Линейная связь между тензорами

Третий член правой части уравнения (295) представляет собой воздействие на частицы потока сил трения, вызываемых вязкостью. В дальнейшем, в процессе интегрирования уравнений (294)—(298), придется найти связь напряжений трения т,-/ с полем скоростей потока. Возвращаясь к формуле (286), можно ее трактовать как закон пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения компоненте тензора скоростей деформаций. Обобщая закон Ньютона на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде есть линейная функция тензора скоростей деформаций. Для большинства рабочих агентов энергетических машин эта гипотеза хорошо оправдывается на опыте и ее можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно считать движущуюся среду изотропной, т. е. такой, у которой физические свойства не зависят от особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций S должны быть скалярами и искомая связь будет иметь вид [c.167]

Линейная связь между тензорами. Соотношения становятся весьма простыми. Имеем [c.838]

Реологическое уравнение (2) представляет частный случай более общего, соответствующего любому пространственному движению вязкой жидкости, закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Этот закон носит наименование обобщенного закона Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называют ньютоновскими. [c.354]

Для того чтобы уравнение (6) представляло линейную связь между тензорами, скаляр о не должен зависеть от компонент тензоров Р или S этот скаляр представляет физическую константу, которая из условия совпадения (6) со своим частным случаем (2) должна быть положена равной 2р,, [c.354]

Уравнения (А.4) и (А.5), важны и тем, что они показывают, в каком соответствии должны находиться свободные индексы в каждой части выписанных выше соотношений. Более сложные выражения подчиняются тем же законам. Так, например, линейная связь между тензорами напряжений и деформаций принимает вид [c.462]

Соотношения линейной теории упругости. Будем рассматривать упругие тела однородные и изотропные. Для получения замкнутой системы уравнений необходимо записать уравнения состояния, т.е. установить связь между тензорами напряжений и деформаций. Будем рассматривать тела, для которых имеет место линейная связь между тензорами напряжений и деформаций, т.е. обобщённый закон Гука (3.24) [c.238]

В случае изотропной ньютоновской вязкой среды (жидкости или газа), т. е. такой, что ее физические свойства одинаковы во всех направлениях в пространстве, а выражающие эти свойства физические константы представляют инвариантные скаляры, наиболее общим видом линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций S будет [c.446]

Используя линейную связь между тензором деформаций и тензором напряжений (закон Гука) в упругой среде [2] и соотношения (1.8), можно представить через ф и г 1 и компоненты ТТ г, Тхг тензора напряжений [c.8]

Этот вид р, следует из предположений об изотропности и однородности газа или жидкости, если допускать линейную связь между тензором напряжений и деформациями [c.11]

В [1] в качестве математической модели применялись уравнения Навье - Стокса. В них, как известно, используется линейная связь между тензором напряжений и вектором потока тепла с одной стороны и тензором скоростей деформаций и градиентом температуры с другой (определяющие соотношения). В [1] показано, что уравнения Навье - Стокса также не дают корректного описания течения газа вдали от источника. Адекватным рассматриваемому течению является кинетическое уравнение Больцмана, которое дает замкнутое описание течения газа, но уже не в трехмерном физическом, а в шестимерном фазовом пространстве. Это уравнение и его модели [c.123]

Однако следует представлять себе, что при рассмотрений деформаций произвольной величины концепция линейной связи между напряжениями и деформациями уже не может однозначно определяться из физических соображений. Это происходит потому, что деформации можно измерить бесконечным числом способов, которые являются равно обоснованными и среди которых не существует средств априорного выбора на основе соображений механики сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С или либо ввести другие меры деформации. При этом линейная связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной связи между напряжением и, скажем, С" . Таким образом, линейное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем результаты измерения деформаций, для которых устанавливается это соотношение. Однозначная концепция линейности существует только в предельном случае бесконечно малых деформаций, поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной из величин, определяющих деформацию, означает также линейность связи между т и любой из них ). [c.216]

Поляризация диэлектриков в отсутствие внешнего электрического поля наблюдается у ряда твёрдых Д. и объясняется особенностями их структуры. В пьезоэлектриках поляризация возникает при определ. деформации кристалла, причём имеет место линейная связь между 3 и соответств. компонентами тензора напряжении (или деформаций) кристалла в соответствующих направлениях. Пьезоэлектрич. эффект обратим — при наложении электрич. поля Е в пьезо-электриках возникают деформации, пропорциональные Е. [c.697]

В основе М. лежат три закона Ньютона. Первые два справедливы по отношению к т, н. инерциальной системе отсчёта. Второй закон даёт осн. ур-ния для решения задач динамики точки, а вместе с третьим — для решения задач динамики системы материальных точек. В М. сплошной среды, кроме законов Ньютона, используются закона, отражающие свойства данной среды и устанавливающие для неё связь между тензором напряжений и тензорами деформаций или скоростей деформаций. Таковы Дука закон для линейно-упругого тела и закон Ньютона для вязкой жидкости (см. Вязкость). О законах, к-рым подчиняются др. среды, см. в ст. Пластичности теория. Реология. [c.127]

Оставшийся член в уравнении (2.1.8) получается из-за линейной связи между вязкой частью тензора давлений и тензором деформаций (тензором скоростей сдвига). Эта связь записывается следующим образом [c.41]

Рассмотрим линейное неоднородное упругое тело (композит), для которого связь между тензорами деформаций е и напряжений сг имеет вид (1.3.2) [c.108]

Соотношения (1.14) можно обобщить для случая произвольного анизотропного материала, предполагая линейную связь между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в виде [c.32]

Выражения (22—24) характеризуют взаимосвязь между напряжениями и деформациями в одном и том же направлении. Однако при сложных схемах напряженного состояния деформация может не совпадать по направлению с напряжением. Тогда описанный элементарный закон Гука должен быть заменен обобщенным, который устанавливает линейную связь между напряжениями и дефо(рмациями в любых направлениях, т. е. между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. [c.28]

Вопросу о выборе оптимальной системы инвариантов, вычислению механического смысла инвариантов и связи между ними уделялось большое внимание (К. 3. Галимов, 1946—1955 И. И. Гольденблат, 1950, 1955 В. В. Новожилов, 1948, 1958). Так, было отмечено (В. В. Новожилов, 1952), что с точностью до постоянного множителя интенсивность касательных напряжений совпадает со средним значением касательного напряжения в рассматриваемой точке тела. Далее, было использовано тригонометрическое представление главных значений тензоров деформации и напряжений (В. В. Новожилов, 1951). Основными инвариантами при этом являются линейный инвариант, интенсивность девиатора и угол вида тензора (девиатора). Связь между тензорами деформации и напряжения характеризуют обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный модуль сдвига и фаза подобия девиаторов (равная разности углов вида рассматриваемых тензоров). Из требования существования потенциалов напряжений и деформаций устанавливаются дифференциальные связи между введенными обобщенными модулями. [c.73]

Следуя Коши, можно обобщить выражение (2.6), предполагая линейную связь между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в виде [c.55]

Согласно определению, принятому в гидродинамике, вязкая жидкость — это сплошная среда, удовлетворяющая гипотезам линейности, однородности и изотропности, на основании которых устанавливается линейная связь между компонентами тензоров [c.11]

Для того чтобы уравнение (6) представляло линейную связь между компонентами, скаляр а не должен зависеть от компонент тензоров Р [c.446]

Общее число компонент тензора Г,., который симметричен по паре индексов, = п (тг+1)/2. Таково общее число коэффициентов в любой квадратично-нелинейной системе с п степенями свободы. Закон сохранения энергии эквивалентен тождественному обращению в нуль некоторой кубической формы и дает п (п + 1) (п + 2уЗ линейных связей между коэффициентами Г,-,у . Условие регулярности дает дополнительно п связей. Считая упомянутые условия независимыми (это обстоятельство можно проверить), получим следующее число независимых компонент динамического тензора [c.46]

До сих пор мы ограничивались рассмотрением линейной связи между компонентами 0 и гл, учитывая только члены не выше второй степени в разложении внутренней энергии по компонентам тензора деформации г. По этой причине упругие модули X и р, а также К, Е, а называют линейными модулями или модулями упругости второго порядка. Если в разложении по степеням оставить еще и кубичные члены, то для изотропного твердого тела можно получить [1, 2] [c.192]

Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в качестве компонентов напряжений включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. 3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произвольных значениях компонент градиента перемещений формулой (1.12). [c.79]

Как будет показано ниже, для математической постановки задач механики необходимо установить связь между такими параметрами, как тензор деформаций, тензор напряжений, температура, плотность и т. д. эти зависимости называются определяющими уравнениями и в линейной теории они линейны [c.20]

Равенства Коши (12) гл. VII можно рассматривать как линейную векторную связь между физическими векторами и п, а коэффициенты рп, р2 и т. д.— как компоненты физического тензора, который, как уже упоминалось в 30, называется тензором напряжений и будет обозначаться заглавной буквой Р. Название это объясняется тем, что компонентами тензора Р являются касательные и нормальные напряжения в данной точке среды. [c.129]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (14.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярными (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи— тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (14.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (14.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная связь между потоком и силой не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (14.1) каждая декартова компонента потока может зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты. Например, в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.265]

Связи между напряжениями и деформациями для различных пропорциональных путей нагружения вообще различны и зависят от параметрического тензора р . При геометрически малых деформациях в линейно-упругом по Гуку конечном фиксированном теле пропорциональное изменение внешних нагрузок ведет к пропорциональному изменению компонент напряжений и компонент тензора деформаций во всех точках тела. При конечных деформациях пропорциональное изменение компонент тензора деформаций во всех точках тела в общем случае геометрически невозможно ). [c.433]

Вспомним, например, задачу Стокса об обтекании вязкой жидкостью сферы ( 82), или расчет диффузии завихренности, образованной вихревой нитью ( 84). Во всех этих случаях влияние вязкости распространялось мгновенно, а в безграничных потоках и на бесконечно большие расстояния. Этот принципиальный факт является прямым следствием обобщенного закона Ньютона, выражавшего линейную связь между тензорами напряжений и скоростей деформаций, и сбуславливает эллиптический характер диффе- [c.440]

Обобщая закон Ньютона (1) на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде представляет линейную функцию тензора скоростей деформаций. Эту, хорошо оправдываемую на опыте для большинства употребительных жидкостей и газов гипотезу можно было бы назвать обобш,енным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно предположить движущуюся среду изотропной , т. е. такой, что физические ее свойства не зависят от каких-либо особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций должны быть скалярами п искомая связь сводится к фор.му.те [c.471]

Если же det №ij- =0, то формула (6.21) не только предписы-вает гипотетическую линейную связь между тензорами ри м и Ф, з, но и налагает определенные ограничения на вид тензора напряжений Рейнольдса, нужные для того, чтобы соответствующая система уравнений относительно Uj вообще имела решение. В этом случае рассматриваемая формула иногда может уже оказаться лишь довольно грубым приближением к действительности. Рассмотрим, например, случай, когда осредненное движение является плоскопараллельным, так что Й1 = Ы1(л з), Й2=мз=0 и соответственно этому только компоненты Ф13 и Фз1 тензора Фi отличны от нуля. Здесь, исходя из геометрических соображений, естественно ожидать, что оси Oxi, 0x2, Охз будет являться главными направлениями тензора 1ц. Но тогда формулы (6.21) принимают вид [c.334]

Предположим, что процесс деформирования в теле начинается в момент времени / = 0, и разобьем весь интервал [О, t] на некоторые подынтервалы точками 0 = То, Ть. .., — Будем считать, что на каждом из подынтервалов (т , 1, т/,) деформация постоянна и равна е (т/,) (в декартовой системе Е у (т ) = onst). Каждая такая деформация влияет на напряженное состояние в данной частице в момент времени x/v = и это влияние, по предположению, линейно, следовательно, связь между тензором Абу, (О вклада деформации е (т ) с этой деформацией осуществляется с помощью тензора четвертого ранга Г = Т( , Т ,). Полное напряжение представляет собой сумму вкладов от отдельных деформаций е(Т/,) [c.45]

При изложении основ тензорной алгебры ( 33) было выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов в выражении линейной связи между двумя физическими векторами не является единственным. Возможно и другое определение тензора как совокупности величин, преобразующихся при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой по формулам преобразования произведений проекций двух векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой [х = хи у = а 2, 2 = хз, причем в следующих формулах предполагается суммирование по дважды повторяющимся в одночленах немым ( 33) индексам г и s, а знак принят в соответствии с матрицей (5), где плюс относится к случаю р = q, а минус— к случаю рф q] будем иметь [c.283]

Согласно В. Ольшаку понятие механические свойства среды включает два элемента — закон, определяющий связь между тензорами напряжений и деформаций и их скоростями, а также некоторые величины, называемые модулями или параметрами, входящие в этот закон. -Модули, или параметры, могут быть действительными физическими постоянными, зависящими от температуры и энтропии (упругая, линейно-релаксирующая или вязкая среда), или они являются функциями инвариантов тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций (пластические и вязко-пластические среды) [107]. [c.10]

Ниже станет ясно, что линейность соотцошеннй между тензорами не равнозначна с линейностью связи их компонент. [c.102]

Закон Ньютона ( юрмулирует для одного частного случая — плоско-параллельного движения — линейную связь между компонентами обоих тензоров. Поэтому для распространения этого закона на случай произвольного движения жидкости естественно постулировать линейную связь между [c.629]

В дифференциальные уравнения (3,8) входят три вектора осреднённого по времени тензора напряжений р ., Ру и р . Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднённого движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остаётся справедливым и при турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют место равенства [c.455]

Опыты Бриджмена и других исследователей не подтверждают линейную связь между относительным изменением объема и шаровым тензором. Однако при тех значениях гидростатических давлений, которые встречаются в технических расчетах (до 10 000 кГ см% пренебрежение квадратичным членом в формуле Бриджмена влечет за собой ошибку, не превышающую 2,5—3%, При давлении 4000 кПсм эта ошибка практически не ощутима для железа она составляет 0,33, а для стекла — 0,024%. [c.288]

Особо изучено распространение волн сильного и слабого разрывов при плоском деформированном состоянии идеально пластической среды в предположении линейной связи между первыми инвариантами тензоров напряжений и скоростей деформаций (М. И. Эстрин, 1961), а также распространение волн слабого разрыва при плоском напряженном состоянии (М. И. Эстрин,. 1962 А. Д. Чернышев, 1966). Изучено также распространение сильных разрывов в среде, обладающей нелинейной жесткой ) [c.305]

Равенства (12), (13) выражают тот факт, что ко.ч-.гненты физического тензора при переходе от одной системы координат к другой преобразуются, как произведения координат при том оке переходе. Это положение можно было бы принять за определение тензора, эквивалентное ранее данному его определению как совокупности коэффициентов линейной связи (10) между нроекция.ми двух физических векторов. [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...