Уравнение Бельтрами

Сравнивая (2.150) с (2.121), видим, что поле (2.150) удовлетворяет уравнениям равновесия и уравнениям Бельтрами — Митчелла. Введение функции г ) позволяет удовлетворить граничным условиям на S , в самом деле, в любой точке на S2 [c.70]

Принцип Кастильяно в интегральной форме выражает условия совместности деформаций тела. Если функционал Кастильяно выразить только через напряжения (о), то отвечающие ему уравнения Эйлера дадут для постоянных объемных сил уже знакомые нам уравнения Бельтрами (2.42) — условия совместности деформаций, выраженные через напряжения. [c.64]

Если задача теории пластичности решается в напряжениях, то для их определения в общем случае нужно решить уравнения (10.24) и систему из шести нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которая является обобщением уравнений Бельтрами — Митчелла. Ввиду громоздкости названные уравнения [c.305]

Для упругого тела при постоянных объемных силах решение такой задачи сводится к решению трех уравнений равновесия и шести уравнений Бельтрами (см. 2.7) [c.351]

В противоположность приему, план которого рассмотрен выше (во всех преобразованиях выражать неизвестные через перемещения), можно применить другой—все неизвестные выразить через напряжения (в этом случае необходимо использовать уравнения неразрывности). В итоге получим следующие уравнения метода сил (уравнения Бельтрами) [c.32]

Три уравнения типа (4.52) и три уравнения типа (4.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (4.51), называют уравнениями Бельтрам и— М и ч е л л а. Они представляют собой условия совместности, выраженные через компоненты тензора напряжений Oij. [c.80]

Таким образом, при решении прямой задачи в напряжениях первоначально находятся шесть функций oij Xk), которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (4.3), уравнениям Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничным усло- [c.80]

Выясним, удовлетворяет ли это решение (а) основным уравнениям теории упругости, т. е. является ли оно точным. Очевидно, что уравнения Бельтрами—Мичелла (4.51) и дифференциальные уравнения равновесия (4.3) выполняются при отсутствии массовых сил. Граничные условия (4.6) при данном решении (а) принимают вид [c.87]

Можно показать, что условие (5.63) влечет за собой выполнение уравнений Бельтрами—Мичелла, представляющих уравнения Эйлера—Остроградского для функционала а также выполнение геомет- [c.103]

Уравнения Бельтрами. Полученные в декартовых координатах шесть скалярных уравнений Бельтрами (4,55), определяемых ( рмулой (4.54) можно записать одним тензорным уравнением. [c.119]

С помощью тензорного уравнения (6.25) можно записать шесть скалярных уравнений Бельтрами в любой системе координат. [c.119]

Уравнения Бельтрами получим на основании тензорного уравнения (6.25). [c.128]

Если спроектировать первое уравнение (6.69), например, на ось 2, то аналогично получим скалярное уравнение, которое будет совпадать с уравнением, полученным в результате проектирования третьего уравнения (6.69) на ось г. Непосредственно можно убедиться, что среди девяти скалярных уравнений, эквивалентных системе (6.69), только шесть будет различных — это следующие уравнения Бельтрами [c.129]

Функции Osi = аз1 (j j, дсг) и Ogg == Oaz (л 1> Хг) ДОЛЖНЫ удовлетворять условиям совместности Бельтрами (4.55). При принятых значениях напряжений (7.3) S = = О и, следовательно, первые четыре уравнения Бельтрами удовлетворяются тождественно, а два последних принимают вид [c.133]

При рассматриваемых массовых силах это частное решение удов летворяет уравнениям Бельтрами—Мичелла (4.51) и, следовательно, реализуемо в линейно-упругом теле. Остается найти функции oij, удовлетворяющие однородным уравнениям равновесия (9.12). [c.227]

Чтобы функции oij были не только статически возможными, но и реализуемыми в линейно-упругом теле, они помимо уравнений равновесия должны еще удовлетворять однородным уравнениям Бельтрами (4.55). [c.227]

Заменяя уравнения (11.22) скалярными уравнениями и учитывая (11.21), (11.23), (11.24) и (11.8), получаем уравнения Бельтрами [c.369]

Если подставить выражения (11.30) для компонент тензора напряжений в уравнения Бельтрами (11.25), а функции (1 — д // )" -, (1 — xlR)" заменить их разложениями в ряды [c.373]

Равенства (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) называются уравнениями совместности деформаций в напряжениях или уравнениями Бельтрами — Митчелла. Таким образом, установлено, что компоненты тензора напряжений должны удовлетворять девяти дифференциальным уравнениям различного порядка (трем урав- [c.230]

Будем исходить из уравнений Бельтрами — Митчелла (4.11), (4.16), (4.17) ГЛ. II [c.458]

Исследование проведем сразу на примере смешанной задачи (т. е. будем исходить из условий (1.2)). Рассмотрим множество тензоров, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и первому из условий (1.2). Обозначим это множество через /( ). Образуем теперь множество Кг тензоров, удовлетворяющих уравнениям совместности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами — Митчелла) ( 4 гл. И), причем соответствующие смещения должны удовлетворять первому из условий (1.2). [c.626]

Уравнения совместности дефор.маций, выраженные через напряжения, называются уравнениями Бельтрами — Митчелла. [c.55]

Уравнения (3.2) заменяют уравнения совместности деформаций Сен-Венана. Решение задачи теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к интегрированию системы девяти уравнений — шести уравнений Бельтрами — Митчелла и трех уравнений равновесия Навье (1.16). Найденные функции напряжений должны удовлетворять систе- [c.55]

Если объемные силы постоянны (как, например, сила тяжести) и температура тоже постоянна, то уравнения Бельтрами — Мичелла принимают следующий простой вид [c.344]

В рассмотренных в 3 задачах о растяжении бруса компоненты тензора напряжений были постоянными или линейными функциями координат, поэтому уравнения Бельтрами автома- [c.344]

Система (7.1) при условии Т = Тп получится замкнутой, если к ней добавить закон Гука и уравнения совместности деформаций или уравнения Бельтра-ми — Мичелла. [c.356]

Если напряжения представлены через функцию напряжений, то уравнения равновесия автоматически удовлетворяются. Однако х, у) не может быть произвольной функцией, так как компоненты тензора напряжений, кроме уравнений равновесия, должны удовлетворять уравнениям Бельтрами — Мичелла. В рассматриваемом случае уравнения Бельтрами — Мичелла превращаются в уравнение для функции (х, у). [c.366]

Заметим, что в приведенном выше выводе уравнения (7.25) для функции выполнение уравнений Бельтрами — Мичелла обеспечивается, так как в этом выводе мы пользовались формулами (7.6), которые были получены с помощью закона Гука и представлений через Wi. [c.366]

Уравнения Бельтрами—Мичелла 343 [c.567]

Учитывая (9.27), (9.144), (9.146) и (9.147), представим уравнения Бельтрами в следующем виде [c.689]

Когда граничные условия сформулированы в напряжениях, то для решения задач все необходимые уравнения выражают в напряжениях. Представим уравнения совместности деформаций через напряжения при постоянных объемных силах. Это уравнения Бельтрами—Митчела. Преобразуем первое уравнение (1-11) [c.23]

Уравнения (8.5.8) называются уравнениями Бельтрами — Митчела (более точно — Митчел получил их для отличных от нуля объемных сил, что не вносит сколько-нибудь существенных осложнений. По указанным выше причинам нам казалось бесполезным приводить эти более полные уравнения). Свертывая [c.250]

Система уравнений Бельтрами — Митчела — это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удот влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат Оц = Поскольку уравнения (8.5.8) [c.250]

Эти уравнения получены Бельтрами в Митчел вывел эти уравнения для общего случая, когда объемные силы не постоянны, и, следовательно, в правую часть уравнений (4.12) вместо нулей входят члены, содержащие производные от объемных сил. Поэтому часто уравнения (4.12) называют уравнениями Бельтрами—Митчела. [c.47]

Таким образом, для решения задачи теории упругости в напряжениях необходи.мо проинтегрировать девять уравнений (4.1) и (4.12). Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения и обсуждалось при выводе уравнений сплошности (2.10), следствием которых являются уравнения Бельтрами—Митчела. [c.47]

Для получения уравнений Бельтрами — Митчелла необходимо деформации е, е , е , / 2, 2 выразить через напря- [c.55]

Это уравнение является условием совместности напряжений в плоской задаче для линейно-упругого тела и в этом случае MOHteT заменить собой уравнения Бельтрами—Мичелла. [c.484]

Вторые производные от первого инварианта тензора напряжений, также входящие в уравнения Бельтрами, имеют следующий вид (см. формулы (9.116) для операторов д /дх , дУдхду, д /ду и формулы (9.114) для операторов д/дх, д/ду из последних легко получаются формулы для операторов dVdxdz, д дудг) [c.689]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...