Закон состояния линейной теории

ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1. Изотропная сплошная среда [c.100]

ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. И1 [c.108]

ЗАКОН состояния ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ill [c.110]

ЗАКОН состояния ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 111 [c.122]

В классической линейной теории упругости принята следующая постановка задачи уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния, компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями, а материал подчиняется закону Гука, т. е. напряжения и деформации связаны между собой линейными зависимостями. В этом случае задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Нетрудно показать, что напряженно-деформированное состояние, соответствующее этому единственному решению, является устойчивым. [c.77]

Теорема Кирхгоффа. Исходная система уравнений и краевых условий теории упругости приведена в п. 1.1. Вводятся следующие предположения 1) начальное состояние тела является натуральным 2) постоянные ц, v в обобщенном законе Гука удовлетворяют неравенствам (3.3.5), (3.3.6) гл. III, обеспечивающим положительность удельной потенциальной энергии деформации поэтому последняя может быть нулем лишь в натуральном состоянии 3) допускается общепринятое в линейной теории упругости пренебрежение изменением формы тела при формулировании краевых условий — ограничивающая упругое тело поверхность О в состоянии равновесия такая же, как в натуральном состоянии. [c.182]

Если начальным состоянием служит натуральное, то <7 = О и закон состояния определяется тремя лишь коэффициентами. С целью сопоставить его с обобщенным законом Г ка линейной теории заменим меру деформации тензором Й, а инварианты инвариантами = Это вычисление [c.659]

Эти состояния совпадают соответственно с состоянием линейной упругости (закон Гука), состоянием текучести и состоянием упрочнения, рассмотренными выше на основе экспериментальных данных. Термодинамический анализ не только избавляет от этих дополнительных предположений и приводит к условиям текучести и упрочнения, но, что важнее, выясняет природу уравнений теории упруго-пластических деформаций и возможности использования в теории пластичности уравнений нелинейно-упругого тела ). Наконец, развиваемая концепция делает понятным существование потенциала работы деформации. [c.48]

Линейная теория устойчивости исходит из предположения о том, что возникающие возмущения основного состояния малы. Эта теория позволяет определить границу устойчивости и проследить за судьбой малых возмущений. В линейном приближении возмущения равновесия в области неустойчивости пара стают со временем по экспоненциальному закону. Ясно, однако, что в действительности неограниченного возрастания возмущений нет. Экспоненциальный рост имеет место лишь на начальном этапе очень скоро возмущения перестают быть малыми и не подчиняются более линейным уравнениям движения. Эволюция конечных возмущений, а также форма и амплитуда установившегося движения (если оно существует) могут быть определены лишь на основе полных нелинейных уравнений. Нелинейная теория устойчивости находится в стадии интенсивного развития и привлекает к себе внимание все более широкого круга исследователей. Возникающие в этой области проблемы связаны со значительными математическими трудностями. Хотя до цх полного решения еще далеко, значительный прогресс, достигнутый в последние годы, представляется несомненным. [c.137]

Соотношения линейной теории упругости. Будем рассматривать упругие тела однородные и изотропные. Для получения замкнутой системы уравнений необходимо записать уравнения состояния, т.е. установить связь между тензорами напряжений и деформаций. Будем рассматривать тела, для которых имеет место линейная связь между тензорами напряжений и деформаций, т.е. обобщённый закон Гука (3.24) [c.238]

На достаточно большом расстоянии от источника взрывной волны давление в возмущенной области лишь незначительно отличается от атмосферного давления ро. Для отыскания закона убывания амплитуды ударной волны при i оо можно ограничиться приближенным исследованием уравнений движения. Теоретическое описание волн малой амплитуды (т. е. звуковых волн), как правило, основывается на линейной системе уравнений, которая получается после исключения из уравнений движения членов, содержащих произведения малых вариаций величин, характеризующих возмущенное движение среды. В линейной теории скорость распространения возмущений, независимо от амплитуды, равна невозмущенной скорости звука Со. Ударный фронт также распространяется со скоростью Со, поскольку разрыв можно в этом случае рассматривать просто как предел непрерывного распределения. Поверхность ударного фронта совпадает с характеристической поверхностью линейной системы уравнений. Следовательно, в линейном приближении амплитуда ударной волны не заг висит от течения позади нее и определяется состоянием среды перед ударным фронтом и геометрическими свойствами рассматриваемой задачи. [c.280]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Классическая теория (см. выше) не в состоянии объяснить эффект. Подобно аномальному эффекту Зеемана явление Штарка требует для своего объяснения учета законов строения атома, т. е. квантовых законов. Квантовая теория явления, разработанная впоследствии (Эпштейн — Шварцшильд, 1916 г.), удовлетворительно объясняет все его особенности. Также удовлетворительно объяснено то обстоятельство, что другие элементы, обладающие более чем одним электроном, не обнаруживает линейного эффекта Штарка. Ионизованный атом гелия с одним электроном, наоборот, дает линейный эффект, подобный эффекту в водороде. [c.632]

Такая интерпретация достаточно удовлетворительно описывает все количественные закономерности и отвечает на все законные вопросы. Тем не менее такая интерпретация неудовлетворительна. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим кристалл (см. рис. 19), в котором оба луча света распространяются без поглощения. Как показывает эксперимент и объясняет электромагнитная теория света, на выходе из кристалла наблюдается эллиптически поляризованная волна. Чтобы это объяснить с точки зрения поляризации фотонов, придется допустить, что на выходе из кристалла фотоны совершают скачкообразное изменение своей поляризации из линейной в эллиптическую, причем обе группы фотонов с различной линейной поляризацией совершают переход в одно и то же состояние эллиптической поляризации. Чтобы построить теорию такого перехода, необходимо считать, что поведение фотонов с взаимно перпендикулярными поляризациями коррелировано между собой, [c.39]

Систему, в которой силы приняты линейными функциями от перемещений (из состояния равновесия) с по тоянными коэфициентами, можно по аналогии назвать упругой системой, так как такого рода соотношение обычно принимается за основной закон теории упругости. Постоянные можно назвать коэфициентами упругости или (по [c.216]

Наряду с теорией длительного разрушения (накопления повреждений и трещинообразования) существует и другой способ оценки долговечности элемента материала, не имеющий прямого отношения ни к физическому разрушению, ни к потере устойчивости равномерного вязкопластического деформирования с локализацией деформаций в виде шейки или вздутости (см. п. 1.3). Долговечность при ползучести, протекающей при постоянном условном напряжении, рассматривается как время, за пределами которого этот деформационный процесс, описываемый определенным уравнением механических состояний, теоретически не может продолжаться. Критический момент можно определить различными способами, в зависимости от применяемого типа уравнения механических состояний. Традиционный и простейший подход состоит в следующем (ср. [71, 991). Допустим, что процесс ползучести при линейном напряженном состоянии в условиях постоянства растягивающей силы (или иначе — постоянства условного напряжения) описывается уравнением (2.52). Истинное напряжение изменяется при этом по закону [c.108]

Зависимость между напряжениями и деформациями в теории упругости является линейной (закон Гука) и для случая объемного напряженного состояния выражается в виде [c.7]

Изложенная выше теория предельных законов может быть применена и к течению газов, не подчиняющихся уравнению состояния Клапейрона—Менделеева. Наиболее просто задача решается в этом случае для ограниченных интервалов температур, когда возможна линейная аппроксимация зависимости плотности газа от температуры. При одновременном изменении ве.личин Ср и р интенсивность турбулентного переноса теплоты определяется зависимостью [c.124]

Теория идеальной пластичности и идеальной вязкости могут рассматриваться но отношению к данной модели как ее простейшие частные случаи (число подэлементов равно единице) аналогично частным случаем является и модель А. Ю. Ишлинского [36], отражающая линейный закон упрочнения (число подэлементов равно двум, один из них является идеально упругим). В структурной модели находит также отражение (и получает развитие) концепция деформационного типа о существовании термомеханической поверхности [5]. Определенная гибкость структурной модели состоит также в том, что, используя различные аппроксимации реологической функции, можно представить поведение материала как чисто склерономное, чисто реономное или смешанное , которому присущи оба вида неупругой деформации. Отсюда следует ее связь не только с классическими теориями пластичности, но и с наиболее обоснованными теориями ползучести, в частности, с теорией упрочнения (см. 26) и ее обобщением, в котором используется конечное число параметров состояния. [c.142]

Далее принимается, что внешние силы (массовые и поверхностные) отсутствуют. В предположении, что задача теплопроводности может рассматриваться независимо от задачи теории упругости (см. п. 3.5 гл. III), это не идет в ущерб общности, так как линейность задачи для тела, подчиняющегося закону Гука, допускает наложение напряженных состояний, вызываемых действием объемных сил, поверхностных сил и изменением температуры и определяемых по отдельности для каждого из перечисленных факторов. [c.146]

Для описания напряженно-деформированного состояния упругой прокладки используется теория [45], которая предполагает, что упругий слой (прокладка) работает на обжатие и поперечный сдвиг. Предполагается, что деформации обжатия и сдвига постоянны по высоте прокладки, а компоненты перемещения изменяются по линейному закону. Погрешность этого допущения тем меньше, чем тоньше прокладка и чем меньше ее упругие характеристики по сравнению с упругими характеристиками ребра и пластины. Таким образом, в упругом слое преобладающими будут напряжения обжатия и сдвига, а напряжения от изгиба малы. Эти предположения справедливы, если модуль упругости <, прокладки и модуль упругости Е пластины связаны зависимостью [c.60]

Уравнение (5) характеризует реологическое состояние среды, в которой при постоянной деформации напряжение релаксирует до нуля по экспоненциальному закону. Уравнение (6) описывает деформацию среды с последействием. В этой среде при мгновенном снятии напряжений деформация экспоненциально убывает до нуля. Уравнение (7) соответствует деформации сложной среды с релаксацией напряжения и последействием. Следует отметить, что в литературе деформацию упругого последействия часто называют эластической. Если она достигает очень высоких значений, ее общепринято именовать высокоэластической. Аналогично уравнениям (5)—(7) можно составить уравнение модели вязко-упругого тела с любым (конечным или бесконечным) набором времен релаксации и последействия. Естественным обобщением модельной теории вязко-упругой среды является интегральная теория вязко-упру-гости, в которой спектры времен релаксации и последействия могут быть как дискретными (тогда реологическое поведение тела можно описать соответствующей моделью), так и непрерывными. Изложение этой теории описано, например, в монографии Д. Бленда Теория линейной вязкоупругости (Издательство Мир , М. 1965). [c.16]

Теория линейных (малых) колебаний замечательна тем, что устанавливаемые в ней факты в одинаковой мере справедливы для объектов, пребывающих в соответствующем состоянии, независимо от их природы. Так, например, колебания в электрических сетях, упругие колебания систем, в частности, колебания, соверщаемые с частотами 16—20 000 гц и передаваемые уху какой-то средой, например, воздухом, и воспринимаемые им в виде звука, подчинены одним общим законам. Эти законы составляют предмет теории колебаний. [c.85]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Выше указана только часть публикаций по нелинейным-проблемам эластомерного слоя и конструкций. Перечень работ можно бы продолжить, но это не меняет общей оценки состояния вопроса. Если создание линейной теории слоя можно считать завершенным и ее значение можно сравнить со значением классической теории оболочек для соответствующих краевых задач, то создание общей нелинейной теории слоя находится в-началь-. ной стадии. Опубликованных результатов мало, и они не достоверны даже в отношении интегральных упругих характеристик констукций, не говоря уже о полях перемещений и напряжений, В то же время только теоретические исследования и расчеты с последующей экспериментальной проверкой позволяют пороз11ь оценить влияние геометрической и физической нелинейности и решить такие важные вопросы, как пределы применения закона-Гука и выбор упругого потенциала. Лелать упор на физическую нелинейность при умеренных деформациях < 50%, по убеждению автора, неправильно. Есть три источника появления нели-. нейности задачи — формулы Коши, связывающие деформации с перемещениями, уравнения равновесия и закон упругости, которые, вообще говоря, независимы. [c.23]

Рассматриваются соотношения связи между напряженным и деформированным состояниями модели упругого изотропного тела при кусочно линейном потенциале в случае малых деформаций. Предполагается, что при одноосном растяжении-сжатии и чистом сдвиге для рассматриваемой модели имеет место линейный закон Гука, изменение объема прямо пропорционально среднему напряжению. В обш,ем случае поведение исследуемой модели отличается от поведения модели упругого изотропного тела, описываемого обш,епринятыми соотношениями линейной теории упругости [1, 2]. [c.111]

Состояние данного вопроса сейчас таково, что наиболее важные специфические для гидроэлектростанций с уравнительными резервуарами задачи устойчивости либо уже решены, либо (в сложных специальных случаях) могут быть решены при помош,и хорошо разработанных приемов линейной теории колебаний (при исследовании устойчивости в малом ) и получившей развитие в работах Я. К. Любимцева методики выявления достаточных условий устойчивости в большом на основании теорем Ляпунова. Здесь, как и в теории гидравлического удара, существенным и еш е нерешенным является вопрос о законе гидравлических сопротивлений при неустановившемся режиме. [c.725]

В линейной теории колебаний известен закон, согласно которому в линейной системе колебания с частотами, отличными от частот возбуждения, возникнуть не могут. Последнее важно, поскольку явление возникновения колебаний и волн с частотамг , отсутствующими в исходном возбуждающем сигнале свидетельствует об изменении состояния системы в процессе колебаний, что, например, происходит при обратимом подрастании и залечивании трещин под действием волны. Указанное явление может служить основой для разработки соответствующих методов обнаружения дефектов в изделиях. Возникновение растягивающих напряжений при прохождении упругой волны в объекте контроля вызывает подрастание имеющихся в нем трещин, уменьшая упругость объекта. Сжимающие напряжения в отрицательной фазе волны приводят к частичному смыканию трещин, приводя к обратному эффекту. В результате в спектре колебаний объекта контроля возникают колебания с частотами, отсутствовавшими в возбуждающих колебаниях. [c.32]

Очевидное решение уравнений теории упругости есть Сц = = onst. При этом деформации по закону Гука также постоянны и, следовательно, перемещения представляют собою линейные функции координат. Чтобы осуществить в теле такое однородное напряженное состояние, необходимо лишь приложить к его поверхности соответствующие внешние силы, а именно [c.271]

В задачах теории пластичности стеленной закон редко дает удовлетворительное описание экспериментальных кривых. Как правило, приходится решать упругопластическую задачу, в рамках деформационной теории пластичности нет разницы между формулами, описывающими упругое и пластическое состояния, но функция s(t ) оказывается линейной для достаточно малых значений v и нелинейной после достижения предела текучести. Это обстоятельство, естественно, усложняет решение задачи, хотя трудности не носят принципиального характера. Более серьезным моментом служит то, что предположение о несжимаемости материала для упругопластических тел, строго говоря, не выполняется. Имеются многочисленные решения, учитывающие эффект сжимаемости, нам не кажется, что получаемое при этом уточнение настолько серьезно, чтойы была необходимость излагать соответствующие результаты. [c.636]

Кроме сказанного выше, обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Нелинейные уравнения теории ползучести (2.5), (2.6) или (2.8), строго говоря, применимы лишь в случае отсутствия разгрузок. В самом деле, опытами [17, 23] установлено, что в области нелинейной ползучести для таких типичных стареющих материалов, как бетон, полимеры и ряд других, последействия в них и после разгрузки при различных уровнях напряжения не следуют тому же нелинейному закону, по которому развиваются деформации пoJПзyчe ти при нагружении их согласно уравнениям (2.5), (2.6) или (2.8) нелинейной теории ползучести. Более того, на основании некоторых предварительных данных представляется возможным полагать, что явления последействия в стареющем материале при его разгрузке в области высоких напряжений по своему характеру будут протекать ближе к линейному закону, хотя при этом по-прежнему будет иметь место неполная обратимость деформации ползучести. Поэтому нелинейная теория ползучести неоднородно-стареюпдах тел, основанная на исходных уравнениях состояния (2.5), (2.6) или (2.8), т. е. на допущении подобия кривых ползучести, и не учитывающая явление смягчения нелинейности деформации ползучести стареющего материала со временем, а также различия между эффектами нагрузки и разгрузки, является хотя и важным, но лишь первым шагом в создании нелинейной теории ползучести нёоднородно-стареющих тел. [c.26]

На основании деформационной теории повторного нагружения Мос-квитина последовательно решают задачи о нагружении и разгрузке конструктивного элемента, причем для мембранной зоны считают, что разгрузка (начало в точке А на рис. 1.5, а) происходит по линейному закону. В связи с отсутствием в условиях однородного напряженного состояния, остаточных напряжений в мембранной зоне началу повторного нагружения соответствует точка. 4 (рис. 1.5, б) конца разгрузки предыдущего цикла, причем зависимость между напряжениями и деформациями является линейной для мгновенного нагружения и нелинейной для нагружения, при котором проявляются временные эффекты и ползучесть. [c.8]

В оболочке возникает два вида напряженного состояния мембранное и изгибное. Мембранное напряженное состояние соответствует плоской задаче теории упругости. Для решения плоской задачи теории упругости наиболее распространены два типа прямоугольных конечных элементов элемент Мелоша [4 ] (поле перемещений задается в виде линейчатой поверхности) и элемент Клафа [5] (нормальные напряжения изменяются по линейному закону, касательные напряжения постоянны). Элемент Клафа не удовлетворяет условию совместности по перемещениям между соседними элементами, но соответствующее ему поле напряжений удовлетворяет условиям равновесия. При использовании элемента Мелоша условие совместности перемещений между элементами удовлетворяется, но не удовлетворяется условие равновесия внутри элемента. [c.224]

Вследствие использования гипотезы ломаной линии, тангенциальные компоненты вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений распределены по толщине каадого слоя согласно линейному закону (см. гл. 8). В зтой главе, следуя работе [9.3], строится вариант теории упругих многослойных анизотропных оболочек, в котором тангенциальные перемещения, деформации и напряжения распределены по толщине слоев по нелинейному закону, что представляет интерес при расчете напряженно-деформированного состояния в непосредственной близости от торцов композитной оболочки. [c.186]

Подобно напряжениям а в теории балок, напряжения а с, <Уу и Оху, возникающие в поперечных сечениях пластин, ь ожно разделить на постоянные компоненты, аналогичные тем, что имеют место в задаче теории упругости для плоского напряженного состояния и составляют мембранные силы Fx, Fxy и т. д., и ком-поненты7 которые изменяются. по линейному закону, принимая нулевое эначение в срединной поверхности, и которые составляют изгибающие моменты Мх, Мху и т. д. Поперечные силы Fxz и Fyz, как и в случае балок, являются следствием распределенных по параболическому закону касательных. напряжений. [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...