Теорема Фурье

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Проведенное рассмотрение простого эксперимента является как бы введением в решение общего вопроса о возможности преобразования произвольной временной функции в соответствующую частотную зависимость. Обоснование этой процедуры содержится в теореме Фурье, значение которой для физических исследований трудно переоценить. В этой теореме, подробное рассмотрение которой содержится в любом курсе высшей математики, утверждается любую конечную и интегрируемую функцию E(t) можно представить в виде интеграла [c.63]

При ответе на первый вопрос целесообразно провести сравнение экспериментального способа разложения излучения на сумму монохроматических волн и известной математической операции получения спектра произвольной функции ( ) — операции, законность которой обоснована теоремой Фурье. [c.68]

Рассматриваемые сложные вопросы разложения излучения в спектр блестяще изложены в книге Г.С. Горелика Колебания и волны . Чрезвычайно интересна острая дискуссия нескольких студентов и преподавателя о современном значении опыта Ньютона, впервые разложившего призмой солнечный свет, а необходимость прагматического подхода к выбору способа разложения в спектр доказана остроумным сравнением отношения математика и вязальщицы к выбору оптимального соотношения между числом пальцев в каждой перчатке, если известно только, что пара перчаток имеет 10 пальцев. Для математика эквивалентны распределения 5 + 5 и, например, 3 + 7, а вязальщица отнюдь не свободна в этом выборе — никто не купит у нее пару перчаток с неравным числом пальцев на каждой руке. Эти примером мы хотим показать исключительное значение теоремы Фурье в оптике и многих других разделах физики. [c.70]

Мы рассмотрели до конца приведенный выше пример ввиду крайней простоты математического разбора задачи. В случае иного, более сложного закона изменения амплитуды во времени (периодического или непериодического) физическая сущность явления остается той же, но математический анализ разыскания отдельных монохроматических волн, из которых можно сложить данную немонохроматическую, гораздо сложнее и требует, вообще говоря, применения теоремы Фурье. [c.35]

Действительно, данные о распределении энергии импульса по частотам, доставленные такой идеальной спектрограммой, позволили бы воспроизвести только коэффициенты отдельных элементов ряда (интеграла), на которые согласно теореме Фурье можно разложить импульс, ибо интенсивность отдельной спектральной линии определяется соответствующим коэффициентом разложения. Однако форма импульса зависит не только от значения этих коэффициентов, но также и от соотношения фаз отдельных его компонент. Поэтому импульсы самой разнообразной формы могут соответствовать одним и тем же значениям коэффициентов Фурье и, следовательно, давать одно и то же спектральное разложение. Таким образом, задача о разложении данного волнового импульса в спектр при помощи заданного аппарата решается однозначно. Воспроизведение же исходного импульса по его спектру, даже полученному с помощью прибора бесконечной разрешающей силы, остается неопределенной задачей. [c.220]

В 4 мы видели, что любая функция времени может быть представлена как совокупность синусоидальных функций времени с различными периодами, амплитудами и фазами. Аналогично, любую пространственную структуру, свойства которой, например коэффициент пропускания, есть функция пространственных координат, можно представить как совокупность синусоидальных структур (теорема Фурье). В частности, если коэффициент пропускания структуры зависит только от одной координаты, например х, то коэффициент пропускания отдельных синусоидальных структур [c.224]

Поле световой волны Е можно считать простой синусоидальной функцией частоты ы, т. е. Е = Е sin ы/, ибо по теореме Фурье поле иного вида всегда можно представить в виде суперпозиции таких функций, и решение более общей задачи сводится к решениям более простых задач такого типа. Положив g = 0 и разделив обе части уравнения (156.6) на т, придадим ему вид [c.553]

Действительно, движение электронов по окружностям или вообще по криволинейным орбитам, есть движение ускоренное и согласно законам электродинамики должно сопровождаться излучением света соответствующей частоты. В частности, при равномерном обращении по окружности частота излучения равна частоте обращения при более сложных периодических движениях излучение можно представить как ряд монохроматических компонент, в соответствии с теоремой Фурье. Однако при таком движении, например круговом, в результате излучения будет уменьшаться энергия атомной системы и вместе с ней будет уменьшаться рас- [c.720]

Правила разложения колебаний сложной формы на простые гармонические колебания основаны на теореме Фурье, доказываемой в математике. Согласно этой теореме, любую периодическую функцию х = 1(Ы) можно представить в виде бесконечного ряда, называемого рядом Фурье [c.194]

Рассмотрим случай более общий, чем движение электрона вокруг ядра по круговой орбите. При любом периодическом движении электрона проекция его смещения на некоторую ось может быть по теореме Фурье представлена, как сумма гармонических колебательных движений [c.42]

Колебания электрона в результате затухания не будут чисто гармоническими их можно представить как наложение бесчисленного множества гармонических колебаний. Обозначим среднюю амплитуду этих колебаний, отнесенную к единичному интервалу частот, через а . Тогда по теореме Фурье [c.477]

Если, следовательно, х рассматривать как функцию от t (обращение интеграла), то х будет периодической функцией с периодом Т. Согласно теореме Фурье X можно разложить в тригонометрический ряд вида [c.290]

Это замечание имеет большую важность, если его связать с одним результатом анализа, известным под названием теоремы Фурье ), в силу которой какая угодно функция Q t), конечная, непрерывная [c.73]

Теорема Фурье вместе с предыдущим замечанием позволяет непосредственно определить (в виде суммы ряда, сходимость которого легко может быть доказана) частный интеграл J уравнения (41) при любом законе действия периодической возмущающей силы. [c.74]

Это является следствием интегральной теоремы Фурье. Конечно, соответствующим подбором решений (3) можно получить такие решения, в которых возмущение после некоторого возрастания снова затухает. Вопрос о том, действительно, ли локальный метод малых возмуш,ений качественно правильно отражает любые возмущения, остается нерешенным. [c.287]

При произвольном колебательном процессе приложенной ЭДС по теореме Фурье она может быть представлена в виде суммы гармонических колебаний с различными значениями частот, амплитуд и сдвигов по фазе. [c.221]

В соответствии с теоремой Фурье любая достаточно регулярная функция координат (ф, z) может быть представлена в виде, приведенном в (3.3.69). Тогда, если заданные компоненты скорости на стенке цилиндра представлены в таком же виде, функции [c.97]

Теорема Фурье не только является одним из самых прекрасных результатов современного анализа, но и, можно сказать, представляет собой совершенно незаменимый инструмент для решения почти всех неясных проблем новейшей физики . [c.49]

Утверждение, что периодическая функция может быть выражена в виде суммы последовательности гармоник, известно, как теорема Фурье. Большинство функций подчиняется ей, и отдельные исключения, хотя ни одно из них и не упоминается в этой книге, могут быть найдены в учебниках математики. [c.49]

В 2 настоящей главы отмечалось, что решение Лапласа может принять форму (2.2), которая связывалась с интегралом Фурье для f (х). Указанное решение можно вывести также из интегральной теоремы Фурье. Для этого удобнее всего, по-видимому, использовать преобразование Фурье. Мы приведем здесь краткое изложение данного метода и покажем, как он приводит к решению Лапласа. [c.62]

Это чрезвычайно жесткое условие сильно затрудняет использование интегральной теоремы Фурье в этой форме для практических приложений. Результаты для более широкого класса функций можно получить при использовании обобщенных интегралов Фурье [7] или преобразования Лапласа, причем последнее удобнее всего применять в целом ряде задач, связанных с теплопроводностью. [c.62]

Первый член решения (11.18) представляет собой значение v для неограниченного цилиндра с температурой поверхности V, и следовательно, ряд в этом соотношении можно рассматривать как поправку на влияние торца ). Такая схема решения полезна, когда поверхность, уходящая в бесконечность, поддерживается при постоянной температуре, и поэтому интегральная теорема Фурье становится неприменимой, хотя получаемые с ее помощью решения на самом деле обычно правильны. [c.412]

Этот результат связан с формулами обращения для преобразований Фурье и Лапласа его часто называют теоремой Фурье — Меллина . [c.448]

Подставляя значение T vx, vy) и используя известные теоремы фурье-преобразования, получим следующее. [c.237]

ГЛАВА III ТЕОРЕМА ФУРЬЕ 32. Ряд по синусам [c.118]

Полная формулировка теоремы Фурье. Разрывы функции [c.124]

ПОЛНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ ФУРЬЕ [c.125]

Это и является наиболее общей формулировкой теоремы Фурье, включающей все остальные формулировки в качестве частных случаев. [c.126]

Согласно теореме Фурье, любую периодическую функцию F(t) можно заменить конечной или бесконечной суммой гаргАрниче-ских функций. Кроме того, эта теорема дает рецепт вычисления коэффициентов и утверждает, что [c.68]

Рахюжение периоди-ческой функции на монохроматические составляющие расчетное по теореме Фурье (Д) римент льное при по.чощи матора (б) [c.68]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]

Для объяснения описанного, очень эффектного эксперимента можно рассуждать следующим образом. На первом этапе голографирования фотопластинка воспринимает более или менее сложное поле, фазовые свойства которого зависят от геометрических особенностей объекта и опорной волны, поскольку использованное лазерное излучение пространственно когерентно. Каково бы ни было это поле, его можно представить в виде набора плоских волн (теорема Фурье). Каждая нз них в результате интерференции с опорной волной создает периодическую систему интерференционных полос с характерными для нее ориентацией и периодом. Каждая элементарная интерференционная картина приводит к образованию на голограмме некоторой дифракционной решетки. В соответствии с изложенным в 58 каждая из этих решеток на втором этапе голографирования восстановит исходную плоскую волну. Более детальный анализ показывает, что восстановленные элементарные волны находятся в таких же амплитудных и фазовых отношениях, как и набор исходных плоских волн. Поэтому совокупность восстановленных элементарных плоских волн воссоздаст согласно теореме Фурье полное рассеянное объектами поле, которое мы и наблюдаем визуально или регистрируем фотографически. [c.244]

Выше неоднократно обсуждались многообразные физические причины, обусловливающие немонохроматичность света, испускаемого атомами и молекулами (см. 4, 14, 22, 158, 210). В результате нерегулярных, статистических возмущений, испытываемых излучающим атомом со стороны остальных частиц среды, излучение представляет собой последовательность волновых цугов, некогерентных между собой и отличающихся по амплитуде, фазе и частоте. Анализ волновых цугов, основанный на теореме Фурье, позволяет вычислить контур линии (см. 22), т. е. выяснить в каждом конкретном случае вид зависимости спектральной плотности коэффициентов Эйнштейна от частоты. [c.740]

Согласно теореме Фурье, нулевой член разложения в общем случае является средним значением функцииДф) за период Tin, определяемым расстоянием от базового уровня отсчета текущего размера до средней линии геометрических отклонений профиля (до среднего цилиндра) [c.344]

Согласно интегральной теореме Фурье (см. [11], 119), если / (х) определена для всех X, удовлетворяет условиям Дирихле ) в любом конечном интервале и если существует интеграл ) [c.62]

Физические основы механики и акустики (1981) -- [ c.194 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 1 (1951) -- [ c.73 , c.74 ]

Гидродинамика при малых числах Рейнольдса (1976) -- [ c.97 ]

Основы оптики Изд.2 (1973) -- [ c.39 ]

Колебания и волны Введение в акустику, радиофизику и оптику Изд.2 (1959) -- [ c.54 , c.220 , c.496 , c.526 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...