Больцмана —¦ //-теорема

Из кинетич. ур-ния следует Больцмана Н-теорема — убывание со временем Я-функции Больцмана ср. логарифма ф-ции распределения) или возрастание энтропии, т. к. она равна Я-функции Больцмана с обратным знаком. [c.354]

Строгий вывод для второго вириального коэффициента газа, подчиняющегося статистике Больцмана, довольно сложен. Результат не зависит от того, что принято за основу при расчете вириальная теорема Клаузиуса, классическая или квантовая механика или канонический ансамбль. Исходя из классической механики, имеем [c.80]

Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осциллятора. Для этого необходимо просуммировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии W ее произведение на относительную вероятность ехр[—W/ kT) того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энергии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получающемуся при суммировании относительной вероятности по всем значениям непрерывно изменяющегося значения W [c.421]

В этом состоит Я-теорема Больцмана. [c.120]

Необходимо подчеркнуть, что эта теорема имеет не динамический, а статистический (вероятностный) характер. Дело в том, что кинетическое уравнение Больцмана определяет изменение со-временем средней или наиболее вероятной плотности числа частиц д, р, Ц, поэтому Я-теорема Больцмана не означает, что величина H(t) для данной массы газа должна обязательно убывать в течение каждого короткого интервала, но утверждает лишь, что ее убывание более вероятно, чем возрастание при приближении газа к равновесному состоянию. [c.120]

Полученные результаты составляют содержание Я теоремы Больцмана -. [c.48]

Обобщение теоремы Больцмана для реагирующего газа содержится в [1]. [c.48]

Кванты проникли также в такую область науки, в которой их никто не ожидал встретить,—в теорию газов. Метод Больцмана оставлял неопределенным значение аддитивной константы, входящей в выражение для энтропии. Чтобы получить возможность применения теоремы Нернста и получить точные значения химических констант, Планк ввел кванты и сделал это в довольно парадоксальной форме, приписав элементу фазового пространства молекулы конечное значение, равное Л . Изучение фотоэлектрического эффекта привело к новой загадке. Фотоэлектрическим эффектом называют испускание веществом движущихся электронов под влиянием излучения. Опыт показывает, что энергия испущенных электронов зависит от частоты возбуждающего излучения, а не от его интенсивности, что является парадоксальным. Эйнштейн объяснил в 1905 г. это странное явление, приняв, что излучение может поглощаться только квантами hv с тех пор считается, что если электрон поглощает энергию к и для выхода из вещества затрачивает работу w, то его конечная кинетическая энергия будет hv — и/. Этот [c.643]

Хотя прогресс, достигнутый благодаря использованию предложенного Больцманом подхода, поразителен, остается немало и нерешенных вопросов [13]. Во-первых, мы сталкиваемся с чисто практическими трудностями, возникающими, например, при желании использовать выведенные Больцманом уравнения для решения более общих задач (например, возникающих при изучении поведения газов большой плотности). За последние несколько лет кинетическая теория достигла выдающихся успехов. Тем не менее если мы внимательно проанализируем публикации, посвященные современной кинетической теории газов или статистической механики неравновесных систем, то не найдем в них ничего, что было бы похоже па, У/ -теорему Больцмана, хотя эта теорема остается справедливой для более общих случаев. Результат, полученный Больцманом, остался изолированным, что противоречит той общности, которую мы приписываем второму закону термодинамики. [c.145]

Кроме того, мы встречаемся и с теоретическими затруднениями. Наиболее серьезным из них, по-видимому, является парадокс об обратимости, сформулированный Лошмидтом. Сущность этого парадокса сводится к следующему при обращении скоростей молекул система должна вернуться в исходное состояние. Ясно, что во время возвращения ее к начальному состоянию, Ж"-теорема Больцмана (уравнение (31)) [c.145]

Физическая причина нарушения справедливости <Ж"-теоремы Больцмана в отношении такой системы состоит в том, что обращение скоростей молекул гипотетической системы приводит к появлению в системе дальних корреляций. Можно, конечно, возразить, что такие корреляции являются исключением и поэтому ими можно пренебречь. Однако, как найти критерий, позволяющий отличить аномальные корреляции от нормальных, особенно при рассмотрении систем, плотность которых велика [c.146]

Таким образом, между изменениями энтропии системы и вероятности ее состояния существует связь, выражаемая логарифмической формулой. К этому же выводу приводит более строгое доказательство, известное под названием Я-теоремы Больцмана. [c.82]

Теорема Нернста справедлива как для бозонов, так и для фермионов. Более того, мы убедимся в том, что если бы при Г = 0 К для каких-то частиц имело смысл распределение Максвелла - Больцмана, то и для таких, не существующих в действительности, частиц эта теорема выполнялась бы. Так как фактически при достаточно низких температурах газ всегда является вырожденным, это обстоятельство не имеет практического значения. [c.200]

Перейдем к доказательству теоремы Нернста. Будем исходить из формулы Больцмана для энтропии равновесного состояния (35.2) 5 = = 1п Й тах- Запишем формулы для числа способов размещения частиц по энергетическим уровням е,- с кратностями вырождения g, для фермионов, бозонов и классических (различимых) частиц (34.10), (34.2), (36.1) [c.200]

Баушингера эффект 31 Больцмана уравнение 308 Бредта теорема 131 Бринеля метод 236 [c.321]

Я-ТЕОРЕМА (РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ СЛУЧАЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ) [c.39]

Кинетическое уравнение, выведенное Больцманом в 1872 г., оказалось столь успешным и сыграло столь важную роль имении потому, что из него вытекала возможность определения энтропии, а также следовало, что энтропия обладает свойством (12.2.2). Таким образом, теория Больцмана исторически была первой теорией, объясняющей необратимость на ( почти ) механическом уровне. Теорема Больцмана известна также под названием Н-тео-ремы такое название объясняется тем, что Больцман использовал букву И для обозначения величины [—7 (х f)b [c.55]

Я-теорема Больцмана не является следствием законов механики системы частиц. При ее выводе существенным образом используются статистические понятия, например среднее число столкновений и др. Я-теорема поэтому имеет вероятностный характер. Она представляет собой количественную формулировку закона возрастания энтропии для некоторых процессов, происходящих в идеальном газе. [c.227]

ПАРАДОКС ОБРАТИМОСТИ в статистической физике — кажущееся противоречие между обратимым характером движения молекул газа и очевидной необратимостью процессов нереноса (теплопроводности, вязкости, диффузии). П. о. был сформулирован Й, Лошмидтом (J, Los haiidt) в 1876 как возражение против Больцмана Н-теоремы для кинетич. ур-ния газа, из к-рого следует, что //-функция Больцмана не может возрастать (1—2]. [c.529]

Напоминаем читателю, что формула (8.35) была получена применением к равновесному тепловому излучению законов термодинамики и теоремы Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы. Очевидно, что полученные соотнопшния удовлетворяют термодинамической формуле Вина (8.6). Для [c.422]

Представим себе замкнутую полость объемом V с идеально отражающими стенками, нагретыми до температуры Т, в которой создан вакуум. Внутри полости существует электромагнитное поле. В результате отражений от стенок в полости образуется система бесконечно большого числа стоячих волн различной частоты и разного направления. Каждая такая стоячая волна представляет собой элементарное состояние электромагнитного поля. Теорема о равномерном распределении энергии утверждает, что и в этом случае при равновесии между стенками полости и электромагнитным излучением на каждую стоячую волну должна приходиться средняя энергия, равная 1гТ, где к — постоянная Больцмана. При этом, подобно то.му как средняя энергия гармонического осциллятора складывается из средней кинетической энергии, равной кТ 2, и средней потенциальной энергии, также равной кТ12, в случае электромагнитных стоячих волн полная средняя энергия кТ складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, равных в отдельности кТ 2 каждая. [c.138]

Введение. Большая часть исследований в области наследственной теории ползучести, берущих свое начало с основополагающих работ Больцмана [540—541] и Больтерра [642, 643], посвящена нестареющим материалам, т. е. материалам, реологические свойства которых описываются ядрами разностного типа. Для этих материалов выполняется условие замкнутого цикла, вытекающее из того, что уравнения теории ползучести с разностными ядрами инвариантны относительно сдвига начала отсчета времени. К упомянутым уравнениям применима алгебра резольвентных операторов, методы преобразования Лапласа — Карсона, предельные теоремы и др. [c.59]

Согласно теореме Больцмана энтропия связывается с так называемой вероятностью микросостояния. Под последней понимается число способов, которым может осуществиться данное состоятше системы. Если это число равно н , то энтропия системы [c.198]

Эту формулу нужно теперь получить, исходя из теоремы Больцма-н а. [c.25]

В классич. статистич. физике абс. Т. пропорциональна ср. кинетич. энергии тела. На одну степень свободы, согласно теореме Больцмана о равномерном распределении кинетич. энергии по степеням свободь[ (см. Равнораспределения закон), приходится ср. кинетич. энергия (1/2)АГ. Однако теорема Больцмана не справедлива в том случае, когда приходится учитывать квантовые эффекты. Согласно общему статистич. определению, абс. Т., пропорц. модулю канонического распределения Тиббса G = kT (т. е. знаменателю в показателе экспоненты ф-ции распределения). [c.62]

В случае е = — 1 функционал (22) положительно определён, что говорит об устойчивости монотонных по энергии W распределений — теорема Ньюкомба — Гарднера (клас-сич. пример распределение Максвелла — Больцмана /о = /(е Покажем, что монотонные распределения глобально устойчивы, выбрав функционал Ляпунова [c.260]

Таким образом, мы получили не что иное, как второй закон термодинамики (12.2.1), (12.2.2). Следовательно, мы дали полное обос-нование"необратимой термодинамики для всех систем, подчиняющихся уравнениям Больцмана и Ландау. Этот результат особенно замечателен, поскольку число известных кинетических уравнений, для которых Л -теорема может быть доказана в явном виде, весьма ограничено. [c.61]

Вообще говоря, главная задача неравновесной статистической механики состоит в том, чтобы вывести кинетические уравнения или уравнения неравновесной термодинамики, исходя из уравнения Лиувилля. Наиболее впечатляющей и даже парадоксальной особенностью этой задачи является то, что мы хотим вывести необратимые во времени макроскопические уравнения из обратимого уравнения Лиувилля. Парадоксальность ситуации в теории неравновесных процессов была замечена очень давно. В качестве примеров напомним известный парадокс обратимости Лошмидта [119] и парадокс возврата Цермело [168], которые были выдвинуты против Я-теоремы Больцмана в кинетической теории газов. Проблему необратимости хорошо понимал Гиббс [13], когда обсуждал возрастание энтропии вследствие перемешивания в фазовом пространстве. [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...