Полная краевая задача безмоментной теории

ПОЛНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ Ц[ [c.111]

Полная краевая задача безмоментной теории [c.111]

Под полной краевой задачей безмоментной теории или полной безмоментной краевой задачей будет подразумеваться задача интегрирования головных уравнений безмоментной теории с выполнением двух тангенциальных граничных условий в каждой точке края (или краев) оболочки. Всегда будет предполагаться, что эти граничные условия таковы, что в однородном случае из них следует обращение в нуль правой части равенства (7.7.7), т. е. выполнение равенства [c.111]

Таким образом, для консольной оболочки надо рассмотреть полную краевую задачу безмоментной теории, в которой тангенциальные граничные условия имеют вид (15.17.1) или (15.17.2). [c.213]

В частности, перейдя от произвольной поверхности нулевой кривизны к цилиндру, т. е. положив А = ( 2), R = R (а в (13.1.6) и (13.1.10), получим следующее решение полной краевой задачи безмоментной теории для консольной цилиндрической оболочки произвольного очертания [c.214]

Решение полной краевой задачи безмоментной теории для консольной оболочки с косыми краями построено..Оно единственно. Это следует из того, что величины, отмеченные индексом (м), которые отброшены в (15.19.5), не могут быть отличны от нуля, так как они не удовлетворяют условиям (15.19.4). [c.217]

Пусть для некоторой оболочки (не обязательно нулевой кривизны) поставлена полная краевая задача безмоментной теории, заключающаяся в том, что на каждом краю сформулированы по два идеализированных тангенциальных граничных условия, среди которых, вообще говоря, будет находиться и некоторое число геометрических условий. Тогда можно ввести важное для дальнейшего понятие о возможных изгибаниях, подразумевая под этим такие изгибания срединной поверхности, которые удовлетворяют всем однородным тангенциальным геометрическим граничным условиям данной полной краевой задачи безмоментной теории. В число тангенциальных граничных условий задачи могут и не входить геометрические граничные условия. Тогда возможными надо считать все изгибания, которые имеет срединная поверхность оболочки, когда ее кр.ая ничем не стеснены. В дальнейшем выяснится, что с прочностной точки зрения наиболее выгодны (они Чаще всего и применяются на практике) те оболочки, в которых тангенциальные геометрические граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверхности, т. е. не допускают каких бы то ни было ее изгибаний. В таких случаях будем говорить, что возможные изгибания равны нулю. [c.219]

Итак, полная краевая задача безмоментной теории для консольной оболочки нулевой кривизны имеет единственное решение (15.17.3), (13.1.6), [c.221]

Остается пояснить, с чем связано дополнительное предположение об отсутствии касания срединной поверхности с плоскостью вдоль замкнутой кривой. Для этого рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой представляет собой полный круговой тор (на рис. 27 показан его меридиан). Цилиндром аа он рассекается на две части А — поверхность неотрицательной кривизны и В — поверхность неположительной кривизны. Пусть осесимметричная внешняя поверхностная нагрузка приложена как к части А, так и к части В, так, как это показано на рисунке. В целом нагрузка статически уравновешена, но в отдельности для Л и В ее равнодействующая дает ненулевую проекцию на вертикальную ось. Для полной краевой задачи безмоментной теории все условия обсуждаемой теоремы выполнены в теории поверхностей доказано, что тор жёсток (см., например, [19]), т. е. он может [c.222]

Решение полной краевой задачи безмоментной теории, соответствующей, условиям (15.22.1), зададим в форме (15.16.1), будем считать, что в формулах (13.1.6), (13.1.8), (13.1.10), (13.1.13) нижние пределы интегрирования выбраны обычным образом (ai = an, a2 = aia), и начнем с выполнения статических условий. [c.223]

Все эти четыре равенства, вообще говоря, невозможно выполнить в рамках решения полной краевой задачи безмоментной теории, так как в общем [c.226]

Равенства (15.24.4), очевидно, представляют собой необходимые и достаточные условия существования решения рассматриваемой полной краевой задачи безмоментной теории. Если поверхностные и краевые силы удовлетворяют равенствам (15.24.4), то тангенциальные усилия будут однозначно определены формулами (15.16.1), (13.1.6) и (13.1.8). Перемещения при этом не будут однозначными, так как можно считать, что и , и , w определяются тремя последними равенствами (15.16.1), в которых [c.227]

Расчленим оболочку на три части, как изображено пунктирными линиями на рис. 29, и будем решать полные краевые задачи безмоментной теории в отдельности для каждой из полученных оболочек. Части 1 я 2 представляют собой консольные оболочки, а часть 3 — оболочку, жестко заделанную [c.228]

Полная краевая задача безмоментной теории в этом случае не решается потому, что условие, [c.228]

Результаты 16.27, 16.28 можно рассматривать как решение полной краевой задачи безмоментной теории, в которой искомые функции должны быть построены во всей плоскости комплексного переменного Z, за исключением точек приложения сосредоточенных воздействий. В этих точках для искомых функций допускаются полюсы, а роль граничных условий играют требования, чтобы они имели определенный вид. С точки зрения теоремы [c.242]

В рассматриваемых случаях полная краевая задача безмоментной теории сводится к последовательному решению статической и геометрической задач безмоментной теории ( 7.7). Статическая задача, рассмотрением которой мы пока и ограничимся, заключается в определении тангенциальных усилий ТI, S, из безмоментных уравнений равновесия с учетом статического граничного условия. Оно для случаев (17.30.1) и (17.30.2) записывается соответственно так [c.245]

Примем снова, что имеется купол, на кр-аю которого ставятся одно статическое и одно геометрическое тангенциальные граничные условия, и рассмотрим для него полную краевую задачу безмоментной теории. Она заключается в решении головной системы безмоментных уравнений ( 7.8) с учетом обоих тангенциальных граничных условий, и в данном случае его удобно разбить на три этапа. [c.258]

Если невозможно выполнить этап 1, т. е. если не существует решения безмоментной статической задачи, то, очевидно, не существует и решения полной краевой задачи безмоментной теории. Это произойдет тогда, когда тангенциальное геометрическое граничное условие допускает изгибания срединной поверхности, а работа внешних сил на перемещениях таких изгибаний отлична от нуля, т. е. когда нарушатся условия теоремы о возможных изгибаниях. [c.258]

Итак, в случае I, т. е. когда геометрическое граничное условие исключает все изгибания срединной поверхности (так как R >0), полная краевая задача безмоментной теории всегда имеет решение, и оно единственно. [c.259]

В теории изгибаний показано, что незамкнутая поверхность со свободными краями не является жесткой. Поэтому согласно теореме о возможных изгибаниях соответствующая полная краевая задача безмоментной теории не должна, вообще говоря, иметь решения. Это подтвердилось на примере замкнутой оболочки нулевой кривизны, рассмотренной в 15.24. При этом выяснилось, что в данном случае теорема о возможных изгибаниях полностью выполняется. [c.262]

Если условия сформулированной теоремы не выполняются, то, конечно, полная краевая задача безмоментной теории решения не имеет. Если условия выполняются и внутренние тангенциальные усилия, уравновешивающие заданную нагрузку, существуют, то при помощи (7.1.4) можно выразить через них компоненты тангенциальной деформации е , со, Для определения пере- [c.262]

Если на обоих краях оболочки в тангенциальных направлениях ставится одно статическое и одно геометрическое граничные условия, то формулировка теорем существования решений полной краевой задачи безмоментной теории зависит от знака кривизны срединной поверхности. Для оболочки всюду положительной кривизны сохраняются теоремы существования решений безмоментных краевых задач, подобные тем, которые формулировались в в 17.31, 17.32. Однако для оболочек отрицательной кривизны получаются непривычные результаты покажем их на примере оболочки, имеющей форму одно полостного гиперболоида вращения. [c.263]

Рассмотрим полную краевую задачу безмоментной теории для внешней нагрузки вышеописанного вида. Решение здесь также можно разбить на этапы, описанные в 17.33, и задавать L Л в виде r-vo члена разложений [c.266]

Случай II. Равенство (18.37.8) при выбранном k выполняется. Тогда получатся алгебраические системы уравнений с одинаковым нулевым определителем. Для разрешимости систем, отвечающих статической задаче, надо на внешнюю нагрузку наложить два условия, вытекающие из вышеприведенных рассуждений. При выполнении их статическая задача будет иметь решение, зависящее от двух констант (i = 1, 2). Последние попадут в конечном итоге в правые части систем, отвечающих геометрической задаче. Определители этих систем равны нулю, но можно подобрать так, чтобы системы были разрешимы. Это значит, что решение полной краевой задачи безмоментной теории существует и в случае II, но оно будет определяться с точностью до бесчисленного множества тех изгибаний, которые имеет срединная поверхность при выполнении (18.37.8). [c.266]

Рассмотрим теперь случай, когда оболочка имеет два края Vi, Yj, причем на Vi тангенциальные закрепления отсутствуют, а край Yj заделан от обоих тангенциальных перемещений. Тогда условия существования решений полной краевой задачи безмоментной теории могут оказаться довольно Неопределенными, как вытекает из нижеследующего примера. [c.266]

Пусть речь идет о сферическом куполе, нагруженном только краевыми силами, т. е. полная краевая задача безмоментной теории сводится к построению комплексной функции напряжений г з (Q и комплексной функции перемещений g (Q. [c.266]

Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе (один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию (18.38.4). [c.269]

Обоснование схемы. В ней, очевидно, достаточно обсудить выполнимость этапа (1). При всех (s), включая (0), он эквивалентен решению полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки с двумя краями, закрепленными в обоих тангенциальных направлениях. Эта задача обсуждалась в 17.34 она разрешима при любых, достаточно гладких правых частях уравнений и граничных условий для оболочек весьма широкого класса, включающих оболочки положительной, отрицательной н нулевой кривизны. [c.305]

Наиболее существенны в части IV результаты, относящиеся к итерационным методам выполнения граничных условий. Дело в том, что каждое из тех напряженных состояний, которые были введены в рассмотрение в части II (безмоментное и чисто моментное напряженные состояния, напряженное состояние с большой изменяемостью, простые и обобщенные краевые эффекты), обладают отличительными свойствами, важными для суждения о работе оболочки. Очевидно существенное различие между безмоментным и чисто мо-ментным напряженными состояниями в первом из. них материал оболочки работает по толщине равномерно, в то время как во втором загружены только области, примыкающие к лицевым поверхностям. Общим свойством и безмоментного, и чисто моментного напряженных состояний является их тотальность, охват всех областей срединной поверхности. В этом смысле оба они радикально отличаются от краевых эффектов, локализующихся вблизи линий искажения (хотя иногда это свойство и нивелируется). Полное напряженное состояние составляется определенным образом из перечисленных выше более простых напряженных состояний, и роль, которую играет в этой сумме отдельные слагаемые, зависит, в частности, от характера граничных условий. Поэтому можно утверждать, что построив асимптотические процессы выполнения граничных условий, мы, помимо чисто математических выводов, сможем сделать заключения и о физических свойствах полного напряженного состояния оболочки. В частности, здесь выясняются те последствия, которые влекут за собой те или иные странности поведения решений краевых задач безмоментной теории, выявившиеся в части III. [c.271]

Полагаем, что оболочка нагружена силами и моментами, распределенными равномерно по граничному торцу оболочки. Если в дополнение к этому она подвергается действию и поверхностной нагрузки, то вначале необходимо рассмотреть соответствующую задачу в безмоментной постановке, а затем для получения полного решения отдельно учесть краевой эффект согласно излагаемой ниже теории. [c.242]

Замечание 2. Если в каждой точке края ставится одно тангенциальное статическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальная краевая сила Pi имела заданное значение, и одно геометрическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальное смещение Vn имело заданное значение, то полная безмоментная задача, в сущности, представляет собой соединение статической безмоментной задачи и геомй риче-ской безмоментной задачи. Действительно, в этом случае можно сначала найти Tj, S, Т , интегрируя статические безмоментные уравнения совместно со статическим граничным условием, а затем выразить (алгебраически) ш, Ej через Т , S, Т , при помощи уравнейий состояний. и, наконец, найти перемещения и , Uj, w, интегрируя геометрические безмоментные уравнения совместно с геометрическим граничным условием. Вместе с тем, легко указать на случаи, когда такое разделение станет невозможным. Это будет, например, в том случае, когда оба граничных условия — геометрические. Тогда целесообразно говорить о полной краевой Задаче безмоментной теории, не расчленяя ее на статическую и геометрическую задачи. [c.112]

Итак, если считать, что в (13.1.6) и (13.1.10) нижние пределы интегрирования а,, а постоянны, то величины, отжченные верхним значком (ч), состшляют решение полной краевой задачи безмоментной теории для загруженной поверхностной нагрузкой консольной оболочки нулевой кривизны, у которой край — а жестко заделан, а край = aj свободен и не загружен краевыми силами. [c.214]

Если поверхность (любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение (единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае. [c.261]

В этом случае некоторые теоремы существования решений полной краевой задачи безмоментной теории формулируется точно так же, как и для оболочки с одним краем. Примером могут служить оболочки, края которых жестко заделаны в обоих тангенциальных направлениях. Как уже говорилось в 17.34, решение полной задачи в этом случае существует и единственно при любой, достаточно гладкой нагрузке, независимо от числа краев (если только они неасимптотические) и даже независимо от знака кривизны срединной поверхности. По-видимому, сохраняется при любом числе краев также и теорема существования, обсужденная в 18.36 надо только требовать, чтобы все края оболочки были неасимптотическими и свободными в обоих нетангенциальных направлениях. Для оболочек положительной кривизны это следует из результатов работ [16—19], в которых теорема доказана при любом числе краев. В 15.24 показано, что теорема остается в силе для оболочек нулевой кривизны и не видно оснований предполагать, что исключение представят оболочки отрицательной кривизны. Более сложным является случай, когда гауссова кривизна оболочки меняет знак, так как при этом может иметь место касание с плоскостью вдоль замкнутой линии, что является нарушением условий теоремы о возможных изгибаниях ( 15.21). Вместе с тем не исключено, что теорема снова станет справедливой при отсутствии такого касания. [c.263]

К двухкратному решению задачи Коши сводится вопрос и в случае, когда кривизна оболочки неположительна. Если кривизна равна нулю, то рассуждения становятся элементарными. Они проведены в 15.17—15.19 и показали, что для оболочки нулевой кривизны обсуждаемая здесь полная краевая задача безмоментной теории всегда имеет решение, конечно, если края неасимптотические. Если кривизна оболочки отрицательна, то обе упоминав-щиеся выше задачи Коши должны решаться для систем гиперболического типа. Это значит, что их решение будет существовать в двухсвязной области при любой, достаточно гладкой нагрузке. Исключение может иметь место только тогда, когда в области G будут содержаться некоторые особые точки срединной поверхности, например, точки, через которые проходят две асимптотические линии одного семейства. [c.268]

Физически ясно, что, если мы хотим, чтобы напряженное состояние оболочки было безмоментным, то надо так закрепить края, чтобы исключить бесконечно малые изгийания ее срединной поверхности. Высказанное утверждение иногда пйзиъашт гипотезой В. В. Новодворского. В части IV предпринята попытка положить эту гипотезу в основу формулировки условий существования краевых задач безмоментной теории. Они сформулированы в виде гипотетической теоремы о возможных изгибаниях, которая вкратце заключается в том, что, если при данном способе защемления краев изгибания срединной поверхности возможны, то решение краевой задачи безмоментной теории будет существовать только тогда, когда внешние силовые воздействия не совершают работы на перемещениях этих изгибаний. Выяснилось, что теорема о возможных изгибаниях должна быть обусловлена целым рядом дополнительных предположений, полного списка которых получить не удалось. Тем не менее в части III постоянно проводятся сопоставления получаемых там теорем существования с теоремой о возможных изгибаниях. Это позволяет обнаружить те обстоятельства, которые исключают возможность построения решения краевых задач безмоментной теории, а следовательно, как уже говорилось, являются причиной некоторого искажения свойств напряженно-деформированного состояния оболочки. [c.174]

Из единственности решения (15.Г7.3), (13.1.6), (13.1.10) следует, что если речь идет об открытой (имеющей прямолинейные края = onst) оболочке (рис. 25), то для выполнения граничных условий на ее прямолинейных краях = onst у нас нет произволов и эти условия могут выполниться только случайно. Поэтому формулы (15.17.3), (13.1.6), (13.1.10) мы будем трактовать как решение замкнутой (не имеюш,ей прямолинейных краев) оболочки и заметим, что полная безмомент-ная краевая задача для открытой оболочки нулевой кривизны, вообш,е говоря, не имеет решения. Этого можно было ожидать заранее, так как прямолинейные образующие цилиндра являются асимптотическими линиями, т. е. совпадают с характеристиками уравнений безмоментной теории ( 7.4, 7.5). [c.215]

В практических применениях, как правило, приходится иметь дело с оболочками, в которых тангенциальные геометрические условия обеспечивают жесткость срединной поверхности, т. е. исключают ее изгибания (в противном случае оболочка станет невыгодной в прочностном отношении этот физически понятный факт подтвердится в части IV). Тогда возможные изгибания иадо Считать равными нулю, а это значит, что любая внешняя нагрузка будет удовлетворять условию нулевой работы и теорема о возможных изгибаниях превратится в теорему существования и единственности решения полной безмоментной краевой задачи при любой, достаточно гладкой, нагрузке. [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...