Тензор его составляющие

Строго говоря, следует различать тензор / и квадратную матрицу, образованную из его составляющих. Определяющим признаком тензора является выполнение определенных правил его преобразования при ортогональном преобразовании координат. С другой стороны, матрица никак не ограничивается видом [c.167]

Общая теория относительности весьма радикально преобразовала картину мира. Классический образ пустого и неизменного по своей метрике простран-392 ства и времени, в котором взаимодействуют движущиеся дискретные тела,- -этот исходный образ механики — сменился иным представлением. Мир оказался континуумом, в котором процессы (представимые в виде изменения метрических свойств) зависят от меняющихся от точки к точке и от мгновения к мгновению значений тензора энергии-импульса. Механический образ сменился полевым. Ноне в полной мере. Общая теория относительности имеет своим объектом гравитационное поле, но тензор энергии-импульса описывает и другие поля, и значения его составляющих зависят не только от распределения масс, но и от всех средоточий энергии. Само распределение масс, т. е. в последнем счете существование частиц материи, не вытекает из уравнений поля, и теория не может обойтись без дискретных частиц как первичной данности, не находящей полевого объяснения. [c.392]

Прямой пьезоэффект в кристалле описывался соотношением (3.92) для электрической индукции D в некотором заранее заданном направлении и механическим напряжением о также в некотором заданном направлении. Если же представить механические напряжения в общем виде как тензор с составляющими Огк, а электрическую индукцию как вектор, то тогда следует обобщить выражение (3.92), записав его так [c.91]

В состоянии покоя компоненты тензора являются составляющими горного давления. Если выбрана главная система координат тензора Г,. (в полого залегающих пластах ось z этой системы должна быть направлена по вертикали к пласту, а оси х, у расположены в плоскости пласта при сложных геологических условиях расположение главных осей далеко не так определенно), то его ненулевая диагональная компонента Г , отождествляется с вертикальным, а компоненты Гд = — с боковым горным давлением. [c.155]

Перемещение какой-либо частицы сплошной среды задается его составляющими и , Пу, и , а деформированное состояние — совокупностью величин, которые представляют собой симметричный тензор второго ранга — тензор деформации [c.11]

Формула (3.20) дает определение тензора инерции в точке О, не зависящее от выбора осей, имеющих начало в этой точке. Соотношение (1) связывает значения тензоров инерции в двух точках О и О. Предполагая, что координатные оси, имеющие начало в О и соответственно параллельны друг другу, найдем из (1) следующие формулы, определяющие составляющие тензора инерции в точке О (моменты инерции и центробежные моменты) через его составляющие в точке О [c.148]

Аналогично поступаем при задании тензора его ковариантными или смешанными составляющими. Приходим к формулам [c.788]

Подобно тому как сила (или любой иной вектор) может быть задана или ее величиной и направлением илн же ее тремя проекциями на оси, так и тензор напряжений (или любой другой симметричный тензор второго ранга) можно определить или (вне зависимости от какой бы то ни было координатной системы) его тремя главными направлениями и тремя главными напряжениями или его составляющими = и т. д. [c.14]

Вместо термина диада используют также название внешнее произведение векторов (в обозначениях Дирака ( 2.2) d = [с) <й[). Пусть с-с = 1, тогда тензор ес, действуя на любой вектор /, выделяет его составляющую [c.248]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Можно показать, что в средах, обладающих центром симметрии, величина у (ш) тождественно обращается в нуль. В таком случае пространственная дисперсия проявляется лишь благодаря тем членам в выражении (149.6) для (со, ft), которые квадратично зависят от составляющих волнового вектора ft. Эти слагаемые и обусловливают слабую анизотропию кубических кристаллов. Действительно, в кубических кристаллах, как уже говорилось ранее, тензор е/у (о)) сводится к скаляру, т. е. его главные значения одинаковы. Если же принять во внимание третью сумму в выражении (149.5), то главные значения полного тензора диэлектрической проницаемости Вгу (ев, ft) оказываются различными, и среду следует считать анизотропной. [c.524]

Выражения (2.113)—(2.114) были найдены в предположении, что Л , — скалярные величины. На самом деле, Л , Jf могут быть не только скалярными величинами, но и векторами и тензорами, т. е. в общем случае должны рассматриваться как тензорные величины разного ранга. Очевидно, что это обстоятельство не нарушает общности выражений (2.113) и (2.114), так как в том случае, когда Af и Jf — векторы, независимыми переменными является каждая из трех компонент этого вектора, а в случае, когда эти величины имеют тензорный характер, то независимыми переменными являются каждые из девяти составляющих его величин Afj. [c.165]

Итак, напряженное состояние в точке характеризуется тензором (6.8), определенным тремя его компонентами. С их помощью можно вычислить все составляющие вектора полного напряжения на любой элементарной площадке, положение которой задано направлением ее нормали п в системе координат х, у, г. При двухосном напряженном состоянии для этого служат формулы (6.2) и (6.3). Можно получить аналогичные выражения и для трехосного напряженного состояния, рассматривая равновесие пирамиды с ребрами dx, dy и dz (рис. 6.4). [c.150]

Будем предполагать, что механические свойства твердых тел носят изотропный характер, т. е. девиаторные составляющие тензоров напряжений и деформаций равны нулю, и фазовые превращения отсутствуют. Изменение плотности, следовательно, является результатом всестороннего сжатия вещества, и его упругие свойства характеризуются одной величиной — сжимаемостью. [c.108]

Моменты компонент тензора деформаций 8 и его первого инварианта 0 определяются через моменты составляющих век- [c.74]

Моменты контравариантных компонент тензора деформаций и его первого инварианта выражаются через моменты составляющих вектора перемещений следующим образом [c.95]

Задача об определении тензора инерции сводитц я к определению осевых и центробежных моментов инерции. Если нам известен тензор инерции для главных центральных осей инерции, то его составляющие для произвольных осей определяются формулами (12.27) и (12.29). Однако нередко направления главных центральных осей инерции нам не известны. В этих случаях приходится прибегать к основным формулам (12.3) и (12.8). [c.288]

Известно, что угол вида данного симметричного тензора определяет направление его составляющей в плоскости октаэдрической (равнона-клоненной к главным осям) площадки. С учетом этого нетрудно видеть, что в пределах каждой грани призмы Треска угол вида тензора deij сохраняет фиксированное значение, изменяющееся на /з я при переходе на соседнюю грань (рис. 1). При условии же Мизеса в состояниях с Ф О всегда а., = агге . Параметр Лоде однозначно определяется углом вида . [c.87]

Ту-(Ту—характеризует плотность потока импульса и представляет симметричный тензор второго ранга, определяемый в виде суммы рей-нольдсовых напряжений рм,и, и нормальных сил, действующих на выделенный единичный объем идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости внутри области V Ту характеризует плотность потока импульса, а его составляющие определяют силы, действующие в направлении I на единичную площадку, ориентированную так, что направление внешней нормали к этой площадке совпадает с направлением У а у-тензор вязких напряжений, характеризующий необратимую потерю импульса вследствие работы сил вязкости. [c.41]

Покажем, что квадратичная форма UijXiX) не изменится, если тензор (otj) заменить его симмегричной составляющей щц). В самом деле, имеем [c.396]

При отсутствии фазовых переходов (li = Ег = О) п поверхностного натяжения = О) и еслп при этом одна из фаз — жидкость или газ, то обычпо можно принять, что на межфазной новорхности Sia непрерывны не только нормальные, по и касательные составляющие скоростей фаз, что соответствует условию прилипания пли отсутствию проскальзывания. Тогда из (1.2.9а) следует, что на поверхности раздела фаз Sit непрерывны массовые скорости, нормальные составляющие тензора напряжений и ворстора потока тепла [c.45]

Соотношение (16.1.5) означает существование единой кривой То — "fo для всех видов напряженных и деформированных состояний, точнее для всех путей нагружения или деформирования. Таким образом, существование этой кривой должно быть принято за первичный опытный факт, выполнение или невыполнение его при эксперименте служит критерием правильности или не-нравильности теории в целом. Величина иластического моду 1я сдвига Gs, определенная как функция октаэдрического сдвига fo, может рассматриваться и как функция октаэдрического касате льного напряжения То. Заметим, что принятая гипотеза, выраженная уравнениями (16.1.4) и (16.1.5), не предполагает разделения деформации на упругую и пластическую. Действительно, закон Гука для девпаторных составляющих тензоров напряжений и деформаций записывается так [c.534]

Правая часть равенства (5.12) называется девятичленной формой диадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отноще-нии действия, производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор / можно записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную диаду 1 [c.169]

На основании общих физических представлений о поведении материала под нагрузкой его сопротивление деформированию определяется мгновенными условиями нагружения (температурой, скоростью деформации и другими ее производными в момент регистрации), а также структурой материала, сформированной в процессе предшествующего деформирования, который в п-мерном пространстве характеризуется траекторией точки, проекции радиуса-вектора которой — составляющие тензора напряжений (или деформаций) и время (начальная температура является параметром, характеризующим исходное состояние материала, и изменяется в соответствии с адиабатическим характером процесса деформирования). Специфической особенностью процессов импульсного нагружения является сложный характер нагружения (составляющие тензора напряжений меняются непропорционально единому параметру) и влияние времени. Невозможность экспериментального исследования материала при различных процессах нагружения (траекториях точки указанного выше л-мерного пространства) вынуждает исследователей использовать упрощенные модели механического поведения материала. Это обусловило развитие исследований по разработке теорий пластичности, учитывающих температурновременные эффекты [49, 213, 218] наряду с изучением физических процессов скоростной пластической деформации [5, 82, 175, 309]. Так, для первоначально изотропного материала исходя из гипотезы изотропного упрочнения связь тензоров напряжений и деформаций полностью определяется связью их инвариантов соответственно Ei, Ег, Ез и Ii, h, h- С учетом упругого характера связи средних напряжений и объемной деформации для металлических материалов (а следовательно, независимость от истории нагружения первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций Ei, А) процесс нагружения определяется связью четырех оставшихся инвариантов и величины среднего давления. В классической теории пластичности [c.11]

Уравнения (1.25) можно рассматривать как граничные условия для решения гидродинамической задачи о развитии по оси z течения, созданного завихрителем, если, конечно, постоянные j исг определяют именно то распределение локальных моментов количества движения г, которое задает завихритель. Если при зтом принимается во внимание прилипание жидкости к стенке, то должно учитываться развитие пограничного слоя у твердой границы. Его можно и не учитьтать. Но принимается во внимание нарастание пограничного слоя на стенке или нет, в обоих случаях необходимо учитывать развитие пограничного слоя на свободной внутренней границе. Неизбежность нарастания пограничного слоя на свободной границе вскрыта Дж. Бэтчелором [14, с. 454]. На свободной цилиндрической границе должен существовать разрыв непрерывности в значении составляющей тензора напряжений (1.23). А именно, с внутренней стороны этой границы (изнутри вращающегося слоя) О, а с внешней стороны этой границы = 0. Это приведет к резкому торможению прилегающего к границе тонкого слоя в направлении и приближению зависимости скорости от радиуса к прямой пропорциональности. [c.24]

На каждой координатной площадке три состав1Ляющих образуют вектор полного напряжения на плои1адке с нормалью. v — вектор Рх, на площадке с нормалью у Ри и на площадке с нормалью г — р,. Совокупность трех векторов Рх, Рь ч Рг- определяемых девятью со ставляющими, которые при перемене координатных осей преобразуются по формуле (1,4), называется аффинным ортогональным тензором второго ранга Тензором первого ранга является вектор В дальнейшем изложении сокращенно будем называть его просто тензором, а девять составляющих компонентами тензора. [c.21]

При постановке задач ОМД граничные, в том числе и кинематические граничные, условия назначаются на основе априорных или апостериорных представлений об изучаемом процессе. Наиболее часто кинематические граничные условия задаются в виде значений вектора скорости (вектора перемещения) или его отдельных компонент на границе области исследования. Очевидно это связано с ограниченностью нашего восприятия движения материальных объектов. Действительно, трудно, например, предположить значение какой-либо компоненты тензора скоросгей деформаций на контакте деформируемого металла с абсолютно жестким инструментом. И совершенно очевидно, что нормальная к поверхности такого инструмента составляющая вектора скорости металла в точке контакта его с инструментом должна бьпъ равна такой же составляющей вектора скорости инструмента в этой же точке. В дальнейшем (см. п. 1.5.3) мы будем различать несколько типов граничных условий. Здесь отметим, что с кинематическими параметрами связаны кинематические и смешанные граничные условия. [c.61]

Формула (III.40) представляет деформацию бесконечно малого элемента тела как суперпозицию (налон ение) двух деформаций первая из них описывается девиатором и характеризует искажение формы элемента без изменения его объема, тогда как вторая составляющая (шаровой тензор) характеризует равномерное всестороннее растяжение или сжатие этого элемента. [c.102]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Напряженное состояние в точке — физическое состояние, определяемое свойствами материала и внешними воздействиями. Между тем мы характеризовали его компонентами тензора напряжения в системе координат, совершенно случайно ориентировакгюй в пространстве. Естественно попытаться найти такую систему координат, которая связана с самим физическим состоянием и в которой напряженное состояние характеризуется более простым и физически естественным образом. Такие три оси, называемые главными осями напряженного состояния и аналогичные главным осям поверхности второго порядка или главным осям инерции, существуют в каждой точке тела. Чтобы определить направление этих осей, подсчитаем нормальную составляющую напряжения действующего на произвольную площадку с нормалью v [c.30]

Для составляющих тензора нелинейной восприимчивости л<ега-нитро-анилина выголняются соотношения (см. табл. 7) [c.167]

Эти уравнения описывают поведение гравитационного поля. Тензор Tjjiv — источник ноля. Эти уравнения Гильберт получил несколько ранее на основе теории Ми. В статье 1916 г. Эйнштейн подробно изложил ранее развитые им идеи М. Лауэ следующим образом характеризовал работы Эйнштейна 1915—1916 гг. Достигнутая после тяжелой борьбы конечная цель состояла в уравнениях поля тяготения Эйнштейна. Это — 10 дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для 10 составляющих тензора gm, связывающих их с 10 составляющими тензора энергии-им- 369 пульса вещества и в этом смысле аналогичных дифференциальному уравнению Пуассона для ньютонова потенциала, которое позволяет вывести его из масс. [c.369]

В задачу разработчиков пьезоматериалов для преобразователей обычно входит подробное исследование тензора с1гк и отыскание на основании общих правил трансформации координат, составляющих, удобных для практического использования. При этом приходится учитывать и свойства анизотропии диэлектрической проницаемости (тензора егк), поскольку чувствительность преобразователей-приемников зависит от константы Харкевича (g), являющейся частным от деления /е, а излучателей — от константы [) Мэсона, в которую входит и модуль упругости пьезокристалла. Наконец, кроме задачи изучения среза, дающего максимальную чувствительность, есть еще задача получения стабильных преобразователей, чувствительность которых возможно меньше зависит от температуры. Поэтому исследуют также зависимости и 8 от температуры и коэффициенты температурного расширения кристалла с целью отыскания таких срезов, при которых температурная зависимость чувствительности пьезоэлемента или его резонансной частоты была бы минимальной. [c.96]

Псевдотензор Леви — Чивита — псевдотензор третьего ранга О = = Ышт II. антисимметричный по всем парам индексов и удовлетворяющий условию 123 = 1 в какой-либо правой системе координат. Все его компоненты, имеющие два одинаковых индекса, равны нулю, и тензор имеет только щесть компонент, у которых все три индекса различны. Составляющие йцг1(1фкф1) принимают значение, равное единице, если г, к, I — четная перестановка тройки (I, 2, 3), и равное —1, если I, к, I — перестановка нечетная. Таким образом, [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...