, рассмотренного в примере 19.3, правая часть (19.15) имеет вид [c.172]

Пример 20.1. Осциллятор Ван-дер-Поля. Вернемся к уравнению [c.187]

Пример 30.5. Осциллятор Ван-дер-Поля описывается уравнением (30.8 а) с правой частью /(ж, х) = 7(1 — х /с )х (см. примеры 19.3, 20.1). В этом случае коэффициенты разложения (30.15) [c.336]

Во всех этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В случае осциллятора Ван дер Поля источником [c.23]

Рис. 1.10. Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости.

Рис. 1.11. Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля.

Рис. 1.12. Амплитудные кривые для вынужденного движения осциллятора Ван дер Поля (1.2.9).

Рис. /./5.Стробоскопическое изображение на фазовой плоскости квазипериодических решений для осциллятора Ван дер Поля (1.2.9).

Тем ис менее в литературе можно найти примеры наблюдения непериодических колебаний. Здесь мы упомянем три таких приме ра. Во-первых, Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] в конце статьи колебаниях в цепи с электронной лампой делают следующее заме чание Часто перед скачком частоты в телефонном приемнике слышен нерегулярный шум . Объяснение этому явлению предложу-но не было, и в классических исследованиях осциллятора Ван дер Поля больше не упоминалось о нерегулярных шумах . [c.98]

В качестве второго примера рассмотрим осциллятор Ван-дер-Поля [c.264]

Вынужденные колебания осциллятора Ван-дер-Поля [c.267]

Рассмотрим отклик на внешнюю периодическую силу осциллятора Ван-дер-Поля, изученного в предыдущем пункте, т. е. рассмотрим колебания, описываемые уравнением [c.267]

Осциллятор Ван-дер Поля с запаздывающей амплитудой [c.276]

Вторым примером, рассматриваемым в этом параграфе, будет осциллятор Ван-дер-Поля [c.292]

Уравнение (4.8) отражает аналогию между изучаемой системой и осциллятором Ван-дер-Поля, в котором малым амплитудам соответствует слабое демпфирование, большим амплитудам—сильное демпфирование. [c.84]

Обобщенная масса 84 Оптическая разность хода 194 Оптически чувствительный материал 194, 199 Осциллятор Ван-дер-Поля 84 [c.212]

В частности, принимается, что l удовлетворяет уравнению колебаний осциллятора Ван-дер-Поля [6.34], т. е. связан со скоростью перемещения следующим образом [c.159]

К этому допущению привело сходство в поведении изучаемой системы и осциллятора Ван-дер-Поля, который характеризуется слабым демпфированием колебаний при малых амплитудах и сильным демпфированием при больших. [c.159]

Эмпирическая нелинейная модель. Идею применения осциллятора Ван-дер-Поля для изучения реакции при вихревом возбуждении колебаний можно также использовать и по-другому. В этом случае упомянутую выше модель просто уточняют путем добавления одного нелинейного (кубического) аэродинамического члена. Таким образом, уравнение (6.14) может быть преобразовано к следующему виду [c.164]

Обычно бывает целесообразно вместо этих параметров ввести новые, так называемые безразмерные параметры (точно так же часто бывает целесообразно вводить безразмерные переменные), представляющие собой некоторые определенные комбинации размерных физических параметров. Желательно для упрощения математического исследования свести число этих безразмерных параметров к наименьшему числу независимых. Если один из этих параметров может быть выбран таким образом, чтобы при значении параметра, равном нулю, система превращалась в линейный гармонический осциллятор, то этот параметр может служить с математической точки зрения тем малым параметром х, по которому производятся разложения в ряды в теории Пуанкаре и малостью которого приходится распоряжаться при обосновании метода Ван-дер-Поля. [c.706]

В заключение отметим, что, хотя преобразование Крылова — Боголюбова (39) имеет тригонометрическую форму, тем не менее некоторые члены рядов (39) могут достичь больших значений по абсолютной величине из-за наличия условия (37). Это условие обусловливает появление малых знаменателей вида (о) —>.) в.выражениях для и, и больших периодов 7 = 2л(о) — Л) в тригонометрических функциях. Если "у < 1, то такие явления не наблюдаются. Кроме того, для неавтономного осциллятора Ван-дер-Поля преобразование Крылова — Боголюбова дает квазп-периодическое относительно t репгение, так как в случае рациональной несоизмеримости и X функции ц,, Vi, щ, Vz,. .. будут, вообще говоря, квазипериодическими функциями времени. [c.71]

Частными случаями этого уравнения являются известные уравнения Дуффинга, Хилла и Матье, а также линейный осциллятор под действием внешней гармонической силы. Такой же вид имеет осциллятор Ван-дер-Поля с внешним гармоническим воэдей-ствием. [c.15]

Пусть теперь случайное возмущение (4) воздействует не на линейный осциллятор, а на осциллятор Ван-дер-Поля, так что [c.59]

Фазовый портрет этих уравнений при = О изображен на рис. 3.1. К окружности Г, состоящей из состояний равновесий, асимптотически приближаются все остальные фазовые точки, за исключением точки неустойчивого равновесия О. Наличие малых случайных воздействий ( Ф 0) приводит к случайным блужданиям фазовой точки в окрестности Г, т. е. амплитуда колебаний А близка к двум, а фаза медлеппо меняется и может накапливать свои изменения. В установившемся состоянии плотность вероятностей р А, ф) не зависит от угла ф и изображается поверхностью вида, показанного на рис. 3.2. Таким образом, входное случайное воздействие преобразуется в осцилляторе Ван-дер-Поля в выходные флуктуации амплитуды колебаний и случайный дрейф фазы ф. Для отыскания соответствующей плотности вероятностей может быть составлено широко известное уравнение в частных производных Эйнштейна — Фоккера — Планка. С помощью этого уравнепия может быть найдено не только установившееся распределение вероятностей, т. е. уравнение изображенной на рис. 3.2 поверхности, но и процесс ее установления, а также плотности вероятностей перехода из одного состояния Л, ф в другое А, ф за р я т [216, 310, 320, 342]. Эта плотность вероятностей р А, ф А, ф т) при тимеет пределом установившуюся плотность вероятностей р А). [c.59]

Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рис. 1.10 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (см. рис. 1.10 и 1.11, гдед = ). [c.24]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

В настоящее время имеется большое число работ, посвященных изучению захватывания и синхронизации квазилинейных квазиконсервативных осцилляторов применительно к задачам радиоэлектроники. Первые из этих исследований, принадлежащие Эпплтону [39], Ван-дер-Полю [18], Л. И. Мандельштаму и И, Д. Папялекси [33], А, А. Андронову и А, А. Витту ] —3], А. Майеру [41], сыграли существенную роль в развитии теории нелинейных колебаний. [c.221]

Еще с начала века математики тоже знали, что определенные динамические системы обладают нерегулярными решениями. Как явствует из приведенной выше цитаты, Пуанкаре осознавал возможность хаотических решений, об этом в начале века знал и Бирк-гоф. Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] сообщали о нерегулярном шуме в статье об экспериментах с электронным осциллятором, опубликованной в журнале Nature. Так что же нового стало известно о хаосе [c.16]

Становление же нелинейной теории колебаний было гораздо более быстрым. На базе задач интенсивно развивавшихся в начале века радиотехники, теории регулирования и, конечно, классической механики уже к середине 30-х годов сформировались основы классической теории нелинейных колебаний. Определяющий вклад в создание этой теории был внесен Л. И. Мандельштамом [2] и его учениками. Полностью был исследован нелинейный осциллятор, были обнаружены эффекты обмена энергией в системе связанных осцилляторов, уже была, в основном, построена Андроновым и Ван-дер-Полем теория периодических автоколебаний, открыты явления синхронизации и конкуренции и даже предпринята Виттом попытка построения теории автоколебаний распределенных систем. [c.272]

Результаты исследования свойств нелинейного резонанса, которые мы методом Ван-дер-Поля получили в предыдущем параграфе, справедливы в случае, когда в нелинейном осцилляторе реализуется лишь один единственный (изолированный) резонанс. При этом все события, если их рассматривать в трехмерном фазовом пространстве (ж, х, I), развиваются в узком кольцевом слое. Проекция такого слоя на плоскость XX представляет собой замкнутую полосу, локализованную вокруг той траектории автономного осциллятора, период 2тг/сс движения по которой точно равен или кратен периоду 2тг/П внешнего возмущения. В отличие от случая линейного осциллятора резонанс в нелинейном осцилляторе возможен практически при произвольной частоте периодического воздействия, если, конечно, нелинейность достаточно велика. Это объясняется неизохронностью и ангармоничностью колебаний нелинейного осциллятора (неизохронность, как мы знаем, это зависимость частоты колебаний от энергии, ангармоничность — присутствие в спектре периодических колебаний высших гармоник). [c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...