Преобразование уравнений движения Лагранжа

Преобразование уравнении движения Лагранжа 195 [c.195]

Преобразование уравнений движения Лагранжа. [c.195]

Уравнения движения Лагранжа и их инвариантность относительно точечных преобразований. При выводе принципа наименьшего действия были использованы прямоугольные координаты. Однако иа механическую систему могут быть наложены связи если эти связи голономны, то 2>N прямоугольных координат системы могут быть выражены [c.140]

Резюме. Принцип Гамильтона приводит к системе дифференциальных уравнений второго порядка — уравнениям движения Лагранжа. Эти уравнения обладают замечательным свойством инвариантности относительно произвольных преобразований координат. [c.145]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Уравнения движения Лагранжа содержатся в уравнениях (6.3.2). Применив преобразование Лежандра, их можно записать в виде [см. (6.2.6) ] [c.196]

Резюме. Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Применение преобразования Лежандра замечательным образом отделяет дифференцирование по времени от аналитических операций над переменными. Новые уравнения образуют систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка. Они называются каноническими уравнениями . [c.197]

Вообще, всякому преобразованию уравнений движения (34.2) соответствует определённое преобразование выражения (34.5). В виде примера покажем ещё, как из равенства (34.5) вывести уравнения Лагранжа 2-го рода (32.42). Перейдём в равенстве (34.5) к обозначениям (32.2) на стр. 320 имеем [c.352]

Подставив данное выражение в уравнения Лагранжа второго рода и выполнив необходимые преобразования, уравнения движения упругой механической системы КА — ГИО запишем в виде [c.108]

Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана. [c.291]

Рассмотрим движения систем, на которые наложены неголономные связи. В предыдущей главе уравнения движения систем при наличии неголономных связей подробно не рассматривались. Дело в том, что в этих случаях метод Лагранжа связан с необходимостью применения систем координат, в которых число дифференциальных уравнений движения превышает число степеней свободы системы. Разность между числом дифференциальных уравнений движения и числом степеней свободы системы равна числу неголономных связей, наложенных на точки системы. Основным содержанием настоящей главы является рассмотрение некоторых особых способов преобразования дифференциальных уравнений движения, которые позволяют описать движение материальной системы с неголономными связями системой дифференциальных уравнений, число которых равно числу степеней свободы системы. [c.151]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Преобразование Пуассона и Гамильтона. В конце первого тома, в п. 291 и в следующих, мы видели, как можно преобразовать уравнения движения точки, взятые в форме Лагранжа, к форме, названной канонической. [c.364]

Уравнения движения системы в промежутке времени — согласно принципу Даламбера и преобразованию Лагранжа, выражаются формулой [c.459]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Преобразования координат как метод решения задач механики. Как мы уже видели при изучении лагранжевой формы механики, правильный выбор координат может существенно облегчить задачу решения дифференциальных уравнений движения. Если среди наших координат имелась циклическая, то мы сразу находили первый интеграл уравнений Лагранжа. Поэтому мы пытались получить циклические координаты путем преобразования первоначальной системы координат. [c.225]

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там характеристической функцией эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз главной функцией . Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) [c.257]

Связь аналитической механики и современной физики. Два великих достижения современной физики теория относительности и квантовая механика — теснейшим образом связаны с аналитической механикой. Теория относительности Эйнштейна революционизировала все области физики. Было показано, что ньютонова механика справедлива лишь приближенно для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Однако аналитический метод, основанный на использовании принципа наименьшего действия, остался неизменным. Модифицирована была лишь функция Лагранжа получение же дифференциальных уравнений движения из принципа минимума осталось. Действительно, полная независимость вариационного принципа от какой-либо специальной системы отсчета делала его особенно ценным для построения уравнений, удовлетворяющих принципу общей относительности. Этот принцип требует, чтобы основные уравнения природы оставались инвариантными при произвольных преобразованиях координат. [c.394]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

ОНТИ, Москва, 1937.— Уравнения Лагранжа и Гамильтона, теория преобразований, уравнение Гамильтона — Якоби, переменные действие—угол, устойчивость, движения твердого тела, возмущения. [c.440]

Весьма широкая область возможного применения Гп-пре-образования обусловлена прежде всего тем, что для крутильных динамических моделей многозвенных зубчатых передач различных машинных агрегатов выполняются -преобразования общего вида [1]. Кроме того, модель любой несвободной динамической системы, характеризующейся полными голономными связями и наличием обобщенной квазистатической координаты, удовлетворяет условиям (5) Г -преобразования. Действительно, дифференциальные уравнения движения такой системы на основе формализма Лагранжа можно записать в виде [2] [c.47]

Для вычисления частных производных, входящих в уравнения (1.14), удобнее воспользоваться табл. 1.1, заполнив ее результатами, найденными из выражений (1.8). Подставив значения каждой строки табл. 1.1, выражения (1.8) и (1.17) в преобразованную форму уравнений Лагранжа второго рода (1.16), можно получить полные уравнения движения КА относительно его центра масс. [c.19]

Значения частных производных от выражений (1.29) сведены в табл. 1.3. Подставив найденные результаты в преобразованную форму уравнений Лагранжа (1.16), получим искомые уравнения движения [c.25]

После подстановки выражений (1.8) и (1.17), а также значений частных производных, приведенных в табл. 1.1, в преобразованные уравнения Лагранжа (1.45) получим искомые уравнения движения [c.31]

Соотношение (11.1.10) есть общее уравнение движения материальной системы с удерживающими совершенными связями. Оно позволяет, если воспользоваться (II. 1.9), вывести уравнения движения, соответствующие методу Лагранжа. С это№ целью проведем преобразования (И.1.10) к обобщенным координатам q , q ,. .., qi. Для сокращения записей сумм условимся опускать знак суммирования во всех одночленах, множители которых имеют одинаковые индексы. Например, выражение — согласно этому пра- [c.32]

Преобразование уравнений Лагранжа в случае циклического движения [c.239]

Точечные преобразования Лагранжа. В лагранжевой механике позиционными координатами являются величины qi. Уравнения движения Лагранжа остаются инвариантными по отношению к произвольным точечным преобразованиям этих координат. В гамнльтоновой механике мы снова встречаемся с задачей Лагранжа, но уже при наличии 2п переменных qi и pi. Пространством конфигураций гамильтоновой механики является 2л-мерное фазовое пространство. На первый взгляд может показаться, что в нашем распоря- [c.227]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Общая форма уравнений небесной мехтники (377) — 2. Обобщ нные координаты (378) — 3. Уравнения Лагранжа (379) — 4. Выражение для живой силы в обобщенных координатах (383) — 5. Случай, когда силы имеют силовую фунлпию (384) — 6. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона (384) —7. Преобразование уравнений движения к полярным координатам (385). [c.15]

Приняв лагранжев спектр турбулентности, Чен рассмотрел стационарный ) случай, когда начальный момент временя о равен — схз. В. лагранжевой системе координат прослеживается путь частицы и отмечаются статистически осредненные характеристики потока II твердой частицы. Первоначальная методика Чена была модифицирована Хинце в отношении определения интенсивностей и коэффициентов диффузии. Эти теоретические методы, а также методы Лью [497], Со/ [721 [, Фрпдлендера [232] II Ксенеди [134] были обобщены Чао [104] путем рассмотрения приведенного выше. лагранжева уравнения движения как стохастического, к которо.му внача.ле при.меняется преобразование Фурье. Излагаемый ниже метод принадлежит Чао. [c.50]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

Уравнения движения, записанные в ковариантной форме (уравнения Лагранжа), имеют одинаковый вид в любой системе отсчета и поэтому в равной мере пригодны для описания движения в инерциальных и в неинерциальных системах. Для того чтобы описать движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, надо лишь в качестве новых координат принять отрюсительные ( греческие ) координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции ф,- и г ),-, т. е. преобразование (8) новых ( гре- [c.160]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Составлениё дифференциальных уравнений движения сложной гироскопической системы с помощью второго метода Лагранжа не требует отыскания моментов реакций связей и, следовательно, глубокого анализа физики явлений, происходящих при движении системы, а сводится к выполнению ряда формальных математических преобразований. [c.126]

Этот принцип в соединении с принципом живых сил может служить для составления уравнений движения системы в каждом отдельном случае но, как мне кажется, никто еще не подумал о том, чтобы уравнение, выражающее принцип живых сил, применять просто как условное уравнение и применить поэтому метод неопределенных множителей [ ]. Этим путем, вводя непосредственно независимые переменные системы, я прищел к тем общим уравнениям движения, которые даны в Аналитической механике (ч. П, отд. 4) и к которым Лагранж прищел или посредством прямого преобразования координат, или посредством применения общих уравнений вариационного исчисления к этим преобразованиям. [c.167]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Видоизменение принципа Даламбера для систем е неинте-грируемыми связями. Непосредственное применение принципа Даламбера к выводу уравнений движения систем с неинтегрируемыми связями представляет то неудобство, что в состав аналитического выражения принципа входят дифференциальные выражения второго порядка, а это иногда значительно затрудняет переход от одних переменных к другим. С другой стороны, интегральные принципы, а именно, принципы Гамильтона, Лагранжа, Гельмгольца, хотя и содержат выражения первого порядка, но они несправедлявы для систем с неинтегрируемыми связями. Между тем, если равенство, выражающее принцип Даламбера, подвергнуть одному, почти очевидному, преобразованию, то мы получим формулу, весьма удобную для приложений, содержащую выражения первого порядка и по внешнему виду аналогичную формуле для вариации гамильтонова действия. [c.596]

Для получения уравнений движения достаточно выполнить необходимые математические операции над выражением (1.10) и поставить найденные результаты в уравнения Лагранжа (1.9), Для простой механической системы эти вычисления не представляют больпшх трудностей. Однако при выводе уравнений движения сложных механических систем, как это будет видно из даль нейшего изложения, оказывается удобнее пользоваться преобразованными уравнениями Лагранжа второго рода. [c.18]

Значения частных производных, найденных из выражений (1.64), приведены в табл. 1.7. Используя выражения (1.20), (1.21), (1.64), (1.65) и (1.61), а также данные табл. 1.2 и 1.7 с помощью преобразованных уравнений Лагранжа (1.58), уравнения движения КА и стабиплаты запишем следующим образом [c.46]

Говоря о различных формах уравнений вихревого движения жидкости, можно отметить полезные преобразования уравнений гидродинамики, рассмотренные в 50-х годах А. Клебшем и в 60-х годах Г. Вебером Уравнение Клебша представляет некоторое обобщение интеграла Бернулли, имеющее определенную аналогию с каноничсескими уравнениями Гамильтона, а преобразование Вебера дает видоизмененную форму уравнений движения в так называемых переменных Лагранжа. [c.75]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...