Вариация вторая

Вариация второго интеграла (147.1) определяется следующим выражением [c.407]

Из второго закона непосредственно следует только (12.3), но знаки неравенств в критериях равновесия и устойчивости совпадают, поэтому дополнительных доказательств (12.4) — (12.6) не требуется. Достаточные условия равновесия выражаются, следовательно, через вариации второго порядка характеристических функций при постоянных значениях их естественных наборов аргументов. Как и в случае (11.1), (11.13) и других, варьируются при этом внутренние переменные системы. [c.115]

Преобразование вариации второго интеграла в (11,6) несколько более длинно. Это преобразование удобнее производить не в векторном виде, а в компонентах. Имеем [c.63]

У, Лг = —р). Вариация второго порядка [c.116]

Следовательно, для таких вариаций функция V стационарна. Мы исследовали, начиная с (в), только приращения и вариации первого порядка. Из рассмотрения вариаций второго порядка можно показать, что V в действительности достигает минимума. Теорему (141) иногда называют принципом минимальной работы, как и ее аналог для сосредоточенных сил в строительной механике. [c.268]

Вариация второго порядка [c.196]

Поскольку вариация второго сомножителя заведомо отлична от нуля, то [c.81]

Так как вариация второго слагаемого заведомо отлична от нуля, а при потере устойчивости 61 О, то для критической нагрузки должно быть [c.90]

Число различных схем можно было бы увеличить за счет вариаций второго механизма. Так, в схеме строгального станка (рис. 2.12, в) для преобразования качательного движения в поступательное, кроме коромыслово-ползунного механизма, используют синусный и тангенсный механизмы (см. рис. 2.20, стр. 46). [c.34]

V, а 2,. .., Л 2, ) = ( 1> 2> ), (3.31а) (Т, —р, Х), Хг,. .., Ц1, Из,. . . ) = ( /1, 1/2,. ..) (у = - ) (3.316) Так как вариация второго порядка имеет вид [c.153]

Условие положительности вариации второго порядка. Чтобы вариация второго порядка, т. е. квадратичная форма (3.32а) или (3.32в), была положительна, должны быть положительными главные миноры матрицы ее коэффициентов ). Например, для формы (3.32а) имеем [c.154]

Теперь вариация второго функционала в правой части (обозначим его Г ) в силу сделанного предположения об обращении в нуль на границе области К указанных выше вариаций равна нулю, поскольку, например. [c.459]

Вариацию ускорения выразим через вариации вторых производных от обобщенных координат по времени [c.270]

Из этих соотношений следует, что изменения термодинамических потенциалов AF, AG или АН в результате флуктуаций могут быть связаны с производством энтропии AiS Система устойчива ко всем флуктуациям, которые приводят к AiS < О, потому что они не соответствуют спонтанной эволюции системы вследствие необратимых процессов. Из вышеприведенных соотношений ясно, как можно характеризовать устойчивость равновесного состояния, утверждая, что система устойчива к флуктуациям, для которых AF > О, AG > О или АН > 0. Для флуктуаций в состоянии равновесия эти условия могут быть записаны более явно через вариации второго порядка S F > О, S G>On д Н > О, которые в свою очередь могут быть выражены через производные второго порядка от потенциалов. Полученные условия устойчивости тождественны приведенным в гл. 12. [c.308]

Нестационарные режимы. Рассматриваются течения, получающиеся при вариации второго геометрического параметра решетки 5 при фиксированном /. = 10. [c.166]

Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета ограничений, налагаемых на функции клас-са Во второй случае искомая функция а(у) уже не свободна на участке ск. [c.76]

Она остается свободной только на отрезке Ьк, а конец к этой экстремали лежит в области сак с заранее определенными функциями а х,у), д х,у). Таким образом, первое слагаемое правой части (2.31) является функцией от ус, а второе слагаемое — функцией от хн, Ун- Если во втором случае удастся добиться обращения в нуль первой вариации, то это не означает, что первая вариация функционала (2.20) также обратится в нуль. Наоборот, она, вообще говоря, не равна нулю, поскольку 0 на ск. На характеристике ск допустима односторонняя вариация 6а. Необходимым условием минимума х является увеличение х допустимых вариациях 6а. [c.76]

В качестве направлений, по которым варьируется положение точки к, выберем касательные к характеристикам первого и второго семейства в точке к. Соответствующие вариации величины у в точке к обозначим через 6у и 6у 2. [c.76]

Преобразуем выражение для вариации величины х- Длина дуги I характеристики второго семейства связана с у формулой [c.93]

Из равенства (3.19) вытекает, что при Ф sin(l -Q) < 0 отрицательная величина 6ip ведет к уменьшению х- Решение задачи 1 включает условие сохранения энтропии вдоль линий тока, поэтому неравенство V < о по отношению к решению задачи 1 эквивалентно требованию р( ф) < ipo i>), которое противоречит второму началу термодинамики. Допустимой является лишь вариация у > 0, которая увеличивает сопротивление х- [c.94]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Производя варьирование (4.1) следует помнить, что величины А2(у) и Х у) на всех кривых сравнения подчинены уравнениям (2.30) и (2.29). Учтем также, что функция Ф содержит производные /3, линейно. Наконец, обозначим вторую вариацию I при фиксированных концах через 6 1ьп. Получим [c.109]

Здесь учтено, что на экстремали Фа = 0, Ф з = 0, А5 = 0. Величина гр означает производную бгр/ду, взятую вдоль характеристики второго семейства и определяемую равенством (2.11). Выражение в квадратных скобках последней формулы берется при фиксированном верхнем пределе интеграла из (4.1), а вариации бф и 6ф определяются перемещением точки к. Производная йр/ду вдоль характеристики второго семейства в точке к непрерывна в силу равенства (2.15) и непрерывности функций а, б, (р, щ. Учитывая все это и собирая вместе члены, обусловленные варьированием положения точки к, получаем [c.115]

Принцип Гамильтона—Остроградского дает только необходимое условие стационарности, действия по Гамильтону на прямом пути. Для решения вопроса о характере экстремума следует определить знак второй вариации 6 5, Значите действия по Гамильтону на прямом пути по сравнению с окольными будет минимальным, если 6 S>0. Если промежуток времени ti—U выбрать достаточно малым, то условие б 5>0 будет выполнено н действие по Гамильтону на прямом пути будет минимальным по сравнению с окольными путями ), [c.220]

Поскольку система равновесная, ее энтропия согласно второму закону имеет максимальное значение,, поэтому любые бесконечно малые вариации состояния за счет внутренних переменных /( ) не меняют энтропии системы, и (6.10) можно записать в виде [c.52]

Знак квадратичной формы в правой части (12.11) показывает, является ли равновесие устойчивым или нет. Из элементарной алгебры известно, что если дискриминант D = B —АС< <0, то однородный многочлен второй степени, составляющий эту квадратичную форму, имеет мнимые корни, а следовательно, не меняет своего знака при любых вариациях л и 1 , т. е. функция F(n , 1 ) должна иметь экстремум. Полагая в (12.11) 6У = 0, видим, что при А>0, 8 Р>0, т. е. согласно [c.118]

Так как величины б<7о, — вариации независимых координат, т. е. они независимы. между собой, то уравнение (122) распадется на р отдельных уравнений (на основании рассуждений, аналогичных тем, которые проводились при выводе уравнений Лагранжа второго рода) [c.380]

Уравнение (IV.62) можно интегрировать двумя способами методом вариации постоянных интегрирования (методом Лагранжа) и символическим методом. Мы применим второй метод ). [c.352]

Основываясь на этом результате, Серре ) в нескольких мемуарах, напечатанных в 1871—1879 гг., решил вопрос о минимуме интеграла действия в общем виде, доказав, что вариация второго порядка интеграла действия для действительного движения положительна и минимум этого интеграла имеет место при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования. [c.833]

Если варьировать еш,е один параметр задачи (например, стоимость топлива, изменяюш,уюся в широких пределах), то С-кривые деформируются, они способны выродиться в отрезок прямой, четко обозначаюш,ей единственное значение оптимума как по денежным затратам, так и по энергии. При достаточно широкой вариации второго параметра начальная точка А, которая была на правой ветви кривой, может перейти на левую, и наоборот. [c.102]

Найдя экстремаль, необходимо исследовать, дает ли она действительно экстремум и что именно — максимум или минимум. В диферен-циалыюм исчислении для решения аналогичной задачи исследуется знак- второй производной в В. и. прежде математики (Якоби) шли путем изучения второй вариации (второй производной по а при а = 0). Но Вейерштрасс показал, что т. о. мы еще не получаем достаточных условий экстремума он дал теорию, основанную на непосредственном сравнении и [c.183]

В примере, отмеченном на рис. 3.2.10, изображеиие структуры формы заканчивается на втором этапе членения. Построение в целом структурно определено, хотя мелкие детали в, нем еще отсутствуют. Окончание данного этапа с выявлением объемного характера элементов и их пространственных соотношений путем вариации активности изобразительных линий показано на рис. 3.2.11. [c.112]

Воспользуемся выражением для первой вариации 61 в форме (2.21), но в качестве контрольного контура выберем аЛЬ, как это было сделано в 3.2.4. При выводе выражения (2.33) было установлено, что вариация I за счет перемещения точки к по направлению характеристики второго семейства равна нулю. Это объясняется тем, что в силу непрерывности функций в точке к имеет место равенство Фье = Фм- Характеристика ак является линией разрыва производных от функций а(х,у), в х,у). Поэтому и производные от Ф е и Фнь на ак не совпадают. Имея ввиду вычисление второй вариации, включим в выражение для 61 и член с 6ул2 В этом случае будем иметь [c.108]

Так как вариации координат не ависнмы, то получаем уравнения Лагранжа второго рода [c.217]

Покажем теперь, как исходя из уравнений Лагранжа второго рода, можно прийти к принципу Гамильтона — Остроградского. Умножая каждое из уравнений (8.8) иа соответствующую вариацию ба,,,. и складывая между собой полученные выражения, нп1дем, что [c.217]

В сформулированных в предшествующем разделе критериях равновесия термодинамических систем также не в полной мере использованы следствия второго закона о максимальности энтропии изолированной системы или о минимальности термодинамических потенциалов при тех или иных условиях равновесия. Действительно, знаки неравенств для вариаций первого порядка в (11.1), (11.13) и других критериях соответствуют виду экстремума энтропии, внутренней энергии и т. д., но эти знаки, как отмечалось, относятся к особому случаю граничного экстремума характеристической функции. Если же последняя имеет в равновесии стационарное значение, то вопрос о виде экстремума (минимума, максимума или точки пЬрегиба) при использовании (11.1), (11.13), (11.31) и других остается открытым и для ответа на него надо дополнить указанные критерии соответствующими условиями устойчивости равновесия [c.115]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

Здесь — неизохронная вариация функции д , д — ее изохронная вариация, д М — приращение функции, возникшее в результате изменения ее аргумента 1. Малыми величинами второго и высших порядков пренебрегаем. Геометрическая интерпретация зависимости (II. 120) показана на рис. 27. С точностью до малых величин второго порядка малости имеем [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...