Общие теоремы. Граничные условии

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ [c.319]

П. Ф. Папковичем впервые предложено решение задач теории упругости в перемещениях в форме гармонических функций, а также исследованы общие теоремы устойчивости упругих систем, решен большой цикл задач об изгибе пластин при различных граничных условиях. [c.11]

Эти отдельные результаты по нахождению условий существования внутренней структуры экзотермических волн и установлению дополнительных граничных условий на соответствующих разрывах получили общее освещение после того, как в [2] была доказана теорема о том, что решение задачи о структуре волн, переходящих в предельном [c.121]

Общая вариационная теорема. Полный функционал имеет в качестве уравнений Эйлера и естественных граничных условий полный комплекс уравнений и граничных условий данной теории, выраженных через компоненты соответствующего пространства состояний. [c.31]

Разрешимость задачи (2.3.1) — (2.3.2) на бесконечном промежутке времени доказана только для ситуаций, близких к равновесным, ограниченной области Q и однородных граничных условий (т. е. в предположении, что суш ествует максвелловское распределение М с постоянными параметрами, такое, что УИ+-=. Один из примеров соответствующей теоремы — теорема 8 из 1. Более общий результат в этом направлении получен в работе [13], [c.480]

Инвариантность волнового сопротивления при обращении направления полета есть следствие общего результата линейной волновой теории сопротивления. Волновое сопротивление не зависит от направления полета во всех случаях, при которых распределение источников, представляющих поток, сохраняется. Так как в пределах приближения линейной теории распределение источников обращается, но не меняется при изменении направления полета на обратное, то теорема о независимости сопротивления от направления потока применима к телам произвольной формы тело может быть плоским, как например, крыло самолета, или оно может быть телом вращения. Однако необходимо иметь в виду, что это будет справедливо только в пределах применимости линейной теории с приближенными граничными условиями. [c.32]

Так как для всех значений X граничные условия одинаковы, то проще всего предположить, что ср есть простая гармоническая функция от х наиболее общий случай, совместимый с вышеизложенными условиями, может быть получен отсюда по теореме Фурье с помощью наложения. [c.455]

Из новых исследований по контактной пространственной задаче следует указать на упомянутую в примечаниях к главе 2 работу Миндлина, на статью В. И. Моссаковского Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий (Прикл. матем. и мех. 18, № 2, 1954, стр. 187), на заметку того же автора Применение теоремы взаимности к определению суммарных сил и моментов в пространственных контактных задачах (там же 17, № 4, 1953, стр. 477) и на работу М. Я. Леонова Общая задача о давлении кругового штампа па упругое полупространство (там же, № 1, стр. 87). [c.325]

Функции ф (г) == о, я (г) = 2/яс, очевидно, решают вторую основную задачу для при граничном условии (26) самое же общее решение на основании теоремы единственности мы получим, прибавив к ф (г) любую постоянную с , а к -ф (г) — постоянную хсй (см. 34, формула (13) и сказанное после нее). [c.379]

Помимо общего значения, теорему единственности широко используют при решении конкретных задач. Иногда удается частично угадать форму решения (см., например, полуобратный метод решения задач кручения, изгиба и т. д.). Если при этом можно удовлетворить всем дифференциальным уравнениям и граничным условиям задачи, то, в силу теоремы единственности, тем самым найдено искомое решение. [c.30]

Теорема 4. Каждое решение (2.1) может быть определено заданием соответствующих граничных условий. Так, если в (2.1) функции р х) и д х) ограничены и непрерывны в некоторой точке Р, называемой неособой точкой, то наиболее удобный способ задания граничных условий состоит в задании значений решения и его первой производной в точке Р. Таким образом, решение будет определено однозначно, причем, согласно общим свойствам р х) и < ( с), мы можем продолжить его в определенном интервале изменения х. [c.22]

Можно показать, что градуировку методом взаимности теоретически можно проводить при любых граничных условиях в среде [10]. Необходимо только, чтобы система удовлетворяла теореме акустической взаимности. Это значит, что она должна быть линейной, пассивной и обратимой. Как можно заметить п-о виду различных параметров -взаимности, I зависит от характеристик среды, границ среды и от некоторых размеров. Эти характерные р"азмеры, по-видимому, должны быть связаны с размерами преобразователя так оно обычно и оказывается на деле. Однако теория этого не требует. Например, в методе взаимности в трубе площадь Л не связана с размерами преобразователя это площадь, на которой измеряется давление, излучаемое и принимаемое -взаимным преобразователем. В общем случае параметр взаимности зависит от способа определения М и 8. Представим себе преобразователь Т произвольной формы в среде с произвольными граничными условиями, как показано на рис. 2.15. Определим чувствительность в режиме излучения 5 как среднее давление, создаваемое на площадке Лв при единичном входном токе, т. е. [c.58]

В [3.167] рассмотрена оболочка типа сферического купола или сферического пояса при действии периодически изменяющейся во времени радиальной сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке. Общее решение задачи получено в виде суммы сингулярного решения, не учитывающего граничные условия, и регулярного решения, удовлетворяющего заданным граничным условиям. Радиальное смещение и функция напряжений представлены в виде рядов по функциям Лежандра. Эти ряды получены с помощью теоремы сложения для сферических функций при переходе от решения с силой в полюсе сферы к решению с силой в произвольной точке сферы. Случай стационарной нагрузки получается предельным переходом, если частоту колебания нагрузки устремить к нулю. Приведены результаты численного расчета и дано сравнение с решением по классической теории. [c.225]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования н единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сопла задается распределение скорости, например, па оси сопла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

Теория подобия и моделирования рассматривается как база научной постановки опытов и обобщения экспериментальных данных. Из анализа дифференциальных уравнений, характеризующих общие функциональные связи между основными факторами, и условий однозначности, включающих характеристики геометрии, физических свойств и краевые условия (начальные и граничные), получаем предпосылки к экспериментально-теоретическому изучению процессов. В решении поставленных задач приходится встречаться с различными по сложности явлениями. В некоторых случаях теоретическое решение задач позволяет получить общие качественные связи параметров, например в определении коэффициента трения при решении контактно-гидродинамической задачи. При анализе же весьма сложного процесса изнашивания твердых тел или твердосмазочных покрытий в настоящее время не удается получить достаточно общих математических описаний явлений. В связи с этим различается подход к проблеме трения и износа тел, работающих в масляной среде и всухую (с твердо-смазывающими покрытиями или из самосмазывающихся материалов). Теория подобия базируется на следующих основных теоремах [c.160]

Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а также и другие дополнительные требования, без выполнения которых решение задачи не [c.364]

Энтропия Вселенной н стрела времени во Вселенной. Вопрос об Э. В. тесно связан с проблемой объяснения стрелы времени во Вселенной необратимой временной эволюции от прошлого к будущему, направленной в одну сторону для всех наблюдаемых подсистем Вселенной. Известно, что законы механики, электродинамики, квантовой механики обратимы во времени. Ур-ния, описывающие эти законы, не изменяются при замене f на —t. В квантовой теории поля имеет место более общая С/ Т -инвариан-тиость (см. Теорема СРТ). Это означает, что любой физ. процесс с элементарными частицами может быть осуществлён как в прямом, так и в обратном направлении времени (с заменой частиц ка античастицы и с пространственной инверсией). Поэтому с его помощью нельзя определить стрелу времени. Пока известен единств, физ. закон—2-е начало термодинамики — к-рый содержит утверждение о необратимой направленности процессов во времени. Он задаёт т.н. термодинамич. стрелу времени энтропия растёт в будущее. Др. стрелы времени связаны с выбором специальных начальных или граничных условий для ур-ний, описывающих фундам. физ. взаимодействия. Напр., электродинамич. стрела времени опредсл. выбором излучающего [раничного условия на пространственной бесконечности для уединённого источника (иначе говоря, считаются имеющими физ. смысл только запаздывающие потенциалы эл.-магн. поля), а космологич. стрела времени задана расширением Вселенной, Не все эти стрелы времени эквивалентны если термодинамич. и электродинамич. [c.619]

Кинематическая теорема. Пусть Vi, Iri—действительные поля напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформаций. Рассмотрим кинематически возможное поле скоростей v e, которое удовлетворяет условию несжимаемости divo = =0, а на поверхности тела — кинематическим (XI.9) и смешанным (XI. 11) граничным условиям. Здесь и далее знак означает виртуальное состояние. Соответствующие кинематические возможные скорости деформации равны %i/ — (Viv Ч- V/v ). Они не удовлетворяют уравнениям состояния (XIV.6), так как определенные через них напряжения в общем случае не удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия div = 0. Но кинематически возможные поля скоростей удовлетворяют соотношению (XIV.2) [c.296]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Если поверхность (любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение (единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае. [c.261]

При получении решений в виде бесконечных рядов с помощью теоремы обращения мы обычно еще должны доказать, что все корни определенного трансцендентного уравнения действительны и просты. В примере III таким уравнением было уравнение (8.32) в задаче о твердом теле в виде составного шара им является уравнение (9.35) гл. XIII в случае более общих граничных условий появляются другие типы уравнений, например уравнение (9.25) гл. XIII и т. п. [c.319]

В этой главе показано, что общие теоремы теории упругости остаются справедливыми и для теории оболочек, основанной иа гипотезах Кирхгофа. Рассматривается вопрос о единственнойти решения и выводятся обеспечивающие последнюю варианты граничных величин. При этом делается предположение, что граничный контур срединной поверхности 6Q является плавной замкнутой кривой, а действующая на него внешняя нагрузка — само-уравновешеина. При. нарушении этих условий отправляем читателя к гл. 14. [c.319]

Чтобы решить краевую задачу электромагнитной дифракции, кроме использования уравнений Максвелла и граничных условий, необходимо удовлетворить также некоторым дополнительным условиям. Одно из них — это принцип излучения на бесконечности Зоммерфельда, согласно которому количество энергии от источников, проходящей через конечную площадку, находящуюся на бесконечном удалении от этих источников, стремится к нулю. (На самом деле этот принцип несколько более сильный он утверждает, что источники должны излучать, а не поглощать энергию.) Второе условие следует из закона сохранения энергии и теоремы Пойнтинга. Третье условие возникает в процессе разложения поля в ряд Фурье по плоским волнам и требует включения волн не только с действительными волновыми числами, но и с мнимыми. Для волн с мнимыми волновыми числами, т. е, затухающих волн, или же в общем случае неоднородных волн с комплексными волновыми числами, поверхность равной амплитуды не совпадает с поверхностью равной фазы. Например, в двумерном случае обычной цилиндрической линзы, вариации толщины которой создают изменения в поглощении света в линзе, поверхности равных фаз и равных амплитуд ортогональны друг другу. В рптцке чаще всего встрв чаются именно неоднородные во.дны. [c.37]

Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве Я-теоремы Больцмана. В четвертой главе расс1иатриБаются линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пятой главе обсул<даются предельные случаи бесстолкновитель-ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и распространении звука в разреженных газах. [c.8]

Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика применяют строгие математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений при установленной системе граничных и начальных условий или другие эквивалентные им математические методы (например, конформное отображение в задачах плоского движения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик используются такие общие теоремы механики, как теорема количества и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая сложность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают механику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов теоретической механики и математической физики, столь характерных, например, для развития механики твердого тела, но и широко пользоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так называемых нолуэмпирических теорий, в построении которых большую роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто дедуктивных методов классической рациональной механики естественны для столь бурно развивающейся науки, как современная механика жидкости и газа. [c.15]

Утверждение теоремы 1 вьТтекает теперь из общих теорем, доказанных в [60], [29] для дифференциальных эллиптических задач с параметром и перенесенных в [24а], гл. V, на задачи с псевдодифференциальными граничными условиями. [c.372]

Галеркину ) принадлежит болыпой цикл исследований по теории изгиба тонких пластин, толстых плит и теории оболочек. Для вывода уравнений теории оболочек он, по-видимому, впервые применил уравнения трехмерной теории упругости. Папко-вичем ) впервые предложено решение задач теории упругости в перемещениях в форме гармонических функций, а также исследованы общие теоремы устойчивости упругих систем, решен большой цикл задач об изгибе пластин при различных граничных условиях. [c.13]

Для области с кусочно-прямолинейными границами Г. И. Положий [1—3] изучал третью основную задачу теории упругости. Так принято иногда называть задачу о соприкасании с жестким профилем, когда на границе среды задаются нормальные смещения и касательные напряжения (см. 128). В граничных условиях этой задачи, после их надлежащего преобразования, при старших производных искомых функций появляется коэффициент, содержащий кривизну контура в качестве множителя. Бла-годаря этому в случае контуров, состоящих из отрезков прямых, задача существенно упрощается и приводится к двум последовательно решаемым граничным задачам теории аналитических функций. Этим путем Г. Н. Положий построил решение задачи в случае, когда граница области, конечной или бесконечной, представляет собой полигональный контур довольно общего вида. При решении задачи автор сформулировал некоторые физические условия, касающиеся порядка роста напряжений вблизи углов, при которых теорема единственности решения остается справедливой. [c.595]

В связи с тем, что в (1.32) ш = 1, 6(0) = О, то по теореме М. В. Келдыша, в области эллиптичности уравнения, граница которой содержит конечный отрезок линии вырождения, корректна задача Дирихле. Решения этой задачи при непрерывном граничном условии для функции тока ф описывают класс дозвуковых течений с криволинейной звуковой линией. Этот случай вырождения типа уравнения естественно называть общим, в отличие [c.223]

НОГО слоя некоторым приближенным однопараметрическим семейством, или, как иногда говорят, набором кривых, составленным на основе общих соображений о действительной форме профилей скорости и, в первую очередь, граничных условий, которым они должны удовлетворять. Наличие свободного параметра, представляющего неизвестную функцию продольной координаты в пограничном слое, позволяет так разместить приближенные профили скоростей вдоль слоя, что они смогут удовлетворить некоторому интегральному условию (в теории Кармана— теореме импульсов), выводимому из общих уравнений пограничного слоя. Конечно, как обычно, точность такого рода решений в среднем во многом зависит как от более или менее удачного выбора формы кривых, образующих приближенное семейство, так и от выбора основного интегрального условия, позволяющего найти распределение вдоль по пограничному слою параметра этого семейства. В качестве основного интегрального ус/ювия Карман выбрал уравнение импульсов, которое в применении к теории пограничного слоя приобрело в дальнейшем его имя. [c.621]

Распределение напряжений в плоскости, ослабленной конечным числом как угодно расположенных произвольных круговых отверстий, рассмотрел Г. Н. Бухаринов [2.20], в предположении, что отверстия не имеют общих точек и могут быть загружены произвольным образом. Комплексные потенциалы Ф и Ч автор представляет в виде рядов по некоторым функциям, каждая из которых регулярна вне соответствующего отверстия. Члены, характеризующие главный вектор усилий на контуре каждого из отверстий и условия на бесконечности, выделяются отдельно. Выражения для Ф и Ч подставляются в преобразованные граничные условия, которые затем при помощи теоремы Гарнака приводятся к некоторым эквивалентным функциональным уравнениям. Последние автор предлагает решать методом последовательных приближений, развитым Г. М. Голузинымдля плоских мпогосвязных задач теории потенциала [2.32]. В работе [c.282]

Обратимся теперь к поверхностным волнам в ньезоэлектриках. Вопрос о существовании волн на свободной поверхности пьезокристалла в общем случае не исследован, рассмотрены лишь конкретные примеры. Общие теоремы удается сформулировать лишь для задачи с однородными граничными условиями. Ход доказательств в целом аналогичен, и читатель может ознакомиться с ними в работе Лоте и Барнетта [124]. Мы приведем результаты. Авторы [124] рассматривают три типа однородных граничных условий [c.120]

Как хорошо известно из математики, решения уравнения (9.1.3) однозначны опредапены только в том случае, если заданы надлежащим образом выбранные начальные и граничные условия. В дальнейшем мы будем предполагать, что уравнения (9.1.3) такого типа, при котором эволюция во времени определяется начальными условиями, а зависимость от пространственных координат — граничными условиями. Перечислим несколько наиболее типичных краевых условий, хотя приводимый нами перечень отнюдь не претендует на полноту и не избавляет от необходимости решать, каким из условий надлежит воспользоваться, и не следует ли ввести условия какого-нибудь другого типа, не входящего в число названных надш. Выбор подходящих граничных условий, вообще говоря, следует производить, исходя из физических соображений, хотя общие теоремы, доказанные на уровне современной математической строгости, могут быть весьма полезны. [c.312]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Решение задачи о распространении тепла от мгаовенного источника энергии о для случая плоской симметрии рассматривалось в работе [45]. В этой же работе было впервые отмечено существование температурных волн конечной скорости (см. также [46]). В работах [7, 49, 64, 81] для уравнений параболического типа были доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши и краевых задач, а также теоремы сравнения, которые с помощью автомодельных решений позволили получить достаточно общие условия конечной скорости распространения температурных волн. В работе [74] был построен пример так называемой остановившейся температурной волны, обладающей тем свойством, что тепло не проникает с течением времени в холодную среду, несмотря на неограниченный рост температуры, заданной на границе. В дальнейшем явление локализации тепла было подробно исследовано во многих работах (см., например, [40, 43, 47, 55, 69—71] и библиографию в [55, 70]). Было показано, что причиной локализации может быть так называемый граничный режим с обострением, при котором функция, заданная на границе, обращается в бесконечность в конечный момент времени. Причиной может быть также энерговыделение в режиме с обострением в среде с нелинейными объемными источниками. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...