Гиперболические волны

Первая часть этой книги посвящена гиперболическим, а вторая — диспергирующим волнам. Теория гиперболических волн снова встречается при изучении диспергирующих волн в различных любопытных ситуациях, так что вторая часть не является полностью независимой от первой. Оставшаяся часть настоящей главы посвящена обзору ряда вопросов, большая часть которых затем подробно разбирается в книге. Цель этого обзора — дать представление о материале в целом и в то же время привести к общему взгляду на теорию, что трудно сделать при подробном изложении. [c.10]

Это простейшая задача гиперболических волн. Хотя классические задачи приводят к уравнению (1.5), для многих волновых [c.12]

Последняя глава по гиперболическим волнам касается случаев когда одновременно существуют волны различных порядков. Типичным примером служит уравнение [c.15]

Диспергирующие волны не поддаются классификации так легко, как гиперболические волны. Как уже объяснялось в связи с решением (1.3), о них идет речь при рассмотрении определенных типов осциллирующих решений, описывающих волновые пакеты. Такие решения получаются при интегрировании различных уравнений в частных производных и даже некоторых интегральных уравнений. Сразу ясно, что задача характеризуется дисперсионным соотношением [c.15]

Промежуточная глава 13 посвящена волнам на воде. Это, пожалуй, самая разнообразная и захватывающая область из всех, связанных с волновым движением. Она включает широкий класс природных явлений в океанах и реках и — при надлежащей интерпретации — охватывает гравитационные волны в атмосфере и различных жидкостях. Она явилась стимулом для развития теории диспергирующих волн и основой этой теории, сыграв в ней такую же роль, какую газовая динамика сыграла в теории гиперболических волн. В частности, все основные идеи теории нелинейных диспергирующих волн возникли при изучении волн на воде. [c.19]

Подробное обсуждение гиперболических волн мы начнем с изучения уравнений первого порядка. Как уже было указано в гл. 1, простейшее волновое уравнение имеет вид [c.23]

При обсуждении волнового уравнения было выявлено большинство основных идей линейной теории гиперболических волн в пространствах двух и трех измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам. Для плоских волн в однородной среде оказалось возможным разработать законченную нелинейную теорию. Однако в противоположность линейной теории, которая была почти тривиальной, здесь потребовались глубокие идеи и изощренные методы. Значительные трудности ожидаются в задачах с большим числом измерений или в случае неоднородной среды, где даже линейная теория становится сложной. Цилиндрические и сферические волны все еще описываются двумя независимыми переменными, но возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для них содержат переменные коэффициенты. Аналогичная ситуация имеет место для плоских волн в неоднородной среде. [c.254]

Свойства семейства гиперболических волн одинаковой природы изучены теперь довольно подробно, включая различные эффекты геометрии, диффузии и затухания. Для завершения этой первой части обсудим ситуацию, когда в одной и той же задаче получаются волны различных порядков. Типичные примеры указывались в гл. 3, где были сделаны некоторые предварительные замечания. Например, потоку транспорта на одном из уровней описания соответствует система уравнений [c.327]

Для интегрирования системы нелинейных уравнений гиперболического типа широко используется метод характеристик. Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциальные разрывы и другие особенности. [c.267]

В заключение отметим, что в случае щтампа конечной ширины (0 < X < /) решение может быть получено с использованием суперпозиции решений для полубесконечных штампов. Этот результат основан на том факте, что уравнения динамической теории упругости имеют гиперболический характер и, следовательно, возмущения распространяются с конечной скоростью. Поэтому, пока волны дифракции от противоположного края не достигли рассматриваемой области, пригодно решение для полубесконечного штампа. [c.492]

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если течение безвихревое и одно из семейств характеристик — прямые линии с постоянными параметрами, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее к области движения с постоянными параметрами может примыкать только или еще одна такая область движения с постоянными параметрами, или простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны достаточно, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, на С+-и С- характеристиках справедливы инварианты Римана 1+, -(см. 2.2). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С имеют одно и то же значение инварианта / = и—2а/(у—1), т. е. по всей области течения / — постоянная величина. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ имеет свое постоянное значение /+, то из постоянства двух величин /+ и / следует постоянство ы и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик имеет вид dx/dt = u + a. Подчеркнем, что параметры [c.57]

Уравнение поперечных колебаний в отличие от уравнения продольных колебаний уже не гиперболическое, задачи о распространении поперечных волн носят совершенно иной характер, чем задачи о продольных волнах. Решение тина распространяющейся волны для уравнения (6.8.2) существует не для любой функции f t — z/ ), а например, для функции такого вида [c.196]

Гиперболическое уравнение, описывающее распространение волн, [c.87]

В отличие от последних решения уравнений (6-10-6), (6-10-7) имеют очерченный фронт волны, перемещающийся с конечной скоростью w. Отметим, что уравнения переноса гиперболического типа, в частности волновое уравнение, были получены различными путями рядом исследователей при анализе процессов диффузии, теплопроводности, турбулентной диффузии и т. д. [c.449]

Уравнение (4-53) является уравнением гиперболического типа, характеризующим распространение волн упругой деформации в двухфазных средах. По сравнению с волновым уравнением для гомогенных сред оно является более общим и имеет более высокий порядок. [c.94]

Ясно, что значения избыточных температур, полученные по решениям соответствующих одномерных(параболического и гиперболического) уравнений теплопроводности для, одной и той же координаты J , должны заметно различаться между собой в интервале суммарного времени распространения температурной волны и релаксации вещества, т-.е. при С . При [c.551]

Ширину спектральных линий можно уменьшить не только охлаждением, но и созданием в светящемся пространстве некоторого преимущественного направления движения излучающих атомов или ионов. Одной из таких форм светящегося пространства может служить полость, заключенная между двумя внешними поверхностями гиперболических цилиндров. Лампа с внешними электродами и подобной формой светящегося пространства приведена на рис. 37. Свечение происходит в баллоне 1 в пространстве между двумя полуцилиндрами. Баллон 2 служит для расширения объема лампы, заполненного газом, с целью увеличения срока ее службы. В направлении, перпендикулярном узкому зазору, в котором происходит свечение, приложены внешние электроды <3, выполненные в виде пластинок из алюминиевой фольги, наклеенной вдоль всей длины капилляра. Свечение наблюдается вдоль капилляра, перпендикулярно направлению поля. Консультативный комитет по определению метра рекомендовал использовать лампы с внешними электродами и Hg и лампы с внешними электродами без специального подогрева с d для воспроизведения вторичных эталонных длин волн. Так как плотность вещества в высокочастотном разряде обычно бывает очень малой, как и плотность разрядного тока, то расширение линий, вызванное всякого рода атомными 64 [c.64]

Основное значение асимптотических методов не сводится только к учету обратного влияния пограничного слоя на внешний невязкий поток, выражаюш,егося в искажении внешнего потока за счет оттеснения линий тока в нем от твердой поверхности, обусловленном подтормаживающим влиянием твердой стенки (вспомнить 105). Особо важно, что эти методы раскрывают природу других весьма важных физических явлений в сверхзвуковом пограничном слое, одним из наиболее существенных из которых является противоречащая, на первый взгляд, гиперболическому и параболическому характеру уравнений движения во внешней и внутренней областях пограничного слоя возможность распространения возмущений вверх по потоку. Механизм этого распространения становится ясным и получает количественное определение благодаря рассмотрению расположенной непосредственно на твердой поверхности подобласти малых скоростей, свободно пропускающей волны возмущений вверх по потоку. Этот эффект носит наименование свободного взаимодействия, а область пограничного слоя, где он имеет место,— области свободного взаимодействия. [c.702]

Формулы (2.16) задают начальные данные на линии фронта для уравнений (2.3) и (2.4) в плоскости i, 2, а формулы (2.17) — начальные данные для уравнения (2.2) в плоскости компонент скорости. Уравнение (2.2) и система уравнений (2.3), (2.4) для функций ui mu2 в окрестности линии и = F гиперболического типа в случае G = Gi и, вообще говоря, эллиптического типа в случае G = 02 Выбор знаков в формулах для щ и U2 фиксирует направление распространения фронта ударной волны. Форма фронта в начальный момент времени, определяемая видом функции /(ai), может быть задана произвольно. Отметим, что в случае конических течений (Ai = 1, А 2 = 2) форма фронта не произвольна, а может быть лишь или плоской, или цилиндрической. Это следует из уравнений (2,10)-(2.13). [c.52]

Книга делится на две части первая из них посвяшена гиперболическим волнам, вторая — диспергирующим волнам. Различие между этими двумя понятиями будет пояснено в следующем параграфе. В части I основные идеи содержатся в главах 2. о п 7. а в части II —в главах 11, 14, 15 и 17. В промежуточных главах общие идеи излагаются в частных контекстах эти главы можно читать полностью или выборочно в зависимости от интересов читателя. Можно также сразу после главы 2 перейти к чтению части II. [c.8]

Найдя решение этого уравнения при надлежащих граничных И.ЧИ начальных условиях, определяемых источником звука, естественно задаться рядом вопросов о связи полученного решения с исходными нелинейными уравнениями. Являются ли линейные результаты адекватными, хотя бы для малых возмущений, и не теряются ли при таком приближении какие-либо существенные качественные черты Если возмущения не являются малыми (как при взрыве или при движении сверхзвукового самолета и ракеты), то какие резу.чьтаты можно получить непосредственно из исходных нелинейных уравнений Какие изменения происходят при учете вязкости и теплопроводности Ответы на эти вопросы в газовой динамике приводят к основным идеям нелинейных гиперболических волн. Наиболее интересным явлением, которое описывается чин1ь нелинейной теорией, оказываются ударные волны, представляющие собой резкие скачки давления, плотности и скорости, например ударные волны при сильном взрыве и звуковые удары при движении высокоскоростных самолетов. Для их предсказания потребовалось развить весь сложный аппарат теории нелинейных гипербо.тических уравнений, а для по.пного понимания понадобились анализ эффектов вязкости и некоторые аспекты кинетической теории газов. [c.11]

Следующий шаг в развитии теории гиперболических волн связан с обобщением развитых выше идей и методов на системы высшего порядка. Ряд предварительных замечаний уже был сделан при рассмотрении разнообразных модификаций основного волнового двин ения, но вопросы, непосредственно связанные с возможностью существов шя в системе нескольких различных волновых мод, были затронуты лишь мимоходом. Теперь мы перейдем к общему обсуждению этих вопросов. [c.115]

Как было указано в гл. 1,. многие из основных идей теории гиперболических волн, в частности объяснение явления формирования ударной волны, обязаны своим происхождением газовой динамике. Настоящая г.иава посвящена обсуждению волн и ударных волн в газовой динамике. В ней даются естественные иллюстрации общих идей, развитых в предыдущей главе, и добавляется ряд усилений и обобщений, которые можно продемонстрировать только на конкретных задачах. Но, конечно, газовая динамика важна и интересна сама по себе, так что эта глава написана как законченное введение в предмет, а не только как иллюстрация математической теории. Более специальные вопросы рассматриваются в следующих главах, и в целом этот материал дает широкий обзор газовой динамики. Читатель, интересующийся лишь общей теорией волн, может ограничиться беглым просмотром этой г.тхавы. [c.144]

Негиперболические волновые движения можно объединить во второй основной класс волн, которые мы называем диспергирующими. Вообще говоря, определение волн этого класса не настолько точно, как для гиперболических волн, поскольку оно сновано скорее па виде решения, чем па самих уравнениях. Но можно сначала выделить некий к.часс задач, для которых точное определение не вызывает затруднений, а затем делать естественные обобщения или опираться на аналогии. Следует добавить, что некоторые уравнения специального вида проявляют как гиперболическое, так и диспергирующее поведение, причем форма поведения зависит от той области, где рассматривается решение. Однако это не правило, а иск. 1ючение. [c.348]

На практике приходится решать смешанные стационарные задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей смешанный эллиптико-гиперболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни- [c.267]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Как усматривается из графика, протекание изотерм при низких и при высоких температурах качественно различно. Изотерма сжатия при температурах более низких, чем температура Т , сначала плавно возрастает, затем образует характерную волну и далее круто, почти вертикально, подымается вверх. Изотермы при температурах более высоких, чем Т , не имеют подобной волны и на всем протяжении, монотонно подымаясь вверх, сохраняют гиперболический характер. Сама изотерма температуры Тц имеет точку перегиба (точка к). В этой точке касательной к изотерме является изобара р . Точке перегиба изотермы Г,, соответствует удельн1 . Й объем Удельный объем является трехкратным вещественным корнем уравнения (4.32). [c.54]

Гиперболическими уравнениями, в которые в качестве основного параметра входит скорость распространения волны (скорость звука или скорость света), описывается распространение звуковых и электромагнитных волн. Эти уравнения выводятся на основе законов сохранения без каких-либо дополнительных гипотез, что объясняется следующим. Параболические уравнения неинвариантны относительно знака у переменной т, т. е. замена времени т на —т изменяет само урабнение, что видно из уравнения теплопроводности [c.87]

Решения одиомериого гиперболического уравнения теплопроводности (5.93) выражают избыточные температуры через волновые функции, согласно которым от каждой плоскости (перпендикулярной оси ох ), где возникает тепловое возмущение, распространяется температурная волна со скоростью г/", см/сек, равной средней поступательной скорости микрочастиц (квазимикрочастиц), ответственных за перенос теплоты /. [c.550]

Как уже говорилось выше, решения для различных длин волн Г можно комбинировать в бесконечные ряды, используя для этого точные решения для компонент с более короткими длинами волн и более простые приближенные решения для компонент с более длинными волнами. Если вместо экспоненциальной функции используются функции гиперболического синуса sha и гипербо- [c.358]

По публикациям А.Ф. Сидорова можно проследить процесс поиска адекватных форм изложения данного метода, который остался незавершенным. Исходным пунктом является обобщение на нелинейные уравнения характеристических разложений Куранта для решений задач примыкания. Непосредственными предшественниками здесь можно считать Р. Куранта, Г.Ф. Даффа, Д. Людвига, В.М. Бабича, А.А. Дородницына. Вдохновляющим импульсом были проблемы в области газовой динамики, поставленные Курантом и Дородницыным (в том числе задача аналитического описания тройной точки ударных волн, ножки Маха ). Развитый метод характеристиче ских рядов для гиперболических нелинейных уравнений позволил в дальнейшем решить ряд задач математической физики, не поддававшихся решению ранее. Затем были открыты логарифмические ряды. Было осознано, что характеристические разложения — частный случай конструкции рекуррентных рядов, которая требует наличия определенных свойств, формулируемых на языке, близком к языку дифференциальной алгебры. Эта конструкция [c.9]

В дальнейшем (обзор работ дан в [14]) этот метод был обобщен для некоторых систем базисных функций Sk, в частности при Sk (f) = для случая квазилинейных гиперболических систем уравнений, и хорошо зарекомендовал себя при решении ря да сложных пространственных задач газовой динамики. Оказалось, что коэффициенты go gi определяются геометрией поверхности (7) (в том числе и для многомерного слу чая), коэффициент д2 — из нелинейного уравнения первого порядка, а последующие коэффициенты — из линейных дифференциальных уравнений. Применение специаль ных независимых переменных позволило для большой серии пространственных задач газовой динамики проинтегрировать в квадратурах системы уравнений для gk и полу чить их явные представления. Решение конкретных задач показало быструю сходимость зядов (6) и возможность их применения для описания зон течения газа с большими гра диентами газодинамических величин, в частности, в зонах сильных волн разрежения, расчет которых с высокой точностью обычными численными методами весьма труден. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...