Достаточные условия для устойчивости

Таким образом показано, что неравенство Неймана является необходимым и достаточным условием для устойчивости по отношению к возмущениям специального вида. Исследование возмущений специального вида, несмотря на кажущуюся узость постановки задачи, дает достаточно полную информацию об устойчивости по отношению к возмущениям общего вида. [c.86]

В теории абсолютного равновесия, которая была набросана в 168, необходимое и достаточное условие для устойчивости (в указанном смысле) состояло просто в том, что потенциальная энергия для положения равновесия должна иметь минимум. В рассматриваемом случае условия становятся более сложными но легко видеть, что если выражение для V —То будет существенно положительным или, другими словами, если коэфициенты с . .., с в формуле (4) будут все положительными, то равновесие должно быть устойчивым. Это следует тотчас же из уравнения [c.389]

Необходимым и достаточным условием для устойчивого движения является вещественность корней 8. [c.136]

В этих попытках достигнут некоторый успех, особенно в следующих двух направлениях во-первых, в установлении необходимых и достаточных условий для неустойчивости, когда влияние вязкости не принимается во внимание. Во-вторых, в установлении достаточных условий для устойчивости с учетом влияния вязкости. Однако условия первого типа иногда вводят в заблуждение, если они применяются недостаточно осмотрительно, а условия второго типа часто слишком слабы. Большинство же окончательных результатов все еще зависит от непосредственного решения задачи о собственных значениях в каждом отдельном случае, решения, включающего часто сложную вычислительную работу и иногда очень спорного. [c.21]

Это соотношение дает верхнюю грань для j. Если aR достаточно мало, так что эга верхняя грань отрицательна для всех функций ср(у), удовлетворяющих граничным условиям, то течение устойчиво. Таким образом, достаточным условием для устойчивости является неравенство [c.45]

Таким образом, для любой пары вещественных чисел I, tj, удовлетворяющих второму и третьему неравенству в (3.3.5), первое из этих неравенств дает достаточное условие для устойчивости. Вот три примера [c.45]

Таким образом, необходимым и достаточным условием для устойчивости стационарного состояния является то, что все собственные значения матрицы якобиана А имеют отрицательные действительные части. Собственное значение с положительной действительной частью подразумевает неустойчивость. [c.396]

Для нахождения достаточных условий абсолютной устойчивости движения А. И. Лурье предложил использовать функцию Ляпунова в следующей форме [c.270]

Для получения достаточных условий абсолютной устойчивости подчиним прежде всего параметры п е. условию (8.36) [c.285]

Впервые частотный критерий для исследования устойчивости линейных систем предложил Найквист в 1932 г. В 1958 г. румынский ученый В. М. Попов [431 получил достаточные условия абсолютной устойчивости в частотной форме, т. е. па языке требований, предъявляемых к частотной характеристике линейной части системы. [c.286]

Еще в 1892 г. А. М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации Общая задача об устойчивости движения поставил вопрос об обращении теоремы Лагранжа. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное решение этого вопроса дают две теоремы Ляпунова и теорема Четаева, в которых устанавливаются некоторые достаточные условия для неустойчивости положения равновесия. [c.197]

Доказанная теорема устанавливает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости. Можно указать также необходимые условия устойчивости. Рассмотрим линейное преобразование ж = Ва (где матрица J5 не обязательно диагональная, но может быть приведена к диагональному виду). Произведение собственных. значений матрицы В будет равно В , определителю матрицы В. Необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы В 1. Для линейного приближения к преобразованию (21.15.1) элементы матрицы В должны быть равны значениям частных производных 5фг/5а, в точке а = 0. Таким образом, для устойчивости преобразования (21.15.1) необходимо,чтобы якобиан [c.428]

Согласно второй теореме Ляпунова, достаточным условием для асимптотической устойчивости является V < О, что соответствует d [c.196]

Это условие надежно выполняется только тогда, когда максимум относительно 9- левой части не больше, чем минимум правой. Исследование снова ограничивается лишь областью устойчивости уравнения (1), а именно там, где О и у < 0 только в этой области возможна устойчивая аппроксимация уравнения (1). Таким образом, в качестве достаточного условия для (13Ь) имеем [c.291]

Эго дает достаточное условие для асимптотической устойчивости системы (16) в среднем квадратическом [112]. [c.303]

Рассмотрим системы типа (149)—(150), выделенные условием (152). Для этих систем можно привести ряд достаточных условий абсолютной устойчивости и асимптотически абсолютной устойчивости, использующих частотные характеристики. [c.105]

В основу выбора ц-функций можно положить разработанные для линейных систем процедуры введения новых ц-переменных при построении вспомогательных систем, приводящие в ряде случаев к необходимым и достаточным условиям у-устойчивости. [c.112]

Перлито-аустенитное превращение проходит не при одной неизменной температуре, а в температурном интервале, величина которого тем больше, чем больше скорость нагрева. При этом начало превращений имеет место при температуре, немного превышающей А[, когда создаются достаточные условия для возникновения и устойчивого существования зародышей аустенита. [c.558]

Здесь X,- — параметры, которые в принятой идеализации соответствуют тем реальным параметрам, которые были учтены при написании дифференциальных уравнений. В случае автоколебательных систем эти уравнения заведомо нелинейны и, кроме того, заведомо неконсервативны. Кроме того, как мы ун е говорили ранее, такие системы, вообще говоря, за исключением некоторых бифуркационных значений параметров, являются грубыми. Реальные автоколебательные режимы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями вида (А ), математически соответствуют устойчивым предельным циклам. Наличие таких предельных циклов в соответствующей системе дифференциальных уравнений является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе. [c.218]

Если для какой-нибудь системы имеет место устойчивость первого порядка, то обратимость является необходимым и достаточным условием полной устойчивости обобщенного равновесия. [c.130]

Очевидно, что это рассуждение не вполне строго, потому что в правых частях диференциальных уравнений были отброшены члены высших порядков. Одни линейные члены не дают достаточных условий для существования периодических орбит, и, следовательно, когда рассмотрение ограничено таким образом, то оно отвечает лишь на вопрос, касающийся устойчивости решения. Но в настоящем случае периодические орбиты [c.272]

Условием устойчивости состояния равновесия является, как нетрудно видеть, наличие отрицательной действительной части у Х5 и Х . Необходимым и достаточным условием для этого являются неравенства 3 0 Д 0. На нашей диаграмме этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти. Особая точка будет типа фокуса, если Х и Х комплексны. Этому условию удовлетворяют те [c.301]

Достаточные условия для устойчивости. Вместо решения дифференциальной системы, определяющей устойчивость или неустойчивость первоначального движения, различные исследователи интегрировали дифференциа.льное уравнение или уравнения, дающие достаточные условия для устойчивости. Хотя получить эти условия намного легче, чем решить дифференциальную систему, однако они содержат гораздо менее специфичную информацию, так как выведены без знания основ природы возмущения. Тем не менее эти условия всегда обеспечивают ценные указания в поисках более специфичной информаций, когда отсутствует детальное решение, и являются хорошей проверкой, если такое решение существует. В дальнейшем для иллюстрации смысла метода будут приведены достаточные условия устойчивости плоского потока Пуазейля. Ценность результата, полученного Сингом, доказана удачным исследованием Линя в более узкой области. [c.238]

Можно упомянуть, что достаточное условие Синга ( 31Г <0гГ2 ) для устойчивости первоначального потока между концентрическими цилиндрами, так же как и теоремы Релея (которые представляют только достаточные условия для устойчивости, полученные при пренебрежении влиянием вязкости на возмущение), выведено по существу подобным же образом. Достаточные условия были получены Сингом также вариационным методом, однако его рассмотрение не входит в задачу настоящей книги. [c.239]

Сам по себе факт одиофазности сплава еще не является достаточным условием для наступления состояния химической устойчивости. Л еханизм возникновения коррозионной стойкости [c.124]

Пример 2.12. Испо [ьзуяпроцедуру LSHIP, получим для примера 2.2 необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы. Для этого обратимся к процедуре [c.107]

В дальнейшем Л. И. Лурье в ряде работ развил идеи, за. гоженные в первой публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия абсолютной устойчивости. В монографии [33], опубликованной в 1951 г.. А, И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию [c.261]

Теория нелинейных импульсных автоматических систем начала развиваться сравнительно недавно. Применяя идеи методов исследования абсолютной устойчивости, основанных на прямом методе А. М. Ляпунова в форме, приданной ему А. И. Лурье, и используя подход В. М. Попова, удалось найти достаточные условия абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейных импульсных автоматических систем в виде разрешающей системы квадратных уравнений и частотных критериев устойчивости. Изучение периодических режимов в импульсных и цифровых автоматических системах исторически началось раньше установления критериев устойчивости. Вначале эти исследования основывались на привлечении идей приближенного метода гармонического баланса. Распространение метода гармонического баланса позволило разработать эффективные способы определения режимов с периодом, кратным периоду повторения в нелинейных амплитудно-импульсных и широтно-импульсных сиотемах. Этот подход весьма удобен и оправдан для определения низкочастотных периодических режимов. Для высокочастотных периодических режимов оказалось, что простая замена частотной характеристики непрерывной части на импульсную частотную характеристику позволяет не приближенно, а точно определить существование высокочастотных периодических режимов. Что же касается периодических режимов с периодом, не кратным периоду повторения, а также сложных периодических режимов, то единственная возможность их определения, которая существует в настоящее время, связана с развитием метода гармонического баланса по преобладающей гармонике. Задача исследования устойчивости периодических режимов сводится к задаче определения устойчивости в малом линейной импульсной системы с несколькими импульсными элементами [48]. [c.270]

Условия абсолютной устойчивости следящего гидропривода с потенциометрической обратной связью. Определим достаточные условия абсолютной устойчивости для обеих систем следящих гидроприводов и сравним их между собой. Для обеих систем квадратичная знакоопределенная отрицательная V-функция будет иметь одинаковый вид [c.550]

Если один из коэфициентов устойчивости (Сг) будет отрицательным, то значение от, будет чисто мнимым. Тригонометрическую функцию в выражении (9) можно заменить тогда через действительные показательные функции, и произвольное перемещение будет вообще возрастать, а тогда предположения, на которых основывается приближенное уравнение (8), сделаются несостоятельными. Невозмущенное положение следует в этом случае рассматривать как неустойчивое. Необходимое и достаточное условие для устоМчивости (в этом смысле) состоит в том, что потенциальная энергия V в положении равновесия должна быть минимальна. [c.316]

В [17] для систем с двумя и тремя степенями свободы получено несколько легко проверяемых достаточных условий формальной устойчивости, отличных от условий Дж. Глимма и А.Д. Брюно. [c.119]

Пепосредственная проверка условий крутизны сложна, поэтому определение крутой функции здесь не приводится. Некоторые достаточные условия крутизны получены в [27, 28]. Для случая двух и трех степеней свободы эти условия являются также достаточными условиями формальной устойчивости соответствующей системы (1). П.П. Пехорогиевым показано также, что функции общего положе- [c.120]

Однако эти достаточные условия бароклинной устойчивости выполняются в земной атмосфере и Мировом океане, по-видимому, довольно редко. Для изучения неустойчивых возмущений линеаризируем уравнения (2.41) —(2.42) относительно стационарного плоско-параллельного течения вдоль оси х со скоростью —ду )о1ду — и (у, р) [c.92]

Рэйли вывел этот критерий, т. е. роль точки перегиба, только как необходимое условие для возникновения неустойчивых колебаний. Впоследствии В. Толмин 1 ] доказал, что этот критерий дает также достаточное условие для существования нарастающих колебаний. Этот критерий имеет фундаментальное значение для всей теории устойчивости, так как он — до внесения поправки на влияние вязкости — дает первую грубую классификацию всех ламинарных течений с точки зрения их устойчивости. Практически весьма важно следующее обстоятельство существование точки перегиба у профиля скоростей непосредственно связано с градиентом давления течения. При течении в суживающемся канале (рис. 5.14), когда имеет место падение давления в направлении течения, получается целиком выпуклый, заполненный профиль скоростей без точки перегиба. Наоборот, при течении в расширяющемся канале, когда имеет место повышение давления в направлении течения, получается урезанный профиль скоростей с точкой перегиба. Такая же разница в форме профиля скоростей наблюдается и в ламинарном пограничном слое на обтекаемом теле. Согласно теории пограничного слоя, профили скоростей в области падения давления не имеют точки перегиба наоборот, в области повышения давления они всегда имеют точку перегиба (см. 2 главы VII). Следовательно, точка перегиба профиля скоростей играет в вопросе об устойчивости пограничного слоя такую же роль, как и градиент давления внешнего течения. Для течения в пограничном слое это означает падение давления благоприятствует устойчивости течения, повышение же давления, наоборот, способствует неустойчивости. Отсюда следует, что при обтекании тела положение точки минимума давления оказывает решающее влияние на положение точки перехода ламинарного течения в турбулентное. В первом, грубом приближении можно считать, что положение точки минимума давления определяет положение точки перехода, а именно точка перехода лежит немного ниже по течению точки минимума давления. [c.429]

В предыдущием параграфе было показано, что малые возмущения интегрируемой системы приводят к возникновению последовательности чередующихся эллиптических (устойчивых) и гиперболических (неустойчивых) точек. Об этом говорят, в частности, численные данные, приведенные в п. 3.2г. Однако в случае больших возмущений топологические соображения М уже неприменимы и в принципе все периодические точки могут быть неустойчивыми. В случае неинтегрируемых гамильтоновых систем линейная устойчивость является, по-видимому, необходимым и достаточным условием для нелинейной устойчивости ) в том смысле, что первая гарантирует существование инвариантных торов достаточно близко к периодической траектории ). [c.207]

Критерии неустойчивости. Если условия первой теоремы не выполнены, то устойчивость невозмущенного движения остается невыясненной, так как эта теорема дает только достаточные условия устойчивости. Поэтому А. М. Ляпунов дал особые критерии, которые позво- 1ЯЮТ установить достаточные условия для неустойчивости движения. Эти критерии формулируются в виде двух теорем, к доказательству которых мы сейчас перейдем. [c.465]

В гл. 4 мы показали, что критерий (8.1) является необходимым условием тепловой устойчивости, но не показали, что он является достаточным. Достаточным условием тепловой устойчивости будет удовлетворение всех необходимых критериев. Таким образом, если бы критерий (8.1) был единственным необходимым критерием тепловой устойчивости, то одновременно он был бы необходимым и достаточным. С другой стороны, если также должен удовлетворяться другой критерией, отличный от критерия (8.1), то последний будет необходимым, но недостаточным для обеспечения тепловой устойчивости. Так как в гл. 4 мы не исследовали нестационарных режимов установок, то мы должны предположить о сущестювании нестационарного критфия устойчивости, который возможно ограничивает область применения стационаршго критерия (8.1). Следовательно, мы вынуждены заключить, что критерий (8.1) является необходимым, но, весьма вероятно, недостаточным для обеспечения тепловой устойчивости. По этой причине знак неравенства в критерии (8.1) [c.182]

Соотношение (8.11) позволяет нам доказать, что удовлетворение критерия (8Л) является необходимым и достаточным условием тепловой устойчивости. (На фиг. 8.2 аккумулятор тепла расположен вне основной линии, поскольку это наиболее неблагоприятный случай для нестационарной тепловой устойчивости. Если аккумулятор тепла расположен на основной линии, то ( дадв )мгн = [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...