Уравнения нелинейного упругого тела

Ниже будет показано, что рассматриваемые уравнения являются уравнениями нелинейно-упругого тела. Естественно, что использо- [c.46]

Перейдем теперь к доказательству того, что уравнения теории упругопластических деформаций суть уравнения нелинейно-упругого тела. [c.47]

Эти состояния совпадают соответственно с состоянием линейной упругости (закон Гука), состоянием текучести и состоянием упрочнения, рассмотренными выше на основе экспериментальных данных. Термодинамический анализ не только избавляет от этих дополнительных предположений и приводит к условиям текучести и упрочнения, но, что важнее, выясняет природу уравнений теории упруго-пластических деформаций и возможности использования в теории пластичности уравнений нелинейно-упругого тела ). Наконец, развиваемая концепция делает понятным существование потенциала работы деформации. [c.48]

Уравнения теории упруго-пластических деформаций являются уравнениями нелинейно упругого тела. [c.65]

Упругая аналогия. Сопоставление полученных уравнений с соответствующими уравнениями нелинейно упругого тела показывает, что распределения напряжений, скоростей деформации и скоростей [c.101]

Ниже будет показано, что рассматриваемые уравнения являются уравнениями нелинейно-упругого тела. Естественно, что использование этих уравнений для описания пластических деформаций при сложных зигзагообразных путях нагружения может привести к неудовлетворительным результатам. [c.59]

Задача определения напряженно-деформированного состояния твердого тела в общем случае внутренне статически неопределима, и для ее решения необходимо дополнить уравнения равновесия конкретными зависимостями между напряжениями и деформациями. Рассмотрим нелинейно упругое тело, у которого напряжения являются однозначными функциями деформаций, не зависящими от истории деформирования. Частный случай такого тела (линейно упругого) был подробно описан в гл. 1. [c.75]

Как описано в разделе 4.1.4, результаты испытаний на ползучесть рассматривают по аналогии с нелинейно упругим телом. Например, если в качестве обобщенного уравнения ползучести принять уравнение Нортона, получающееся из уравнения (5.38), [c.190]

Коэффициент интенсивности напряжений К определяется в зависимости от схемы нагружения и геометрической формы трещины. При определении У-интеграла помимо того необходимо знать соотношение напряжение — деформация (обобщенное уравнение ползучести). Это обстоятельство является характерной особенностью, вытекающей из применения У-интеграла для нелинейно упругого тела или упруго-пластичного тела. Одновременно указанное обстоятельство вызывает трудности при определении величины К- [c.191]

Термодинамические соображения, которые были развиты выше, относятся и к деформации тела при сложном напряженном состоянии здесь также можно поставить вопрос о представлении равновесной пластической деформации уравнениями состояния нелинейно-упругого тела. В связи с этим необходимо выяснить, каковы возможные формы уравнений состояния нелинейно-упругого тела. Для проведения соответствующего термодинамического анализа нужно охарактеризовать свойства рассматриваемой среды. [c.47]

Другой метод измерения вязкости тела, содержащего трещину, вне линейно-упругой области основан на определении энергетического параметра, выражающего изменение потенциальной энергии при росте трещины на величину da, по аналогии с величиной высвобождающейся энергии деформации G в условиях линейной упругости. В работе [171 развита теория нелинейно-упругого тела, для которого однозначную функцию плотности энергии деформации [как в уравнении (18)] можно выразить как [c.154]

В предыдущей главе рассматривались стержни, материал которых подчинялся линейному закону упругости. Отметим, что за исключением реактивно нагруженного стержня получаемые в этих условиях результаты достаточно хорошо согласуются с данными большого числа и давно ведущихся экспериментов. Для нелинейно-упругого тела все уравнения, полученные во второй главе, остаются справедливыми, если модуль Е в них заменить на модуль Е и учесть, что при неоднородном докритическом состоянии этот модуль становится вдоль стержня переменным. Это усложняет задачу получения точного решения, в то время как трудности при использовании приближенных методов увеличиваются ненамного. [c.71]

Пусть материал сверхтонкой структуры несжимаем и обладает упрочнением, которое характеризуется в среднем касательным модулем Цоо (см. формулу (5.106) и рис. 91). Для простоты будем считать, что величины Оу и dv/dl в сверхтонкой структуре в начале дви> ения трещины такие же, как в соответствующем нелинейно-упругом теле. Правая часть в уравнении (5.163) зависит только от коэффициента интенсивности напряжений сверхтонкой структуры ki и модуля ц .. Поэтому, исходя из соображений анализа размерностей, получаем зависимость [c.279]

Замкнутые решения для нелинейных упругих тел можно найти, если известно решение для конечной деформации. Поскольку соответствующие краевые задачи нелинейны, то решения можно получить почти исключительно с помощью обратных методов, т. е. при помощи угадывания поля перемещений и такого подбора определен ных функций, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия В связи с этим для произвольного упругого тела известны только решения с высокой степенью симметрии. Для произвольного сжимаемого материала единственной известной деформацией является [c.109]

Известно, что соотношения законов деформационных теорий изотропного упрочнения приводят к уравнениям эллиптического типа, сложным с точки зрения практического применения причем по характеру своих предположений теории изотропного упрочнения мало пригодны для описания действительного поведения пластических тел, сопровождаемого непременно анизотропным характером упрочнения. Законы деформационных теорий изотропного упрочнения по существу соответствуют природе изотропных нелинейно-упругих тел. [c.257]

Формулировка вариационного принципа стационарности действия для нелинейно упругого тела в переменных Эйлера и вывод уравнения баланса импульса из него на основе канонического определения тензора напряжений Коши приводятся в [11, с. 190-195]. [c.679]

В неупругих телах в общем случае связь между напряжениями II деформациями может быть установлена лишь в дифференциальной форме в виде неинтегрируемых уравнений. Только в случае простого нагружения, когда все усилия, действующие на тело, возрастают пропорционально одному параметру 1167], уравнения вида (11.20) можно распространить также на неупругие тела. Кроме того, соотношения для нелинейно-упругого тела действительны как при нагружении, так и при разгрузке, в то время как для упруго-пластических тел при нагружении и разгрузке соотношения между напряжениями и деформациями носят принципиально иной характер. Если явлениями релаксации и последействия пренебречь, то процесс разгрузки и повторного нагружения до уровня напряжений, с которого началась разгрузка, можно считать линейно-упругим. На этом участке связь между напряжениями и деформациями определяется законом Гука. Для простого растяжения, например, закон Гука запишется в виде о = Е(е ер)у где 8р — остаточная пластическая деформация. [c.45]

Нелинейно упругое тело. При одноосном растяжении уравнение деформирования нелинейно упругой среды имеет вид [c.133]

До сих пор при рассмотрении упругого тела, присутствовали две конфигурации отсчетная с радиус-векторами г и актуальная с R, Теперь представим себе малое изменение актуальной конфигурации с бесконечно малыми приращениями радиус-вектора Л, массовых сил /, тензора Пиола 8 и тензора деформации С. Варьируя установленные выше уравнения нелинейной упругости, получим [c.62]

Рассмотрены законы состояния сжимаемого и несжимаемого нелинейно упругого тела, постановки и методы решения задач о его равновесии и устойчивости равновесия, уделено место уравнениям термо-упругости. [c.2]

Если функция и(оц) известна из опыта или задается заранее, из физических соображений, то уравнения- (1.2.4), (1.2.5) и (1.2.9) образуют замкнутую систему уравнений для нелинейно-упругого тела, В данном случае коэффициенты- 4 тп в общих уравнениях (1,1.1) представляют собой однозначные функций напряжений. Если функция и оц) образует квадратичную форму, то тело будет линейно-упругим, и наоборот. Справедливости ради следует отметить, что в остальных случаях только из опыта функцию шести переменных определить практически невозможно, поэтому всегда приходится прибе- гать К некоторым допуш,ениям, оправдываемым апостериори. [c.10]

Анализ конкретных задач о трещинах в реальном нелинейно-упругом теле, напряженное состояние которого зависит лишь от его деформации (не зависит от поворотов), провести аналитическими средствами довольно трудно. (Решена плоская задача при условии сильного начального растяжения тела [119].) Однако выводы о концентрации деформаций (см. 3.3), о связи между раскрытием трещины и напряжениями на ее продолжении, а также о потоке энергии (см. 3.4) можно сделать, основываясь на геометрически точных соотношениях и не привлекая конкретных уравнений состояния. Достаточным является введение довольно естественных предположений общего характера, например об устойчивости материала. Оказывается, что неограниченность деформаций у края трещины не является следствием линеаризации. Она сохраняется и при точной постановке задачи. Характер особенности может измениться, но поток энергии сохраняется - линейная теория определяет его правильно. [c.69]

Это уравнение выражает также глобальный баланс имнульса для нелинейно упругого тела с трегциной. [c.111]

Итак, равновесный необратимый процесс растяжения стержня можно представить на каждом участке нагружения и разгрузки уравнением состояния некоторого идеального нелинейно-упругого тела. [c.60]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Уравнения состояния (2.9) для упругого тела представляют собой соотношения, обобщающие закон Гука на случай учета нелинейных эффектов, влияния температуры и возможного присутствия переменных физических параметров Хк (фазовых плотностей и т. п.). [c.315]

Нелинейная зависимость между X и U может быть проиллюстрирована на примере возникновения динамических нагрузок Рд при наличии зазоров в сопряжении в результате его износа (рис. 32, б). Сила соударения двух упругих тел нелинейно зависит от величины зазора и может быть получена из решения соответствующих дифференциальных уравнений динамики. [c.119]

Пусть (г), 81 (г), г4 (г) — решение граничной задачи для упругого тела, деформации которого сопровождаются большими углами поворота при малых удлинениях и сдвигах, не превосходящих предела пропорциональности. Тогда компоненты тензора деформации e j (г) и напряжений о (г), а также вектора перемещений И (г) будут удовлетворять закону упругости (5.1), нелинейные уравнениям равновесия (5.4), соотношениям (5.5) и граничным условиям (5.6). Прямой подстановкой можно показать, что решение 8 ( , г), t, г), t,r) граничной задачи для такого [c.297]

Если в уравнении состояния (5.9) положить Ь — То, то получим соответствующую краевую задачу для физически-нелинейно-го упругого тела. Ее решение, как и прежнее, будем обозначать через г4(г), e j(r) и (г). [c.299]

Если упругопластическое тело при его нагружении переходит последовательно состояния, соответствующие процессу активного нагружения, то это тело всегда может быть отождествлено с нелинейно-упругим телом и для него верно введение условной потенциальной энергии и справедлива (только для активного процесса) форма уравнения (9.21) принципа возможных перемещений. Так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной (добавляемой прямым суммированием) постоянной С, то эту постоянную всегда можно выбрать так, чтобы в некотором заданном наперед состоянии потенциальная энергия была равна нулю. ТакЬе состояние назовем нуяевьш или с(х)тветствующим нулевому уровню потенциальной энергии. [c.196]

Приведенные выше уравнения (5.40), (5.43), (5.53)р и (5.55), определяющие /-интеграл, справедливы как для нелинейно упругого тела, так и для пластичного тела в теории полной деформации. Для пластичного тела в теории приращений условие независимости пути интегрирования не выполняется, исключая случай пропорционального нагружения. Кроме того, при распространении трещины происходит разгрузка позади вершины трещины, часть потенциальной энергии при этом рассеивается. Однако, если процесс разгрузки не является доминирующим при постепенном увеличении нагрузки, то можно игнорировать различия между полной деформацией и приращением деформации, /-интеграл часто называют параметром упруго-пластичкой механики разрушения следует учитывать соответствующие ограничения. [c.190]

Соотношение (5.3.4) является уравнением состояния нелинейно-упругого тела, выражающим тензор D через V/ . Из этой, в общем случае, системы девяти уравнений требуется определить тензор V/f. Ее разрешимость требует необращения в нуль гессиана [c.680]

Следует иметь в виду, что полное соответствие модели, описываемой уравнениями (3.132), некоторому геометрически нелинейному упругому телу имеет место в случае только одного параметра нагружения. При наличии нескольких параметров нагружения конечные деформации этой модели, вообще говоря, будут зависеть от пути нагружения (гипоупругое тело). [c.105]

В работе Ю. А. Амензаде и М. А. Бабаева [15] изучается равновесие кусочно-однородных физически-нелинейных упругих тел, составленных при помощи посадки. Задача сведена к решению уравнения Фредгольма. Получено условие существования ее решения. Рассмотрен числовой пример, когда пластинка изготовлена из чистой меди, а диск—из мартеновской стали, прн этом л/ = 3/4. [c.432]

Как показывают опыты, уравнения (1.2.11) удовлетворительно описывают пластические деформации многих металлов, если внешние нагрузки изменяются пропорционально одному и тому же параметру. В опыте с пропорциональным нагружением поведение упрзпго-пластического тела с точки, зрения наблюдателя, фиксирующего лишь напряжения и деформации, всегда совпадает с поведением некоторого воображаемого нелинейно-упругого тела. Различие можно заметить, лишь проводя дополнительные наблюдения (измерение вьщеляемога при деформации тепла, рентгеноструктурный анализ, анализ шлифов и т. п.). Это эамечание справедливо также для любого, фиксированного пути нагружения (а не только пропорционального). [c.11]

Способ 1. Он основан на использовании нелинейной упругости с характеристиЕ ой, представленной на рис. 2.24, а. Здесь х — перемещение двух тел друг относительно друга, С — коэффициент жесткости взаимосвязи между ними. Параметрами такой модели будут l — коэффициент жесткости взаимосвязи до достижения ограничения Х[ — перемещение, при котором наступает контакт в упоре Сг — коэффициент жесткости при полном контакте, который наступает при перемещении Xi. Допустимо х —х% но это условие может привести к плохой сходимости решения системы нелинейных уравнений при применении неявных методов интегрирования (см. книгу 5). [c.103]

Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями Z = h и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси z. В плоскости z = О, называемой срединной плоскостью, выбираются произвольным образом координаты Ха (а = 1,2). Предполагается, что размеры пластины в плане значительно больше, чем толщина 2h (рис. 12.4.1). Так же, как в 2.1, где речь шла о стержнях, будем принимать за 1[аимень-ший поперечный размер наименьшее расстояние между касательными к контуру пластины. Под контуром пластины понимается контур сечения цилиндрической поверхностью плоскости Z = 0. Так же, как теория изгиба балок, теория пластин может быть построена при помощи любого из вариационных принципов. Если при выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариационного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу вариационный принцип Рейснера (не в силу каких-то его преимуществ, а для иллюстрации метода). Дело в том, что в физически нелинейной теории пластин, изготов- Рис. 12.4.1 ленных из нелинейно-упругого или пластического материала, реализация вычислений на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим трудностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить приближенное решение задачи относительно просто. [c.395]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...