Меры и тензоры деформации

Идеально-упругое тело. В гл. I и II в рассмотрение были введены две группы величин первая группа величин, определяющих тензор напряжений, служила для описания напряженного состояния, возникающего под действием внешних массовых и поверхностных сил, тогда как величины второй группы — меры и тензоры деформации — определяли изменения геометрических объектов (отрезок, площадка, объем) при деформировании среды. Никаких предположений о связи между величинами этих двух групп — о законах состояния среды — не было сделано. Поэтому сказанное в этих главах приложимо к средам любой природы но его недостаточно для суждения о поведении какой-либо реальной среды, для построения ее механики. [c.628]

При изложении основных определений механики сплошной среды (тензор напряжений, меры и тензоры деформации) использованы материалы следующих книг [c.910]

Эти формулы поясняют различие между введенными мерами деформации. Далее в записях компонент используются декартовы координаты поэтому в нарушение правил общей тензорной алгебры (Приложение IV) свободные индексы в левой и правой частях формулы занимают различные положения, а суммирование проводится по индексам, расположенным на одной высоте. Компоненты первой меры деформации и тензора деформации [c.90]

Решение строится обратным методом и состоит из нескольких этапов 1) задаемся формой осуществляемого преобразования V- в V-объем, 2) составляется выражение меры (или тензора) деформации, 3) записывается закон состояния, и осуществляется проверка, что определяемый им тензор напряжений удовлетворяет уравнениям статики в У-объеме, 4) определяются поверхностные силы, требующиеся для поддержания этого напряженного состояния. Получаемые при этом порядке построения решения содержательны, если распределение так найденных поверхностных сил (массовые считаются отсутствующими или наперед заданными) достаточно просто реализуемо, а также если постановка задачи допускает замену найденного распределения статически эквивалентной системой поверхностных сил. [c.686]

Под определяющими соотношениями понимают зависимость между напряжениями и деформациями в сплошной среде. Например, это может быть зависимость между каким-либо из тензоров напряжений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и тензором деформации или тензорной мерой деформации, которые соответствуют данному тензору напряжений [59, 105. Эта зависимость описывает механические свойства материала. Определяющие соотношения могут быть заданы либо в виде [c.15]

В 6 введены полярные разложения градиентов места, рассматриваются тензоры искажений (6.4) и ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию (6.5) —(6.7). Переход от мер к тензорам деформации осуществлен в 7. [c.496]

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую значимость деформации, происходящие непосредственно в момент наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчетную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией, принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равенстве других переменных текущие значения свободной энергии в этих двух случаях будут различными. [c.158]

Для различных сплошных сред зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций отличаются друг от друга. Для упругих сплошных сред тензор напряжений зависит от т е н з о р а деформаций. Зависимость между тензорами напряжений и скоростей деформаций часто называют реологическим, уравнением. Сформулируем реологическое уравнение в тензорной форме для сплошных сред, называемых жидкостями, для которых тензор напряжений не зависит от тензора деформаций. К жидкостям относятся обычные капельные жидкости, например вода и газы. При.мером газа является воздух при нормальных атмосферных условиях. [c.553]

Если в окрестности точки напряженного тела выделить элементарный параллелепипед и рассмотреть его деформированное состояние, то можно установить, что он испытывает линейные деформации, связанные с нормальными напряжениями о , о , а , и угловые деформации, связанные с касательными напряжениями т . , Мерой этих деформаций являются относительные удлинения е , е , и углы сдвига у у, Уу . Все указанные деформации образуют тензор деформаций [c.8]

Градиент деформации F полностью описывает преобразование бесконечно малого элемента при деформации в частности, он содержит в себе информацию о вращении этого элемента как абсолютно жесткого и об искажении его формы. В качестве меры искажения формы можно использовать тензор деформаций g, определяемый равенством [c.346]

Функция нагружения представляет собой скалярную меру тензоров напряжений и пластических деформаций, причем интерпретировать ее можно по-разному. Если, например, записать [c.327]

Первая мера и первый тензор конечной деформации ) [c.68]

ПЕРВАЯ МЕРА И первый ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 69 [c.69]

ПЕРВАЯ МЕРА И ПЕРВЫЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ [c.71]

ВТОРАЯ МЕРА И ВТОРОЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 79 [c.79]

Вторая мера и второй тензор конечной деформации [c.79]

В 3 и 4 этой главы были введены четыре меры деформации мера Коши и тензор М =, обратный мере [c.82]

Тензоры деформаций Е ) и являются мерами растяжений элементарных отрезков, а тензоры Е( и — элементарных площадок, что следует из равенств [c.38]

Для MNO-формулировки в качестве мер деформаций и напряжений используются тензоры деформаций и напряжений Коши. Приращения компонент этих тензоров определяются следующим образом [c.193]

Если установлено, что материал можно считать упругим, то определяются модули или податливости. Например, для определения девяти постоянных ортотропного материала из статических экспериментов необходимо по крайней мере три образца, которые вырезаются в трех взаимно перпендикулярных направлениях, причем так, чтобы направление растяжения составляло 90 с одной из главных осей ортотропии и 45° с двумя другими. На рис. 7 показан вид сверху такого образца, причем главная ось анизотропии г—Хг направлена перпендикулярно плоскости чертежа к наблюдателю. При растяжении образца, показанного на рис. 7, замеряются деформации езз в направлении оси Хз, — в направлении силы Р и 8л- — в направлении, ортогональном действию силы Р. Тогда в главных осях ортотропии компоненты тензора деформации [c.40]

Из полученных выражений, a также из (2.45) усматривается, что для энергетических пар упругие законы линейны относительно компонент тензора деформации. К сожалению, выявленные пары (3.45) не содержат входящие в уравнения движения тензоры S и F ./S). Это в значительной мере обесценивает стандартные материалы. [c.45]

Преобразуем теперь выражения для тензора деформаций Ео,п и тензорной меры деформаций Fo,n Для первого приближения с учетом соотношений (3.1.64) или (3.1.70). Формула (3.1.29) для [c.58]

Для решения задачи механики деформируемого тела используются цилиндрические лагранжевы координаты. Интегрирование по области при вычислении энергии деформирования тела осуществляется по исходной геометрии, постоянной для каждого шага [120, 121, 148]. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций Лагранжа, который вводится с помощью меры деформаций Коши — Грина. Для характеристики напряженного состояния используется тензор напряжений Пиола. Возможны и другие подходы решения физически и геометрически нелинейных задач [164]. [c.93]

Вторая форма записи часто предпочтительнее первой, поскольку введение мер деформации упрощает запись формул. Переход к тензору деформации, конечно, не составит труда. Наличие формул (5.2.3) — (5.2.5) гл. II, связываюпдих инварианты мер деформации Коши и Альманзи, а также обратных им тензоров позволяет рассматривать А и как функцию инвариантов меры или тензора деформации Альманзи [c.632]

Как указывалось в п. I. 12, возможность установления квадратичной зависимости между соосными тензорами является следствием теоремы Кейли — Гамильтона (I. 10.11), позволяющей заменить степени тензора выше второй его нулевой, первой и второй степенями. Этим указывается другой способ вывода закона состояния. Форма связи рассматриваемого тензора напряжения с соответствующей мерой (или тензором) деформации задается квадратным трехчленом, коэффициенты которого далее определяются по условию интегрируемости вариации удельной потенциальной энергии деформации. Легче всего это проследить на примере энергетического тензора напряжений Q, через который эта вариация непосредственно определяется по формуле (2.1.1) [c.648]

После перехода от меры к тензору деформации Альмаь зи А и его инвариантам, обозначаемым и введения с целью [c.152]

Здесь ец и — компоненты тензоров деформаций и напряжений, (О t, х) и С (1, т) — соответственно меры ползучести при чистом сдвиге и всестороннем сжатии, определяемые из опытоБ на простую ползучесть. Разрешая уравнения (1.6), получаем [c.16]

ДИСТОРСИЯ м е X а и и ч е с к а я—изменевне взан.ч-ного расположения материал 1.ных точек среды (тела), вызванное внеш. воздействием или внутр. силами и включающее деформацию. Если и,-Х2, — координаты вектора перемещения нок-рой точки М(-г ,, гз) в прямоугольной нрямолипей[1011 системе координат Oxix- хз, то количественной мерой Д. являе-1ся тензор Д. d,y =- dui/ dxj. При djj < 1 Д. наз. малой. Симметричная часть тензора малой Д. dy,-)/2 = е/у [c.656]

Основные понятия и методы механики. Осн. кинема-тич, мерами движевия в М. являются для точки — её скорость и ускорение, для твёрдого тела — скорость Я ускорение поступит, движения и угл. скорость и угл. ускорение вращат. движения. Кинематич. состояние деформируемого твёрдого тела характеризуется относят. удлинениями и сдвигами его частиц совокупность МЕХ величин определяет т. н. тензор деформаций. Для Яндкостей и газов кинематич. состояние характеризуется тензором скоростей деформаций при изучении воля скоростей движущейся жидкости пользуются также понятием вихря, характеризующего вращение адстицы. [c.127]

В теории конечных деформаций следует предпочесть применение мер, а не тензоров деформации. Вводя перемещения вместо координат, ничего не выигрывают, а, наоборот, теряют в смысле краткости и обозримости формул (Кирхгофф). [c.87]

Изотропными упругими средами будем называть среды, в которых тензоры деформации и напряжений соосны (п. 1.12). Кубик, выделенный из такой среды, одинаково деформируется под действием приложенных сил при любой ориентации ребер. Из теоремы Кейли — Гамильтона следует, что два соосных тензора связываются Друг с другом квадратичной зависимостью вида (I. 12.4). Одним из затруднений нелинейной теории упругости является указание той из мер деформации, которой должен быть сопоставлен тензор напряжения. В линейной постановке задачи оно отпадает, а квадратичная зависимость заменяется линейной вида [c.103]

Уравнения равновесия полулинейного материала. Удельная потенциальная энергия деформации полулинейного , или гармонического , материала, введенного в рассмотрение в п. 2.8 гл. VIII, представляется выражением (2.8.7) гл. VIII. Закон состояния его (2.8.8) гл. VIII определяет связь тензора напряжения Пиола —- Кирхгоффа D с величинами, характеризующими деформацию, — тензором поворота А главных осей меры деформации и тензором-градиентом V/ [c.771]

Тензорно-линейные определяющие уравнения содержат тензор по врежденности четвертого ранга, зависящий для склерономных сред от линейных и квадратичных инвариантов тензора деформаций, а критерии разрушения представляют собой условия достижения мерами тензора поврежденности своих предельных значений. Построенные определяющие соотношения и модели разрушения по совокупности критериев позволяют ставить и решать краевые задачи для многостадийных и многоуровневых процессов накопления повреждений с учетом перераспределения напряжений. [c.11]

Более сложным является выбор меры приращений деформаций и напряжений. Дело в том, что когда рассматриваются приращения компонент тензоров, они, как в момент времени t, так и в момент времени t + At, должны относиться к одной и той же конфигурации [88]. Поэтому корректная UL-формулировка уравнений заключается в использовании приращений компонент тензоров tSij и tEij. Нельзя применять в качестве приращений компонент тензора деформаций величины , так как они относятся к различным конфигурациям. То же самое касается приращений компонент тензора напряжений Коши - Sij. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...