Дополнительной виртуальной работы принцип

К достоинствам книги следует безусловно отнести то, что в ее основу положены принципы виртуальной работы и дополнительной виртуальной работы. Это позволяет читателю уяснить смысл статически допустимых полей напряжений и кинематически допустимых полей деформаций и выделить общие вариационные свойства, не зависящие от реологических свойств материала, т. е. от таких соотношений между напряжениями и деформациями. [c.6]

В теории пластичности вполне естественно использовать принцип виртуальной работы в качестве основы для установления вариационных принципов. Если в задаче можно ограничиться теорией малых перемещений, то в качестве такой основы может быть использован и принцип дополнительной виртуальной работы. Поскольку соотношения напряжения—деформации в теории пластичности сложнее, чем в теории упругости, можно ожидать, что установление вариационных принципов теории пластичности будет более сложным. Можно показать, что различные вариационные принципы, которые были установлены в теории пластичности, формально выводятся аналогично принципам теории упругости, хотя для справедливости этих вариационных принципов должны быть даны строгие доказательства. [c.21]

Принцип дополнительной виртуальной работы [c.34]

Формула (1.50) выражает принцип дополнительной виртуальной работы. Этот вариационный принцип справедлив для произвольных бесконечно малых вариаций напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и заданным граничным условиям в напряжениях. Как видно, принцип дополнительной виртуальной работы имеет форму, двойственную к вариационному принципу виртуальной работы (1.32). [c.35]

Далее рассмотрим, какие уравнения можно вывести из принципа дополнительной виртуальной работы, если предполагается, что он справедлив для произвольных вариаций напряжений. Универсальным методом решения задач такого рода является метод множителей Лагранжа ). Будем рассматривать (1.48) и (1.49) как ограничения, а перемещения и, v, w как множители Лагранжа, ассоциированные с этими ограничениями. Тогда, проводя все рассуждения в обратном порядке, получим (1.46) из (1.50). Поскольку величины ба , ба ,. .., бт считаются независимыми в соответствии с общей схемой применения множителей Лагранжа, все коэффициенты в уравнениях (1.46) обращаются в нуль, и мы получаем уравнения (1.44) и (1.45). Таким образом, принцип дополнительной виртуальной работы эквивалентен соотношениям напряжения—деформации и граничным условиям в напряже- [c.35]

Приближенный метод решения, основанный на принципе дополнительной виртуальной работы [c.36]

С Другой стороны, в 1.6 мы вывели принцип дополнительной виртуальной работы. Выбирая далее ба , 8а , бт у, фигурирующие в (1.50), в качестве независимых варьируемых переменных, и принимая (1.48) и (1.49) в качестве ограничений, получим иную формулировку принципа дополнительной виртуальной работы использование уравнений равновесия (1.4) и граничных условий в напряжениях (1.12) в принципе дополнительной виртуальной работы (1.50) приводит к соотношениям перемещения — деформации (1.5) и граничным условиям в перемещениях. [c.40]

Учитывая вышеприведенное утверждение, зададимся вопросом какого рода соотношения будут получены, если в вариационном принципе дополнительной виртуальной работы вместо уравнений равновесия и множителей Лагранжа будут использованы функции напряжений [c.40]

Читатель уже убедился в 1.7, что использование функции напряжений Эри в принципе дополнительной виртуальной работы приводит к условию совместности для двумерной задачи. [c.40]

Отметим, что для многосвязного тела, каким является тело с отверстиями, формулировка принципа дополнительной виртуальной работы при подстановке функций напряжений дает другие геометрические условия, так называемые условия совместности в большом 120, 211. Простой пример этих условий будет приведен в 6.3. В гл. 10 мы покажем, что условия совместности в большом играют важную роль в теории конструкций. [c.40]

В 1.4 и 1.6 было установлено, что принципы возможных перемещений и дополнительной виртуальной работы являются двойственными при изучении задач теории упругости. [c.41]

С другой стороны, при выводе принципа дополнительной виртуальной работы принималось, что виртуальные вариации компонент напряжений выбираются так, чтобы удовлетворялись условия (1.48) и (1.49). Эти ограничения также устраняются, если расширить функционал в принципе дополнительной виртуальной работы [c.41]

Докажите, что принцип дополнительной виртуальной работы для плоской [c.47]

Здесь будет показано, что из принципа дополнительной виртуальной работы (1.50) может быть получен другой вариационный принцип. Заметим, что функция состояния В (а ., Оу,. .., может быть выведена из соотношений напряжения — деформации (1.8), так что [c.52]

Когда таким образом установлено существование функции дополнительной энергии, принцип дополнительной виртуальной работы переписывается в виде [c.53]

В 1.9 мы несколько расширили принципы дополнительной работы и дополнительной виртуальной работы. Очевидно, что можно заменить первые члены (1.73) и (1.74) на Ы1 и бУ для задач теории упругости. Предлагается следующая модификация метода Галеркина, обсуждавшегося в 1.5. Поскольку [c.72]

Покажите также, что соотношения ( ) можно вывести нз соотношений (ii) прн помощи принципа дополнительной виртуальной работы. Примечание [c.121]

Таким образом, мы вывели принцип минимума дополнительной энергии из принципа минимума потенциальной энергии. Однако очевидно, что принцип минимума дополнительной энергии можно вывести другим способом с использованием принципа дополнительной виртуальной работы [c.294]

Далее, поступая так же, как и в гл. 1, получаем следующие выражения для принципов виртуальной работы и дополнительной Виртуальной работы [c.317]

Как видно из приведенных выше формул, принципы виртуальной и дополнительной виртуальной работы для этой задачи могут быть записаны соответственно в виде [c.325]

Принцип дополнительной виртуальной работы Модифицированный принцип дополнительной виртуальной работы [c.347]

Принцип дополнительной виртуальной работы Этот принцип записывается в виде (ср. с уравнением (1.50)) [c.348]

Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части А, приближенный метод решения, основанный на принципе виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной работы, модифицированном принципе виртуальной работы и модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы. [c.358]

Докажите, что модифицированный принцип дополнительной виртуальной работы дается следующей формулой [c.359]

Очевидно, что можно также получить принцип дополнительной виртуальной работы, отвечающий соотношениям (21)—(23) [c.500]

В 3—6, наоборот, мы будем исходить из деления сил на активные силы и реакции связей и покажем, в предположении отсутствия трения, как и в этом динамическом случае принцип виртуальной работы позволит исключить из дифференциальных уравнений движения в самом общем виде неизвестные реакции. Мы придем таким образом к классическим уравнениям Лагранжа ( 6) и посредством ряда дополнительных выводов, и конкретных примеров покажем их огромную важность как в теоретических вопросах, так и для при- ложений ( 7—9). [c.256]

Упражнения к этой главе затрагивают три дополнительные темы. Первая тема связана с условиями совместности и функциями напряжений. В задачах 5 и 6 дан систематический метод получения функций напряжений теории оболочек с использованием условий совместности и принципа виртуальной работы. Вторая тема связана с другими теориями тонких оболочек она отражена в задачах 7—10, Третья тема связана с теорией тонких оболочек в неортогональной криволинейной системе координат (задача 11). Из-за недостатка места теория тонких оболочек в неортогональной криволинейной системе координат здесь не рассматривается. Интересующийся этой теорией читатель может ознакомиться с ней, например, по работе [41. [c.282]

Оказалось, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы являются очень эффективными для анализа таких упрощенных конструкций. Подход, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, обычно называется методом перемещений, а подход, использующий принцип минимума дополнительной энергии, называется методом сил ). Эти два метода являются главными методами анализа конструкций. Из-за недостатка места мы в основном остановимся на анализе ферм и рам, выдвигая на первый план вариационные формулировки. Для более подробного ознакомления с численными примерами и другими видами конструкций читатель отсылается к работам П—14], [c.290]

В заключение заметим, что если жидкость несжимаемая, то ее определяющие уравнения должны удовлетворять дополнительному условию tr D = Dkk = О, что упрощает первое из уравнений (2.9.20). Однако в этом случае рассмотренный вывод уравнения (2.9.22) уже не проходит. Правильнее сказать, что тензор определяется с точностью до шарового тензора т. е. такого тензора, который, согласно принципу виртуальной работы (2.6.6), удовлетворяет равенству t Di = 0. Поэтому тензор t имеет вид 4 = —рб/i, где р —так называемое [c.123]

Во введении к части А дается общее представление о вариационных принципах и методах механики. Первые 10 глав посвящены формулировкам и применениям вариационных принципов и методов в теории упругодеформируемых сложных тел, скручиваемых стержней, балок, пластин, оболочек и конструкции. Первая, третья и четвертая главы носят подготовительный характер, и в них обсуждаются основные соотношения теории упругости для случаев малых и больших деформаций. Здесь же содержится изложение классических принципов виртуальной работы и дополнительной виртуальной работы, которые существенным образом используются в других главах при выводе минимальных вариационных принципов статики упругого тела. Важные обобще- [c.5]

С Другой стороны, принцип дополнительной виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения — деформации таковы, что существует функция дополнительной энергии и предполагается, что при вариации напряжений граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип минимума дополнительной энергии с помощью введения множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера, принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода к формулированию вариационных принципов являются взаимными и эквивалентными друг другу. [c.19]

Используя принцип дополнительной виртуальной работы, можно предложить приближенный метод решения задач теории упругости. Такой подход аналогичен сформулированному в 1.5 и может быть назван обобщенным методом Галеркииа. Для простоты будем рассматривать двумерную задачу теории упругости для односвязного тела ). Боковая поверхность тела цилиндрическая, причем образующая цилиндра параллельна оси z, а деформация тела считается не зависящей от координаты г. Также предполагается, что компоненты напряжений т , т уг равны нулю. Остальные компоненты а , Оу и считаются функциями только от X и у и связаны с деформациями при помощи соотношений [c.36]

Принцип минимума дополнительной энергии был выведен в 2.2 из принципа Дополнительной виртуальной работы. Легко проверить, что принцип минимума потенциальной энергии можно вывести из принципа минимума дополнительной энергии, проводя в обратном порядке рассуждения этого и предыдущего параграфов. Эквивалентноегь этих двух подходов очевидна, так как речь идет о теории упругости при малых перемещениях. Однако особо отметим тот путь, который ведет от принципа виртуальной работы к принципу минимума потенциальной энергии и другим связанным с ним вариационным принципам, потому что этот метод имеет больше преимуществ при систематическом решении задач в механике твердого тела. [c.59]

Полученное соотношение выражает собой так называемый принцип дополнительных виртуальных работ. При выводе формулы (2.23) использовались формулы Коши (1.7), следствием которых являются уравнения совместности деформаций (1.10). Таким образом, исходное напряженное состояние неявно предполагалось не только статически возможным, ио и удовлетворяющим уравиеииям совместности. Напряженное состояние, для которого удовлетворяются уравнения совместности деформаций, будем называть совместным. Из урав-иення (2.23) следует, что для совместного напряженного состояния вариация дополнительной энергии деформации равна вариации дополнительной работы внешних сил. [c.41]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

Таким образом, было показано, что поскольку принцип минимума потенциальной энергии выводится из принципа виртуальной работы, он может быть обобщен путем введения множителей Лагранжа и дает ряд вариационных принципов-, включающих принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. п. Это показано в виде диаграммы на табл. 2.1. [c.59]

Рассмотрим динамическую задачу для упругого тела с начальными напряжениями, предполагая заданными дополнительные массовые силы Р , дополнительные поверхностные силы на Si и перемещения на поверхности где перемещгаия отсчитываются от исходного состояния. Заметим, что Р , и являются заданными функциями времени и пространственных координат. Тогда второе выражение принципа виртуальной работы для данной задачи примет вид (i [c.144]

Здесь мы проследим по табл. 15.1 только путь вывода вариационных принципов из принципа виртуальной работы, выводя принцип Гамильтона, обобщенный принцип, принцип Хеллин-гера — Рейсснера н заканчивая принципом стационарности дополнительной энергии. Другие способы преобразований, при которых получаются модифицированные принципы со смягченными условиями непрерывности, читатели могут найтн в работах [4—61. [c.372]

Захс, пренебрегая в своих расчетах тем, что принятые им модели зерен могут отделяться друг от друга или внедряться друг в друга вследствие поворота, получил значение нижней границы для т= = 2,238. Тэйлор в 1938 г., введя 12 систем скольжения для гране-центрированной кубической решетки материала, из которых только 5 были независимыми, и предполагая однородность деформаций, однообразный характер деформации зерна и непрерывность перемещений на 1 раницах зерен, провел вычисления, основанные на принципе минимума энергии, и получил т=3,06. Дж. Ф. В. Бишоп и Родней Хилл (Bishop and Hill 11951, 1, 2l) в 1951 г. подвергли проверке и развили теорию Тэйлора, выражая решение задачи в терминах касательных напряжений и проводя вычисления на основании принципа максимума виртуальной работы. Они также получили значение т=3,06, ранее найденное Тэйлором, и смогли на основании дополнительных вычислений установить, что применительно к кручению поликристалла п=1,б5. [c.297]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Замечание. Как в аксиоме баланса сил, так и в формулировке принципа виртуальной работы требования гладкости, налагаемые на поле Г Q" S , весьма умеренные достаточно, чтобы все интегралы имели смысл. Напротив, необходимы существенные дополнительные предположения о гладкости, чтобы написать уравнения равновесия и придать смысл величине div" Г". Эти уравнения используются только как средство перехода от аксиомы баланса сил к принципу виртуальной работы, и потому естественно возникает вопрос, нельзя ли при этом переходе вовсе обойтись без уравнений равновесия и соответствующим образом понизить требования гладкости. Исследования в этом направлении проведены в работе Antman Osborn [1979], где показано, что принцип виртуальной работы может быть выведен непосредственно из аксиомы баланса сил. Подход Антмана и Осборна основан на выявлении своего рода эквивалентности между справедливостью аксиомы баланса сил для всех подобластей Л" и выполнением принципа виртуальной работы для всех отображений O-" . Такая эквивалентность устанавливается с помощью соответствия между специальными классами подобластей (кубами и их образами при изоморфизмах, липшицевых в обе стороны) и специальными классами вариаций (по существу, кусочно-линейными функциями). Метод доказательства в общем тот же, что и при выводе формул Грина в теории интегрирования. В [c.104]

Рассмотрим теперь случай, когда на подмножестве Гг границы отсчётной конфигурации заданы односторонние граничные условия на положения вида ф(Гг) z С, где С — замкнутое подмножество в R . Для того чтобы полностью охарактеризовать соответствующую краевую задачу и, в особенности, чтобы определить, какого рода дополнительное граничное условие следует наложить на первый вектор напряжений Пиолы—Кирхгофа в точках множества Гг, мы применим новый подход. Как показано в следующей теореме, установленной в работе iarlet Ne as [1985]), такую информацию нетрудно получить, если априори известны полная энергия и множество допустимых решений и, кроме того, предполагается, что полная энергия достигает минимума. Этот обратный подход обладает также тем преимуществом, что он позволяет непосредственно вывести соответствующий принцип виртуальной работы, поскольку при таком подходе выявляется конкретный вид вариаций , входящих в формулировку этого принципа (упражнение 5.5). Напротив, принцип виртуальной работы и выражение для полной энергии до сих пор всегда выводили, исходя из априори известной краевой задачи. [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...