Преобразование Пуассона

Преобразование Пуассона и Гамильтона. Пуассону принадлежит идея принять за переменные величины [c.467]

Преобразование Пуассона и Гамильтона. В конце первого тома, в п. 291 и в следующих, мы видели, как можно преобразовать уравнения движения точки, взятые в форме Лагранжа, к форме, названной канонической. [c.364]

Это специальное преобразование называется скобками Пуассона. Из рассмотрения выражения (5.27) следует [c.134]

Следовательно, скобки Пуассона — это оператор наиболее общего бесконечно малого контактного преобразования. [c.362]

Преобразование, начатое Пуассоном и законченное Гамильтоном, позволяет написать уравнение в форме, которая содержит частные производные только от одной функции и которая очень удобна для теоретических исследований. [c.466]

Прямая нулевого момента 30 Пуассона и Гамильтона преобразование 466 [c.514]

Пуассона и Гамильтона преобразование 364 [c.486]

Заметим, что уравнения для изотропного материала легко получаются из приведенных выше. Если свойства материала не зависят от ориентации осей координат, то преобразования (34), конечно, не нужны. Пусть при одноосном нагружении функция ползучести D — D t) и коэффициент Пуассона v — v (0 тогда [c.114]

Инвариантность скобок Пуассона при каноническом преобразовании [c.186]

Поэтому условия каноничности преобразования (4) могут бить записаны с помощью скобок Пуассона в следующем виде [c.187]

Рассмотрим теперь две функции <р и ф от величин qi, р-, (i = = 1, п) и t. Выражая в этих функциях qi, р,-(г = 1,, я) через qk, Pk (k=, ...,n) с помощью обратного канонического преобразования, мы можем рассматривать эти же функции как функции переменных Pk ( =li --ч ) Соответственно скобки Пуассона от <р, ф можно вычислить как по отношению к переменным q,. Pi [обозначение (w <]/)], так и по отношению к переменным qi. Pi [обозначение (tp [c.187]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Полученное равенство является полезным соотношением, инвариантным относительно канонических преобразований. Аналогичным способом вычисляется другая скобка Пуассона. Для нее будем иметь [c.281]

Бесконечно малые канонические преобразования. Константы движения и свойства симметрии. В связи с дальнейшим рассмотрением скобок Пуассона мы введем понятие бесконечно малых канонических преобразований. Как и в случае бесконечно малых поворотов, это будут такие преобразования, при которых переменные q, р изменяются на бесконечно малые величины. (Поэтому все расчеты мы будем производить лишь с точностью до членов первого порядка малости относительно этих величин.) Уравнения такого преобразования можно записать в виде [c.285]

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Это можно использовать для независимою доказательства инвариантности фундаментальных скобок Пуассона.) Показать также, что детерминант обратного преобразования (Q,P)- q,p) равен D, т. е. что D = D. (Этот результат представляет новое доказательство равенства = 1.) [c.298]

В этой главе было показано, что инвариантность фундаментальных скобок Пуассона представляет необходимое условие того, что преобразование является каноническим. Можно, однако, показать, что это условие является и достаточным. [c.298]

Канонические преобразования классической механики играли всегда важную роль также и в квантовой механике. Это относится и к более старой квантовой теории, принадлежащей Борну, и к современной квантовой механике. Поэтому работы, посвященные той или другой форме квантовой механики, часто содержат подробное изложение нужных разделов классической механики. Одной, из лучших книг такого рода является рекомендуемая книга Борна (1924), написанная им до появления волновой механики. В первой Е лаве этой книги дается сжатое изложение теории канонических преобразований и приводится много интересных физических примеров. Скобки Пуассона в этой книге не рассматриваются, так как в современной физике интерес к ним появился только с возникновением в квантовой механике теории Гейзенберга и Дирака. [c.299]

Пуассон вместе с Лагранжем ввел в теорию возмущений выражения, обозначаемые при помощи скобок, и подошел вплотную к теории канонических преобразований. [c.393]

Пуассон затем нашел более непосредственные формулы, приводящие к тому же, что и формулы, данные мною в пункте 18 отдела V, однако, хотя формулы Пуассона представляются более простыми, так как они дают прямо значения вариаций da, db,.. ., между тем как при других формулах их приходится получать путем исключения, тем не менее это преимущество является лишь кажущимся, как мы уже это отметили выше (отд. VII, п. 66) можно даже утверждать, что во многих случаях преимущество оказывается целиком на стороне приведенных здесь формул, так как они не требуют никакого предварительного преобразования и так как они могут быть непосредственно применены во всех тех случаях, когда мы имеем выражение каждой переменной в функции времени, в которое произвольные постоянные входят каким угодно образом в силу этого я и счел необходимым их здесь воспроизвести. [c.201]

Другая явная форма условий полной каноничности. Скобки Пуассона. Из сопоставления двух видов D и D, которые можно придать функциональному определителю какого-нибудь преобразования, в случае полной каноничности вытекают другие важные следствия. [c.264]

Этот вывод обратим действительно, если квадрат функционального определителя (D ) преобразования (28) вычисляется умножением D на D по строкам вместо столбцов, то, принимая во внимание только что данное определение скобок Пуассона, найдем [c.265]

Очень важным свойством скобок Пуассона является их инвариантность относительно канонических преобразований. Это означает, что [c.107]

Эти последние соображения возвращают нас к рассуждениям, проведенным в гл. V, где рассматривалась связь между симметрией и интегралами движения. Введение аргументации, основанной на свойствах скобок Пуассона, позволило расширить область применения этих соображений и включить в нее все интегралы движения, а не только интегралы количества движения, как это имело место ранее. Теперь показано, что функция Гамильтона является инвариантом (а следовательно, система симметрична) относительно любого бесконечно малого преобразования, порожденного некоторым интегралом движения. Обратное утверждение также верно, и оно дает возможность находить интегралы движения при внимательном рассмотрении любой симметрии, которая обнаруживается в функции Гамильтона. [c.116]

Горбунов В. И. Об одном преобразовании нестационарного пуассонов-ского потока импульсов случайной амплитуды. — Дефектоскопия , [c.206]

Получим теперь критерий каноничности преобразования (4), использующий скобки Пуассона. [c.341]

Теорема. Для того чтобы преобразование (4) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы скобки Пуассона функций Pj от переменных i,..., Qn, P15 5 Рп, t удовлетворяли равенствам [c.341]

Условия контактности преобразования, выраженные с помощью скобок Пуассона. Установленные в 24.8 соотношения между двумя системами производных позволяют выразить условия контактности преобразования с помощью скобок Пуассона ( 22.2). Действительно, [c.497]

Инвариантность скобки Пуассона. Скобка Пуассона двух функций при контактном преобразовании остается инвариантной, или подробнее, если переход от (д р) к Q Р) осуществляется с помощью контактного преобразования и если [c.498]

Можно дать новое, весьма изящное доказательство теоремы Пуассона ( 22.3). Возьмем в качестве функции ф известный интеграл исходной системы Гамильтона, при этом семейство траекторий в фазовом пространстве преобразуется само в себя, т. е. каждая траектория преобразуется в другую, близкую траекторию системы. Если а з (д р t) есть другой интеграл уравнений Гамильтона, то приращение его при контактном преобразовании (т. е. разность г]) Q Р i) — г (д р t)) будет равно (г з, ф) эта последняя величина остается постоянной, поскольку преобразованная траектория является одновременно траекторией исходной системы. Таким образом, (г ), ф) является функцией от (д р г), которая сохраняет постоянное значение вдоль траекторий гамильтоновой системы, иными словами, если ф и г з — известные интегралы уравнений Гамильтона, то (t 5, ф) также будет интегралом этих уравнений, и теорема Пуассона, таким образом, доказана. [c.518]

Но согласно (25.7.14) функция Н тождественно равна нулю, откуда и следует теорема. Функции Р от (д р () образуют п новых интегралов исходных уравнений Гамильтона. Эти интегралы находятся в инволюции (в силу условий для скобок Пуассона, выполняющихся при контактных преобразованиях, см. 24.9). [c.520]

Следствие 9.3.2. Скобка Пуассона /, Я есть производная от / по направлению гамильтонового поля. Оно определяет фазовый поток — однопараметринескую группу преобразований фазового пространства [c.638]

Пуассона при ползучести V t), податливость при растяжении D t), податливость при сдвиге 1 t) и податливость при всестороннем сжатии B t), уже были приведены выше (см. формулы (366) и (72)). Считая тело педеформированным при t < О, применим преобразование Лапласа к уравнению (33) и запишем результат в виде, сходном с тем, который используется в инженерной практике, т. е. в виде [c.138]

Другими словами, скобки Пуассона инвариантны относительно )>нивал нтних канонических преобразований. Это свойство уни-валентных канонических преобразований выделяет эти преобразования среди всех возможных преобразований фазового пространства. [c.188]

Эту книгу можно назвать энциклопедие теоретической физики. Глава II этого большого сочинения содержит краткое, но ясное изложение теории канонических преобразований, а также других аналогичных вопросов классической механики, в частности рассматриваются скобки Пуассона. 19 главы III посвящен теореме Лиувилля. [c.300]

Для соотношений первого типа образуются скобки Пуассо на, для соотношений второго типа — скобки Лагранжа Один тип скобок определяет другой. Следовательно, раз скобки Лагранжа инвариантны относительно канонических преобразований, то этим свойством обладают и скобки Пуассона. Отсюда получается другая-формулировка условий и каноничности преобразования. Каноническими являются те преобразования, которые оставляют инвариантными скобки Пуассона (и, v) независимо от того, как функции и и v зависят от координат qi, pi. [c.248]

Резюме. Заданная производяш,ая функция определяет каноническое преобразование в неявной форме. Хотя и не существует формул, которые бы задавали каноническое преобразование в явном виде, однако относительно любого конкретного преобразования можно выяснить, является ли оно каноническим. Для этой цели могут быть использованы скобки Лагранжа или Пуассона. Эти скобки тесно связаны с каноническими преобразованиями. Каноническими являются те преобразования сопряженных переменных, которые оставляют инвариантными любые скобки Лагранжа или Пуассона. [c.249]

У Пуассона была мысль о преобразовании снст ем (1) и (2) путем подстановки вместо неизвестных q , .. ., новых [c.553]

Таким 0бр 130м, условия (24.9.3) для скобок Пуассона совершенно эквивалентны соответствующим условиям для скобок Лагранжа. Подобно им, соотношения (24.9.3) образуют систему необходимых и достаточных условий контактности преобразования. [c.498]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...