Число произвольных постоянных

В обычных случаях число краевых условий равно числу произвольных постоянных — по два на каждом конце. Все они выражаются равенством нулю двух из следующих четырех величин [c.574]

Предлагались и другие гипотезы прочности. Проф. М. М. Филоненко-Бородич предложил записывать условие прочности в виде некоторого многочлена второй или даже третьей степени относительно главных напряжений, содержащего определенное число произвольных постоянных, которые определяются из опытов, в том числе и из опытов при сложном напряженном состоянии. Однако приведенные выше диаграммы разрушения хрупких материалов ясно показывают, что условие прочности материала не может быть выражено одной замкнутой функцией во всем диапазоне напряженных состояний. [c.233]

Система (32) имеет шестой порядок, и поэтому общее число произвольных постоянных должно быть равно шести. Следует иметь в виду, что помимо четырех постоянных, о которых идет речь в тексте, еще две постоянные вносятся выбором плоскости, в которой происходит движение. [c.86]

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять— они просто равны произвольным постоянным С/. При интегрировании вносится т дополнительных произвольных постоянных N/. Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно 2п, т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии гп циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на 2т, поскольку уравнения (36) для нециклических координат отщепляются , и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью т независимых квадратур (39). [c.271]

Предположим теперь, что удалось решить систему уравнений Уиттекера или Якоби. Это значит, что удалось найти все д, (/ = 2,. .., п) как функции и такого числа произвольных постоянных, каков порядок системы, т. е. 2 —2. Кроме того, эти решения будут, разумеется, содержать начальную энергию И, которая с самого начала входит в выражение для К (либо для Р). Таким образом, мы определим [c.329]

При этом вводится еще одна произвольная постоянная С, так что общее число произвольных постоянных доходит до требуемых 2п. [c.330]

Из уравнений (100) найдем все величины д , ф- в функции времени с достаточным числом произвольных постоянных. Произвольные постоянные находятся по начальным данным. [c.368]

Подобное несоответствие между числом произвольных постоянных (6) и числом краевых условий (4) появляется при условии, когда ребра параллелепипедов расположены на свободных гранях тела. Число условий можно увеличить за счет уравнений равновесия внешних и внутренних сил одной нз отсеченных частей тела или отбросить лишние решения. [c.362]

Три уравнения (1.8) не дают однозначного решения, так как в них входят шесть неизвестных функций напряжений. Поэтому можно подобрать множество разнообразных решений уравнений (1.8), в которые войдет достаточное число произвольных постоянных, дающих возможность удовлетворить условиям на поверхности (1.3). Значит, всякая задача определения напряжений по внешним силам — статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительные уравнения совместности деформаций. [c.12]

Таким образом, число граничных условий равно 2-ь2(и-1) = 2п - числу произвольных постоянных, и задача по их определению из системы 2п линейных уравнений всегда однозначно разрешима. [c.382]

Из основной системы уравнений (6.19) следует, что на каждом крае пластины должны быть заданы два условия для функции и) и два условия для функции ф. В этом случае число произвольных постоянных, получающихся при интегрировании уравнений, будет равно числу граничных условий. Граничные условия для функции напряжений могут быть заданы в виде напряжений в срединной поверхности на крае пластины (т , о"), либо в виде танген- [c.131]

В предыдущем параграфе было упомянуто, что при определенном порядке составления и интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой оси балки можно достигнуть сокращения числа произвольных постоянных до двух С и D. [c.241]

Данный метод называют методом начальных параметров. Преимущества его — универсальность и необходимость определения минимального числа произвольных постоянных уо и 00. [c.210]

Операция дифференцирования повышает порядок дифференциального уравнения. В соответствии с этим, число произвольных постоянных в общем решении уравнения увеличивается на единицу. Значит, такая операция приводит к появлению новых решений. В рассматриваемом здесь случае дифференциальное уравнение, полученное после дифференцирования уравнения [c.63]

Так как число этих уравнений вдвое превышает число переменных ф, 9,.. . и, следовательно, равно числу произвольных постоянных (п. 2), то их окажется достаточно для определения всех этих постоянных, ставших переменными. [c.422]

Приведенное решение является, правда, только частным, но можно в то же время получить и второе, третье и т. д. решения — соответственно числу значений к следовательно, если все эти решения соединить, то мы получим общее решение, так как, с одной стороны, сумма частных значений 5, ф, ф,. . . равным образом удовлетворит дифференциальным уравнениям в силу их линейного вида, а с другой стороны, эта сумма будет содержать вдвое большее число произвольных постоянных, чем имеется уравнений, и, следовательно,— как раз такое число этих постоянных, сколько их могут допустить общие интегралы. [c.446]

Так как этот вопрос представляет интерес скорее с алгебраической, чем с динамической точки зрения, то достаточно лишь кратко указать, как надо изменить изложение 90 в случае существования кратного корня любого порядка и, в частности, как будет обеспечена общность решения с полным числом произвольных постоянных. [c.232]

Это уменьшение числа произвольных постоянных мы можем доказать иначе, обращаясь к вариационному уравнению (24 ), которое, как мы видели в предыдущем пункте, определяет все динамические траектории. Всякий раз, когда потенциал U является действительно функцией, уравнение (24 ) содержит в виде параметра постоянную Е энергии, но для движений по инерции, поскольку радикал V"2(t/- - ) приводится к постоянной, оно принимает вид [c.415]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Мы показали раньше, что функция 5 содержит аддитивно одну произвольную постоянную, что следует из природы уравнений (44) или (45), которым 5 удовлетворяет. Но из уравнения (44), записанного в частных производных, видно, что 5 может содержать и другие произвольные постоянные. Чтобы получить полный интеграл уравнений (14), достаточно, чтобы число произвольных постоянных, входящих в 1, было не менее чем тп. [c.350]

Число постоянных с и а, т. е. 2п — 2, является как раз тем числом произвольных постоянных, которое необходимо для определения всех траекторий в пространстве, число измерений которого снижено благодаря соотношению Я 4- Л = О до 2л — 1. [c.826]

Мы, следовательно, подтвердили, что (8) есть обв ее решение уравнений движения, так как оно содержит требуемое число произвольных постоянных. Оно описывает все свободные движения, проходящие через конфигурацию в момент времени Теперь гамильтонова главная функция определена как интеграл [c.901]

Поэтому число произвольных постоянных в самом общем решении будет равняться четырём, т. е. интегралы будут иметь вид [c.408]

Число произвольных постоянных. Мы видели ( 242,) что при [c.472]

Р = 1, 2,. .., /С — номер частного решения (частное решение неоднородной системы имеет номер К), /VI — число произвольных постоянных (начальных параметров) задачи (N = К—О [c.480]

Это есть полное решение дифференциального уравнения (2), так как оно содержит необходимое число произвольных постоянных. Таким образом получаем интегральные уравнения движения в форме [c.163]

Общий интеграл уравнения (10) в этом случае будет содержать функции Бесселя как первого, так и второго рода (функции Неймана), причем число произвольных постоянных будет равно уже не двум, а четырем [c.9]

С теоретической точки зрения, решение задачи без учета упругости опорного контура привело к тому, что А. М. Валь при решении дифференциального уравнения упругой линии полукольца получил, как это уже отмечалось выше, несоответствие между числом произвольных постоянных и числом граничных условий, в связи с чем ему пришлось искусственно ввести в расчет еще одну неизвестную, а именно сосредоточенную силу на разъеме. При учете податливости опоры это несоответствие устраняется. Как показывают опыты, в действительности сосредоточенные силы на разъеме не существуют [63, 166]. [c.333]

Как видно, в нашем случае нет необходимости учитывать сосредоточенную силу на разъеме, которая появилась у А. М. Валя, так как число произвольных постоянных соответствует числу граничных условий. Это обстоятельство объясняется тем, что при учете податливости опорного контура повышается общий порядок системы дифференциальных уравнений. Выражая граничные условия через деформации, получим при ф=я/2 [c.336]

Число произвольных постоянных в данном случае уменьшается, так как функция при произвольном не является реше- [c.194]

Пример 3 (рис. 118). В данной балке придется рассматривать три участка, вследствие чего число произвольных постоянных равно шести. Однако применение описанного приема приводит к тому, что приходится определять лишь две постоянные. Имеем участок I (О лг а) [c.197]

Аналогично сказанному в п. 1.3, искомые величины х, у, 2, Т, к определяются как функции s. Как показывает теория дифференциальных уравнений, число произвольных постоянных здесь сводится к четырем с, сч, сз, С4, в силу добавленного уравнением поверхности /(ж, у, г)=0 дополнительного соотношения между коордииатайи. [c.438]

Подсчет числа постоянных в шаровой функции покгзывает, что найденное решение содержит при допустимых комбинациях (п, I) ровно 2п 1 произвольных постояшшх при заданном значении I число произвольных постоянных равно, таким образом, Е. [c.674]

Из сказанного мы заключаем, что вопрос о форме равновесия свободной нити решается при помощи четырёх дифференциальных уравнений (37.14) и (37.19), заключающих в себе четыре неизвестные функции от s, а именно, X, у, Z i I. Уравнения эти второго порядка относительно X, у, Z и пе рвого относительно X. Кроме того, между первыми производными функций X, у, 2 по S мы имгем соотношение (37.19), свободное от всяких произвольных постоянных. Следовательно, число произвольных постоянных в самом общем решении рассматриваемых уравнений должно равняться шести т. е. интегралы будут иметь вид [c.400]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Соотношение, открытое Гамильтоном, дает новые заключения относительно метода вариации постоянных. Этот метод покоится на нижеследуюп1 вм интегралы системы дифференциальных уравнений динамики содержат известное число произвольных постоянных, значения которых в каждом отдельном случае определятся через начальные положения и начальные скорости движущихся точек. Если эти последние получают во время движения толчки, то благодаря этому изменяются только значения постоянных, а форма интегральных уравнений остается та же. Например, если планета движется по эллипсу вокруг солнца и нолучает во время движения толчок, то она будет после этого двигаться по новому эллипсу или, может быть, по гиперболе, во всяком случае по коническому сечению, а форма уравнений остается la же. р]сли такие толчки происходят не моментально, а продолжаются непрерывно, то явление можно рассматривать так, как будто постоянные изменяются непрерывно и притом таким образом, что эти изменения в точности изображают действие возмущающих сил. Эта теория вариации ностоян-дых представится в течение нашего исследования в новом свете. [c.7]

Случай, рассмотренный А. М. Валем, является частным случаем представленного решения и получается при N oo. Анализ показывает отсутствие сосредоточенных сил у разъема, которые были введены А. М. Валем искусственно, вследствие несоответствия между числом граничных условий и числом произвольных постоянных при решении дифференциального уравнения. [c.340]

Такой способ можно назвать методом переменного параметра . Этот метод имеет общее применение. Им, повиди-мому, начали пользоваться после того, как Рэлей применил его к той задаче, которую мы сейчас рассмотрим ). Мы не будем ограничивать полностью принимаемую нами форму прогиба и включим в нее одну или большее число произвольных постоянных, которые затем подберем так, чтобы получившееся значение дли р было минимальным, т. е. чтобы оценка была как можно ближе к истинному значению. [c.641]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...