Уравнения дифференциальные граничные

Эти уравнения являются граничными условиями для системы дифференциальных уравнений микродвижения (2.1.1). [c.59]

Второй характерный случай применения вариационного подхода — это получение дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи как уравнений Эйлера соответствующего функционала. Такой путь оказывается оправданным для тел сложной формы и структуры (например, многослойные оболочки и др.), а также при переходе от одной системы координат к другой (от декартовой системы к полярной, криволинейной и другим системам). [c.57]

Анализ системы дифференциальных уравнений и граничных условий методами теории подобия позволяет заключить, что для вынужденного движения газа влияние поперечного потока вещества отражается в уравнении подобия следующими безразмерными комплексами [c.417]

Отсюда не следует, что всякое решение уравнений Навье—Стокса будет давать соответствующее решение уравнений идеальной жидкости, если в нем положить V = 0. Дело в том, что в решении дифференциальных уравнений входят граничные условия, которые существенно различны для вязкой и идеальной жидкостей. [c.99]

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

Сравнивая (9.448), (9.449) с (9.451) и (9.452), получаем, что функция ф, определяющая потенциал обтекания при движении несущей поверхности в сжимаемой среде, и функция Фдр потенциала скоростей преобразованного крыла в несжимаемой среде удовлетворяют одним и гем же дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Поэтому значения этих потенциалов в точках потока, связанных условиями преобразования координат (9.447), равны, т. е. [c.355]

Покажем, что дифференциальные уравнения и граничные условия для диффузионного слоя имеют такой же вид, как и для теплового. Тогда для диффузионного слоя можно воспользоваться полученными решениями. [c.321]

Подставляя выражения (б) в дифференциальные уравнения и граничные условия (18.1) — (18.5), получим уравнения движения [c.279]

Сформулируем для уравнений (1.2.21) граничные условия. Поскольку все дифференциальные уравнения этой системы — первого порядка, необходимо задать по одному граничному условию для каждого уравнения. Для двух последних уравнений системы граничные условия очевидны значения концентраций на концах аппарата равны входным концентрациям [c.16]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

Граничное условие для этого уравнения будет выглядеть следующим образом Г (х, р) о = 1/Р- Решение полученного обыкновенного дифференциального уравнения с граничным условием имеет вид [c.177]

Решение задачи для конкретного упругого тела с заданными поверхностными и объемными силами требует определения компонент напряжений или перемещений, которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Если в качестве основных неизвестных выбраны компоненты напряжения, то следует удовлетворить 1) уравнениям равновесия (123), 2) условиям совместности (125) и 3) граничным условиям (124). Обозначим через ... напряжения, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и массовыми силами X, Y, Z. [c.252]

На другую аналогию указал Буссинеск ). Он показал, что дифференциальное уравнение и граничное условие для определения функции напряжений ср (см. уравнения (150) и (152)) тождественно совпадают с теми, которые служат для опреде-ления скоростей в ламинарном потоке вязкой жидкости по трубе того же сечения, что и скручиваемый стержень 2). [c.332]

Предполагая, что концы пластинки, отвечающие концам вала, обладают некоторой разностью потенциалов, так что ток течет вдоль оси Z, получаем, что эквипотенциальные линии нормальны к боковой поверхности пластинки, т. е. мы имеем те же граничные условия, что и для линий постоянного угла закручивания. Если дифференциальные уравнения и граничные условия для обоих типов линий одинаковы, то линии совпадают. Следовательно, исследовав распределение потенциала в пластинке, можно получить ценную информацию относительно распределения напряжений в скручиваемом валу. [c.353]

Для двухмерного температурного поля вида T = f x, у) получение аналитического решения, удовлетворяющего дифференциальному уравнению и граничным условиям, целесообразно для тел простой формы. Для тел сложной формы решение получается громоздким, а в отдельных случаях его можно и не получить тогда для практических расчетов либо упрощают аналитическое решение, либо задачу решают численно, например на электронной вычислительной машине. [c.55]

Иноземцев В. Г., рассмотрев линейное одномерное. дифференциальное уравнение при граничных условиях второго рода, получил следующие зависимости для расчета температуры тормозов железнодорожного транс- порта [c.116]

Решение этого дифференциального уравнения при граничных условиях I 0) = q и I (оо) = О имеет вид (253), где вместо 7 имеется у. [c.200]

Решение этого дифференциального уравнения при граничных условиях / (0) = <7 и (сх>) = О имеет вид выражения (266), где вместо Yi имеется у. [c.196]

Трение несжимаемой жидкости. Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий. Течение жидкости по длинной цилиндрической трубе. Введение допущений, что жидкость прилипает к твердому телу, с которым соприкасается, и что скорости бесконечно малы. Равномерное вращение в жидкости шара относительно диаметра, или эллипсоида вращения относительно оси симметрии в случае, когда снаружи жидкость не ограничена, или ограничена концентрической шаровой поверхностью, или соответственно поверхностью софокусного эллипсоида. Вычисление момента сил, действующих на шар или эллипсоид. Сопротивление шара, равномерно поступательно движущегося в жидкости. Вращательные колебания шара. Колебания шара при которых центр движется вперед и назад [c.306]

С помощью этого значения а каждая из величин I и Ц, определяющих изгиб, может быть вычислена из соответствующих дифференциальных уравнений и граничных условий. Далее, из уравнения (5) можно найти [c.357]

Так как общее решение неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее граничным условиям на внутреннем контуре, имеет вид [c.37]

К основному дифференциальному уравнению добавляются граничные и начальные it t условия, которые диктуются, с одной стороны, способом опирания балки, а с другой [c.77]

Часто известна дополнительная информация о поведении / (х) в точках X = О, X = i. Например, может случиться, что конечной целью является решение некоторого дифференциального уравнения с граничными условиями [c.144]

Результаты численных расчетов нестационарного оплавления стеклообразных материалов показали, что из всех физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения и граничные условия, на ход зависимости скорости уноса массы от времени Gz (т) влияют лишь теплопроводность материала (рис. 8-10) и его плотность. Изменение всех остальных параметров приводит лишь к отличиям в установившихся значениях скорости оплавления От. и температуре поверхности (рис. 8-11,а—в). [c.207]

Основная идея дифференциально-разностного приближения заключается в представлении потока излучения для рассматриваемого направления в виде разности двух встречных потоков. При таком подходе путем соответствующего интегрирования уравнение переноса излучения заменяется системой из двух дифференциальных уравнений, содержащих в качестве неизвестных поверхностные плотности встречных потоков излучения. Аналогичное интегрирование производится и для получения граничных условий к этим дифференциальным уравнениям. Полученные описанным способом дифференциальные уравнения, граничные условия и уравнение энергии составляют замкнутую систему уравнений дифференциально-разностного приближения, которая и решается в зависимости от постановки задачи тем или иным способом. Коэффициенты переноса, фигурирующие в этой системе уравнений, как уже упоминалось, заранее точно не известны и определяются на основании предварительных приближенных оценок, а в случае необходимости могут быть уточнены итерационным методом. Этим, собственно, и обусловливается приближенность рассматриваемого метода. Вместе с этим сравнительная простота получаемых уравнений, отсутствие принципиальных затруднений при их решении, физическая наглядность сделали дифференциально-разностное [c.114]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Из сопоставления основного и сопряженного уравнений для функций Грина (2.176) и (2.177) [см. также (2.139) и (2.144)1 следует, что они становятся идентичными при обращении потока жидкости вспять . Если ввести, например, в основное уравнение обратный вектор скорости потока v(r)=—u(r) и тем самым поменять местами входное и выходное сечения канала, то и граничные условия для функции и+(г) (2.147), (2.166) — (2.168) станут идентичными граничным условиям (2.141), (2.163) — (2.165) для функции u(r). Граничные условия на боковой поверхности канала (заторможенность потока) также не изменяются по виду [см. (2.142) и (2.162)1. В силу идентичности дифференциальных уравнений и граничных условий к ним на основании теоремы единственности следует вывод об идентичности решений этих уравнений при q = q и Го = п [c.74]

Тогда для получения исходного приближения, согласно (9) и (10), получим следующую систему дифференциальных уравнений и граничных условий [c.140]

Определив указанным образом исходное приближение, запишем дифференциальные уравнения и граничные условия для определения следующего, первого приближения [см. равенства (12)], т. е. функций [c.141]

Таким образом, имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Ti.s+i, Tz.k+i, Ta.h+i и Ti,h+i. Для определения температурного поля в рассматриваемом простейшем случае необходимо решить эту систему уравнений. С уменьшением шага интегрирования по координате, а также в случае плоских или пространственных температурных полей число уравнений в системе (2-136) возрастает настолько, что для ее решения необходимы соответствующие приемы (например, метод разностной факторизации — прогонки ). В общем случае порядок системы равен числу узлов сетки, в которых аппроксимируется данное дифференциальное уравнение и граничные условия, за исключением граничных условий первого рода. При сравнительно небольшом числе узлов (10—15) используются, как правило, прямые методы решения. В более сложных случаях система уравнений решается только каким-либо методом итераций (Л. 52]. [c.105]

Если в теле имеются сосредоточенные источники и стоки тепла, описываемые линейным дифференциальным уравнением, причем граничное условие теплообмена также линейно, то температурные поля, создаваемые отдельными источниками, независимы друг от друга. Следовательно, результирующее температурное поле является суммой температурных полей, создаваемых отдельными источниками и стоками тепла. Это свойство подобных полей позволяет сравнительно просто решать ряд задач путем введения в расчет фиктивных стоков или источников тепла. В качестве примера применения этого метода рассмотрим задачу о тепловых потерях неизолированного круглого трубопровода, заложенного в грунт. Схема задачи показана на фиг. 14. В полубесконечный массив (грунт) на глубину h заложен трубопровод диаметром D. На поверхности трубопровода t = ti, на всей поверхности грунта t = Последнее условие означает весьма интенсивное охлаждение поверхности грунта или достаточное заглубление трубы, так как в противном случае поверхность массива над трубопроводом была бы заметно более прогрета, чем более удаленные области. [c.86]

Основная сложность метода анализа размерностей заключается в том, что нужно знать все параметры, влияющие на искомую величину. Для совершенно неисследованных процессов эти параметры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже описан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные условия к ним, очевидно, входят все влияющие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же самые безразмерные числа. Этим занима- [c.83]

Линейная колебательная система (линейная система)— колебательная система, колебания которой описываются лине11ными дифференциальными уравнениями и граничными условиями. [c.138]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Варьируя усилия мы получим уравнения связи (12.5.4), где afi определяются формулами (12.10.1) варьируя перемещения Ua, получим снова дифференциальные уравнения и граничные условия (12.5.7). При варьировании прогиба мы поступаем так же, как в 12,5, с той разницей, что производные от прогиба входят в множитель при Та . Поэтому нам придется дополнительно преобразовать интегрированием по частям вариацию [c.412]

Математической моделью некоторого физического явления называют совокупность соответствующих уравнений (дифференциальных, интегральных, интегродифференциаль-ных), граничных и начальных условий. [c.135]

Существуют два основных численных. метода решения уравнений в частных производных метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они отличаются сп н обами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов — на эквивалентной вариационной постановке задачи. [c.69]

Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую логрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета. [c.84]

Для расчета средней величины коэффициента мас-соотдачи при конденсации системы N2O4 на вертикальной поверхности.с использованием метода фракционного анализа дифференциальных уравнений и граничных условий были составлены уравнения подобия для замороженного случая i[7.25] [c.188]

Умножить дифференциальные уравнения и граничные условия на выбранное ядро 1преобразова1Ния и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по неременной, (подлежащей исключению в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций (мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения функций, которые учитывают начальные (при иапользовании преобразования Лапласа) или граничные (при нспользовапии преобразО Ваний Фурье) условия. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...