Инварианты Функция Эри

Это равенство устанавливает интегральный инвариант Пуанкаре—Картана для новой гамильтоновой системы, и в силу обратной теоремы теории интегральных инвариантов функция р, t) является гамильтонианом этой системы. Теорема доказана. [c.317]

Наконец, если положить в основу вместо группы всех аналитических преобразований некоторую подгруппу, то и группа соответствующих линейных преобразований величин и переходит в подгруппу проективной группы инварианты выражения / (dx) становятся опять инвариантами функций (8) по отношению к линейному преобразованию, но теперь уже по отношению к этой подгруппе. Так можно путем гомогенизации свести случай неоднородных функций / (dx) к аффинной группе полная система может быть здесь выведена из функций (8), образованных для большего на единицу числа переменных. [c.609]

Инварианты. Функции коэфициентов уравнения, не меняющие своих значений при переходе от одной системы координат к другой, называются инвариантами. [c.203]

В заключение отметим, что коэффициенты С ц в (154) и коэффициент Ср в (157) являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований [172], т. е. не зависят от способа нахождения нормальной формы. [c.226]

Равенство (6.7) определяет символ группы, которая имеет как абсолютный инвариант функцию Ь = Т— 7 при условии (3.5) или при условии, что 2(Л—В) =0 Х 1] = , Ясно, что равенство эквивалентно равенству [c.99]

Исследование этих полей приводит к своеобразной операции сворачивания инвариантов группы, порожденной отражениями. Паре инвариантов (функций на пространстве орбит) мы сопоставляем новый инвариант — скалярное произведение градиентов этих функций (поднятых с пространства орбит в исходное евклидово пространство). [c.455]

Инварианты. Функция. /(г) называется инвариантом группы С , если для любой подгруппы С (/) с С выполнено равенство = [c.321]

Общий случай интегрирования системы (3.114) приведен в [87]. Он основан на введении новой независимой переменной 1п (г/р) и исключении с помощью инвариантов функции у. Важным для анализа является значение параметра а — к/1К. Установлено, что если параметр а равен величине [c.147]

Автоморфизм Q выбран в этом следствии как самый простой. Таким образом, перестраивая траектории автоморфизма Q, можно получить, например, автоморфизм Бернулли в качестве 5 и т. п. Разумеется, функция т(х) будет в этом случае весьма сложной, а функция распределения ее будет убывать очень медленно. Открывается возможность изучать вместо автоморфизмов инварианты функции т(-), позволяющей получить данный автоморфизм из Q или другого базового эргодического автоморфизма заменой времени с функцией т -). [c.93]

Имеются две категории скалярных функций тензорного аргумента те, для которых указанное соотношение зависит от выбора некоторой другой величины, и те, для которых это соотношение определяется единственным образом. Последние называются инвариантами, или изотропными функциями. Например, соотношение, которое ставит в соответствие любому заданному тензору одну из его компонент, является скалярной функцией, которая зависит от выбора векторного базиса. Так, соотношение [c.27]

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Любая изотропная скалярная функция (т. е. инвариант) симметричного тензорного аргумента может быть представлена как функция трех главных инвариантов этого аргумента [c.29]

Поскольку инварианты — изотропные функции (см. разд. 1-5), имеем [c.94]

Уравнение (6-3.23) представляет собой наиболее общий вид интегрального уравнения состояния при условии, что перекрестные эффекты, обусловленные деформациями в разные моменты времени, не учитываются. Материал, подчиняющийся уравнению (6-3.23), полностью характеризуется материальными функциями и ф . Последние являются функциями s, а также первого и второго инвариантов С , которые в свою очередь представляют собой функции от S. (Заметим, что и фа — не функционалы, а лишь сложные функции.) [c.222]

Такие уравнения отличаются от рассмотренных ранее, поскольку в функциях, характеризующих память, вместо инвариантов тензора С фигурируют инварианты тензора С. Иными словами, предполагается, что механизм забывания (или релаксации) деформаций зависит не от величины деформации, а от ее скорости. Имеются разногласия относительно того, для какого момента следует вычислять эту скорость деформации. Одни авторы 117, 18] предпочитают вычислять скорость деформации в момент наблюдения, [c.227]

Рассмотрим, наконец, ряд уравнений состояния релаксационного типа, имеющих вид уравнения Максвелла или обобщенного уравнения Максвелла, т. е. уравнения, включающего систему времен релаксации, в котором константы (обычно X и ji) заменены функциями . В качестве аргумента этих функций выбирается какой-либо инвариант скорости деформации, обычно второй инвариант. Примеры уравнений этого типа можно найти в работах [33] и [34]. [c.246]

Повреждение, обусловленное интенсивным порообразованием по границам зерен в материале, может приводить к значительному его разрыхлению. В этом случае проведение независимого (несвязного) анализа НДС и развития повреждений в материале дает значительные погрешности. Например, отсутствие учета разрыхления в определенных случаях приводит к существенному занижению скорости деформации ползучести и к снижению скорости накопления собственно кавитационных повреждений. В настоящее время связный анализ НДС и повреждаемости базируется в основном на феноменологических подходах, когда в реологические уравнения среды вводится параметр D, а в качестве разрушения принимается условие D = 1 [47, 50, 95, 194, 258, 259]. Дать физическую интерпретацию параметру D достаточно трудно, так как его чувствительность к факторам, определяющим развитие межзеренного повреждения, априорно предопределена той или иной феноменологической схемой. Так, во многих моделях предполагается, что D зависит только от второго инварианта тензора напряжений и деформаций и тем самым исключаются ситуации, когда повреждаемость и, как следствие, кинетика деформаций (при наличии связного анализа НДС и повреждения) являются функциями жесткости напряженного состояния. [c.168]

Заметим, что эти равенства имеют место при любом выборе функции Н. Функции. 4 и В (а следовательно, и функции Y и R) в силу универсальности интегрального инварианта (90) не зависят от Н можно поэтому установить общие свойства функций Y и R, выбирая функцию Н каким-либо специальным образом. Воспользуемся этим обстоятельством и, задавая различные функции Н, выясним условия, которым удовлетворяют функции Y W R. [c.309]

Слово универсальный подчеркивает, что интеграл 1 будет инвариантом для любой системы уравнений Гамильтона, так как в подынтегральное выражение не входит функция Гамильтона Я. [c.660]

Пуанкаре-Картана служит интегральным инвариантом. Тогда между функцией Н и функциями X,, Yi имеют место зависимости [c.664]

Примечания. 1. Конечно, из векторов А и Mj можно образовать еще ряд инвариантов преобразования полюса. Например, таким инвариантом будет скалярное произведение А-Mq. Среди этих инвариантов независимых лишь два, так как они все являются функциями двух инвариантов А и Mi. [c.175]

Если функция Н Гамильтона не зависит явно от времени и существует интеграл энергии Н = к, то находим абсолютный интегральный инвариант [c.384]

Основой каждого интегрального инварианта является некоторая дифференциальная форма, т. е. однородная алгебраическая функция переменных 6x1, бл-2,. .., 8х,г (в случае полного интегрального инварианта и б1). [c.385]

Из определения интегральных инвариантов видно, что такими преобразованиями являются преобразования, переводящие некоторую траекторию изображающей точки в смежную траекторию. Этим преобразованиям соответствует изменение начальных условий для движения изображающей- точки. Заметив это, можно прийти к двум различным способам определения положения изображающих точек в их многообразии. Первый из них основывается на выборе начальных значений х координат в многообразии изображающих точек как независимых переменных. Величины x аналогичны известным из гидродинамики лагранжевым переменным. Можно также пользоваться функциями хц входящими в уравнения (11.379), как координатами изображающих точек. Величины Хц очевидно, аналогичны эйлеровым переменным М. [c.386]

Скалярная функция М зависит от времени и координат х,. Преобразуем переменные интегрирования. Перейдем к переменным х,о. Тогда интегральный инвариант /(п> приобретет вид [c.392]

При равностороннем растяжении или сжатии пластические деформации не возникают. Значит, условие пластичности может быть представлено в виде функции второго и третьего инвариантов девиатора напряжений (так как первый равен нулю) [c.101]

Для ведущего движения уравнения в вариациях Пуанкаре будут иметь коэффициенты зависящие от времени. Наименьшее из характеристичных чисел функций, составляющих некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре т] называется характеристичным числом этого решения. Пусть оно есть у. и пусть у/ есть характеристичное число другого решения Isi 11s 1 для которого инвариант отличен от нуля [c.242]

Образование тензоров посредством дифференцирования. Пусть ф — инвариантная функция тогда d p/ds также инвариантна d(p VL ds — инварианты. Из d p = следует, что = [c.352]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Очевидно, что для изотропного материала условие появления пластических деформаций не должно зависеть от выбора координатной системы. Тогда указанная функция должна быть функцией трех инвариантов тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения [c.293]

Принципиальные особенности движения газа со сверхзвуковыми скоростями — волновой его характер — были отмечены впервые в 1847 г. Допплером. Наличие волн было позже (1875—1897) экспериментально обнаружено и изучено австрийскими физиками Э. Махом и Л. Махом. Риман (1826—1866) в классическом мемуаре О распространении волн конечной амплитуды , относящемся к 1860 г., установил получившие в дальнейшем широкое применение инварианты — функции давления и скорости или скорости звука и скорости, сохраняющие свои значения вдоль характеристик уравнений динамики газа, и тем самым заложил теоретические основы исследования сверхзвуковых потоков. Теория Римаиа объяснила необходимость образования в сверхзвуковых потоках так называемых ударных волн или скачков уплотнения. [c.29]

Инвариантные решения. Предполагается, что базис инвариантов группы Я состоит из скалярных инвариантов двух видов. Первый составляют инварианты-функции только от независисмых переменных. Число к таких (функционально независимых) инвариантов может быть не более четырех пусть это будут [c.109]

Чтобы использовать уравнение (6-3.31), остается определить функцию и. В первом варианте рассматриваемой теории [8] было предложено использовать полиномиальное разложение U по инвариантам, проведенное до второго порядка. Позднее Запас tlO], опираясь на экспериментальные данные по эластомерпым материалам, предложил зависимость следующего вида [c.224]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Эти уравнения отличаются от уравнений Гамильтона в тех же отнсилениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре — Картана роль функции Н играет функция К, вместо t стоит <7, и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уиттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы. [c.328]

Следствие 9.5.4. Существование интегрального инварианта Пуанкаре-Картана есть необходимое и достаточное условие того, чтобы движение еистемы опиеывалось каноническими уравнениями с функцией Гамильтона, входящей в выражение инварианта. Инва-риантноеть интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики голономных еистем е потенциальными силами. [c.666]

Теорема 9.5.5. (Лиувйлль). Интеграл Л(<) от заданной функции F x,t) по произвольному объему D t) сохраняет свое значение при изменении t (служит интегральным инвариантом) тогда и только тогда, когда справедливо тождество [c.668]

X2,. ... бл . Уравнения (И.381Ь) позволяют определить бх,-, входящие в состав интегральных инвариантов, как функции времени. Заметим, что уравнения (П. 381Ь) составлены при частном предположении, что бi = О, т. е. при составлении этих уравнений рассматривались одновременные состояния системы при различных начальных условиях. Это соответствует подходу А. Пуанкаре к построению интегральных инвариантов. [c.382]

Пример 4.6. Возьмем в качестве 2 множество точек, показанных на рис. 4.7 ( 5, в, 07, йа —середины сторон, ад —центр тяжести), подобный выбор Miro-жества 2 обусловлен, как и ранее, тем, что середины сторон, так же как и центр тяжести, являются инвариантами аффинного преобразовании. Утверждается, что 2 является Q2 Pa3pemHMbiM, причем базисные функции даются формулами [c.168]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Предполагая, что гравитационная постоянная у — медленная функция времени, найтн адиабатические инварианты планеты, движущейся по эллиптической орбите вокруг звезды. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...