Точка седловая

Пример 1. Любая точка седловой связки (включая оба седла) несет бифуркацию, даже если добавить к ней еще любые другие точки. В системе с двумя седловыми связками точка на связке (внутренняя) несет бифуркацию лишь вместе с точкой на другой связке. [c.107]

Сепаратриса, которая является силовой линией, проходящей через седловую точку В, пересекает себя в этой точке. Седловая точка сама есть точечная траектория, кроме того, она является предельной точкой входящих в нее траекторий — дуг сепаратрисы. Уравнение сепаратрисы имеет вид [c.383]

МИН, седловой точке — седловая точка, а отсутствию каких-либо экстремумов — отсутствие экстремумов. Поэтому табл. 4.6, в которой приведена сводка экстремальных свойств функционалов, служит одновременно для иллюстрации статико-геометрической аналогии в вариационной форме. [c.135]

Если напряженности поля 1 и 2 направлены противоположно. то седловая точка формируется со стороны более слабого поля, как отмечалось в разд. 3.1.1.2. Если Ei = — 2, то седловая точка имеет координату 2 = 0. Эквипотенциальные линии для этого случая показаны на рис. 21. [c.97]

Всюду в дальнейшем, как сказано выше, все седловые области выбраны так, что дуги траекторий, входящие в границы, являются дугами неособых траекторий. У каждой седловой дуги без контакта, входящей в, границу выбранных таким образом седловых областей, только один конец принадлежит особой траектории или полутраектории. Очевидно, этот конец является концом одной из полутраекторий (сепаратрис), входящих в границу седловой области. Однако отличные от концов точки седловых дуг без контакта могут быть точками особых полутраекторий. [c.458]

Мы видели, что отображения возвращения на трансверсали для сохраняющих меры потоков изоморфны перекладываниям отрезков. Существует конструкция, показывающая, что по крайней мере в ориентируемом случае любое перекладывание отрезков получается таким образом, т. е. для любого ориентируемого перекладывания отрезков (см. определение 14.5.1) существуют компактная ориентируемая поверхность М, гладкий сохраняющий площадь поток р с конечным числом неподвижных точек седлового типа и такая трансверсаль т, что отображение возвращения для потока р на г гладко сопряжено с Таким образом, в этом смысле данные теории эквивалентны. [c.485]

Предложение 14.7.5. Рассмотрим сохраняющее площадь векторное поле на поверхности с конечным числом неподвижных точек седлового типа. Тогда инвариантные меры с носителями на транзитивных компонентах однозначно определяются их асимптотическими циклами. [c.490]

Седловую точку lo = г sin ф имеет один и только один из двух фазовых множителей exp[ikf ] (/ = 0, 1). Если точка М = М(г, ф) находится вблизи предельного луча (т. е. г a/sin ф), то седловая точка близка к точке а. [c.380]

Если достаточные условия не выполняются, то имеем не экстремальную, а седловую точку. [c.279]

П. Объясните различие между экстремальными и седловыми точками в задачах оптимизации. [c.329]

Если особая точка траекторий (4. 8. 36) типа седловой находится на оси 9=0, то константу интегрирования можно приближенно найти следующим образом [60] [c.176]

При о < Л < 1 вихревое образование ограничено гладкой кривой с единственной точкой ее излома х = 0, у = -2 - VI — к. Эта седловая для функции ф точка вместе с седловыми точками х = VЗ + к, у = 0 и центром X = о, у = -24- 1 - к являются точками торможения. Картина линий тока этого типа на рис. 4.5 изображена при к = 1/2. [c.200]

При к = 1 вихревых образований нет. Обращает на себя внимание то, что линия тока ф = -8/3 имеет при х = 0, у = -2 точку возврата. Обе касательные к линии тока в этой точке вертикальны. Точки х = 2, у = о являются седловыми. [c.200]

При 1 < к вихревых образований также нет. Точки х = у/Т+1ё, у = о являются для функции ф седловыми. В них и = V = 0. Пример такого поведения линий тока изображен на рис. 4.5 при к = 2. [c.200]

Картина линий тока при д = 12,38, и> — -23,1 изображена на рис. 4.6. На ней указаны значения -ф и направление течения. Хорошо видна цепочка, вихри которой соединены с соседними в седловых точках [c.202]

При й = 6,43 вырожденная седловая точка возникает. Она является точкой торможения. В ней две линии тока касаются друг друга. Указанное значение к при выбранных Ь и М определено из условия обращения в нуль осевой составляющей вектора скорости при а = 0, г = ju. [c.209]

Подставляя в уравнение А = О выражения (3.11) и учитывая (3.8), получим параметрические уравнения для границы седел, на плоскости совпадающие с уравнениями (3.10). Таким образом, граничная кривая области параметров, при которых в системе имеется три состояния равновесия, совпадает с кривой рождения (или исчезновения) седловой особой точки. [c.56]

О, г/ = 1 типа центра. Для значений С на интервале —V3 < С < О фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые, охватывающие центр, и для значений С > О — замкнутые кривые, охватывающие фазовый цилиндр. Интегральная кривая, соответствующая значению С = О, разделяет эти два типа замкнутых траекторий. Она состоит из сепаратрис седловых особых точек 0 = л/2, = О и 0 = —л/2, у = О, определяемых уравнением у = О, —л/2 0 л/2 и / = 3 os 0. Разбиение фазового цилиндра на траектории приведено на рис. 3.14, где изображена развертка цилиндра па плоскость. Траектории движения планера, соответствующие различным типам фазовых траекторий, показаны на рис. 3.15. [c.63]

Точки ОР ч при р ф п, О — седловые особые точки. Через седловую особую точку нро.ходят две поверхности Sp и Sq размерностей р и q, составленные из траекторий, стремящихся к точке 0 при + оо и соответственно /-> — се. [c.244]

Вид окрестности седловой особой точки О ч р, дф 0) был уже описан. К сказанному добавим, что числа р w q — это числа корней характеристического полинома (7.5) с от- [c.246]

Точки 0" , . .., — седловые неподвижные точки. Точка O " — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Г-отображением сдвига некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т иТ. в окрестности их общей неподвижной точки совпадают и между корнями X/ и 2/ характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения [c.249]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

При первой бифуркации устойчивое состояние равновесия сливается с седловым О и они оба исчезают, превращаясь в обыкновенную точку. [c.256]

При первой бифуркации устойчивая неподвижная точка вместе со своей областью притяжения непрерывно переходит в устойчивый цикл двукратных неподвижных точек и его область притяжения. Во втором — устойчивая неподвижная точка сливается с седловым циклом двукратных неподвижных точек и становится седловой. [c.259]

Если отвлечься от движений, асимптотически приближающихся к седловым состояниям равновесия и периодическим движениям, то точки каждой из поверхностей al [c.278]

Возможность существования особых точек (седловых, типа гребней и оврагов и т. д.), разрывности функционала и изменений переменных условных экстремумов на границах допустимых областей, многосвязности, многоэкстремальности функционала, ограничений типа неравенств, дискретность переменных и т. д. — все это приводит к практической непригодности аналитических методов оптимизации теплоэнергетических установок. Применение ЭВМ. и численных методов нелинейного программирования позволяет в основном преодолеть эти затруднения. При малом числе оптимизируемых переменных и при узких пределах их изменения отыскание глобального экстремума практически обеспечивает метод сплошного перебора на ЭВМ вариантов путем обхода в определенном порядке узлов многомерной сетки в пространстве независимых переменных и вычисление в каждой точке значений функций ограничений и функционала. При этом отбрасываются те точки, в которых ограничения не выполняются, а среди точек, для которых ограничения справедливы, выбирается точка с наименьшим (или наибольшим) значением функционала. При оптимизации по большому числу параметров применяются методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска (Л. 21]. [c.57]

В частност , даже бесчисленное множество точек седлово дуги без контакта (см, 18, п. 3 и 19, п. 2) может принадлежать особым полутраекториям име Но, в случае, когда седловая область примыкает к сепаратрисам, являющимся предельными для како -н1 будь особой полутраектории (или нескольких особых полутраекторий). [c.457]

ОН определен при всех значениях времени только для тех точек, орбиты которых никогда не попадают в вершину. Так как множество таких точек имеет полную меру Лебега, с точки зрения эргодической теории сохра-НЯЮШ.ИЙ меру поток определен для всех значений времени. Чтобы применить теорему 14.6.3, домножим векторное поле определяющее поток, на неотрицательную функцию р, обращающуюся в нуль только в вершинах и такую, что интегрируема по Лебегу. Векторное поле рХ непрерывно и однозначно интегрируемо и определяет непрерывный сохраняющий положительную на открытых множествах меру Л поток. Вершины являются неподвижными точками седлового типа, и отображение возвращения на любую трансверсаль совпадает с отображением возвращения для первоначального разрывного потока. Обозначим ч ез Т группу параллельных переносов, порожденную сдвигами 2 ,..., 1 . Пусть Р],..—вершины многоугольника Р. [c.484]

При к = 0 вихревое образование ограничено равносторонним треугольником, образованным пересечением прямых линий тока у = 0 и у = -3 л/За . Верщины треугольника х = %/3, у = 0 и а = 0, у = -3 являются для функции ф седловыми точками, а точка х = 0,у = -1 — центром. Центр и точка пересечения биссектрис треугольника совпадают. Переход к полярным координатам г, б с полюсом в точке х = 0, у = -1 по формулам X = г соей, у = г81П1 - 1 преобразует функцию ф к виду [c.200]

Линии пересечения осесимметричных поверхностей тока с меридиональной плоскостью, tp = onst, для простоты в дальнейшем будут называться линиями тока. Как уже отмечалось, они неизменны при различных с. Линиями тока в решении (3.64) являются, в.частности, прямые г = о и г = jn, где j i — первый нуль функции J (r). Величина j и 3,832. Следует помнить, что седловые точки и центры функции гр х,г) являются точками торможения, в них и = v = 0, но, вообще говоря, lu 5 0. [c.208]

При оо > к> 6,43 линии тока = onst, а только они и показаны на рис. 4.7, имеют вид, изображенный при к = 6,43, с той только разницей, что при к > 6,43 отсутствует вырожденная седловая тбчка а = 0, г = jn. В окрестности оси симметрии ц > 0, а в окрестности линии г = ju величина щ < 0. [c.209]

Отсюда и из равенства х = ar os5 следует, что при i = О, г — 1 кривые = О образуют седловую точку. Касательные к этим кривым в седловой точке не горизонтальны. Ветви линий -ф = О располагаются как при О < г 1, так и при 1 г. [c.217]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы (1987) -- [ c.128 ]

Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек (1978) -- [ c.42 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.29 , c.272 ]

Акустика слоистых сред (1989) -- [ c.182 , c.219 , c.223 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...